Application de la Loi des Gaz Parfaits

Comprendre la Loi des Gaz Parfaits

La loi des gaz parfaits est une équation d'état qui décrit le comportement des gaz idéaux. Elle relie quatre grandeurs macroscopiques : la pression (\(P\)), le volume (\(V\)), la quantité de matière (\(n\)) et la température (\(T\)). Cette loi est fondamentale en chimie et en physique pour analyser des systèmes gazeux dans des conditions définies.

Formule et Données

L'équation de la loi des gaz parfaits est :

\[PV = nRT\]

Unités et constante :

\(P\) : Pression en Pascals (\(\text{Pa}\))
\(V\) : Volume en mètres cubes (\(\text{m}^3\))
\(n\) : Quantité de matière en moles (\(\text{mol}\))
\(T\) : Température en Kelvin (\(\text{K}\))
\(R\) : Constante des gaz parfaits, \(R \approx 8.314 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{mol}^{-1}\)

Rappel de conversion : \(T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15\)

Schéma : Comportement d'un Gaz

P, V, n, T

Les particules de gaz se déplacent de manière aléatoire, et leurs collisions avec les parois créent la pression.

Questions à traiter

Calculer la pression (\(P\)) d'un ballon contenant \(0.5 \, \text{mol}\) d'hélium dans un volume de \(0.01 \, \text{m}^3\) à une température de \(25^\circ\text{C}\).
Quel volume (\(V\)) est occupé par \(2 \, \text{mol}\) de diazote (\(\text{N}_2\)) à une pression de \(150000 \, \text{Pa}\) et une température de \(300 \, \text{K}\) ?
Déterminer la quantité de matière (\(n\)) de dioxygène (\(\text{O}_2\)) dans une bouteille de \(0.05 \, \text{m}^3\) à \(200000 \, \text{Pa}\) et \(20^\circ\text{C}\).
À quelle température (\(T\)) en degrés Celsius se trouvent \(0.25 \, \text{mol}\) d'un gaz parfait dans un récipient de \(0.005 \, \text{m}^3\) si la pression est de \(120000 \, \text{Pa}\) ?

Correction : Résolution des Problèmes

Question 1 : Calcul de la Pression (\(P\))

Analyse :

On cherche la pression \(P\). On doit isoler \(P\) dans l'équation \(PV = nRT\). Il faut également convertir la température de degrés Celsius en Kelvin.

Données :

\(n = 0.5 \, \text{mol}\)
\(V = 0.01 \, \text{m}^3\)
\(T = 25^\circ\text{C} = 25 + 273.15 = 298.15 \, \text{K}\)
\(R \approx 8.314 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{mol}^{-1}\)

Calcul :

\begin{aligned} P &= \frac{nRT}{V} \\ &= \frac{(0.5 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{mol}^{-1}) \times (298.15 \, \text{K})}{0.01 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{1239.36}{0.01} \, \text{Pa} \\ &\approx 123936 \, \text{Pa} \end{aligned}

La pression du ballon est d'environ 123 936 Pa (ou 123.9 kPa).

Question 2 : Calcul du Volume (\(V\))

Analyse :

On cherche le volume \(V\). On isole \(V\) à partir de l'équation \(PV = nRT\).

Données :

\(n = 2 \, \text{mol}\)
\(P = 150000 \, \text{Pa}\)
\(T = 300 \, \text{K}\)
\(R \approx 8.314 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{mol}^{-1}\)

Calcul :

\begin{aligned} V &= \frac{nRT}{P} \\ &= \frac{(2 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{mol}^{-1}) \times (300 \, \text{K})}{150000 \, \text{Pa}} \\ &= \frac{4988.4}{150000} \, \text{m}^3 \\ &\approx 0.033256 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Le volume occupé par le diazote est d'environ 0.0333 m³ (ou 33.3 L).

Quiz : Si la pression d'un gaz double à température et quantité de matière constantes, son volume...

est divisé par deux.
double.
reste le même.

Question 3 : Calcul de la Quantité de Matière (\(n\))

Analyse :

On cherche la quantité de matière \(n\). On isole \(n\) de l'équation \(PV = nRT\) et on convertit la température.

Données :

\(P = 200000 \, \text{Pa}\)
\(V = 0.05 \, \text{m}^3\)
\(T = 20^\circ\text{C} = 20 + 273.15 = 293.15 \, \text{K}\)
\(R \approx 8.314 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{mol}^{-1}\)

Calcul :

\begin{aligned} n &= \frac{PV}{RT} \\ &= \frac{(200000 \, \text{Pa}) \times (0.05 \, \text{m}^3)}{(8.314 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{mol}^{-1}) \times (293.15 \, \text{K})} \\ &= \frac{10000}{2437.1} \, \text{mol} \\ &\approx 4.103 \, \text{mol} \end{aligned}

Il y a environ 4.10 moles de dioxygène dans la bouteille.

Question 4 : Calcul de la Température (\(T\))

Analyse :

On cherche la température \(T\). On isole \(T\) de l'équation \(PV = nRT\). Le résultat sera en Kelvin et devra être converti en degrés Celsius.

Données :

\(P = 120000 \, \text{Pa}\)
\(V = 0.005 \, \text{m}^3\)
\(n = 0.25 \, \text{mol}\)
\(R \approx 8.314 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{mol}^{-1}\)

Calcul :

\begin{aligned} T &= \frac{PV}{nR} \\ &= \frac{(120000 \, \text{Pa}) \times (0.005 \, \text{m}^3)}{(0.25 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{mol}^{-1})} \\ &= \frac{600}{2.0785} \, \text{K} \\ &\approx 288.67 \, \text{K} \end{aligned}

Conversion en degrés Celsius : \(T(^\circ\text{C}) = T(\text{K}) - 273.15\)

\begin{aligned} T(^\circ\text{C}) &= 288.67 - 273.15 \\ &= 15.52^\circ\text{C} \end{aligned}

La température du gaz est d'environ 15.5 °C.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Dans l'équation \(PV=nRT\), si vous convertissez la pression en atmosphères (atm), quelle est la principale chose qui doit changer ?

La température doit être en Celsius.
Le volume doit être en litres.
La valeur de la constante R.

2. Un "gaz parfait" est un modèle théorique. Quelle condition n'est PAS supposée pour un gaz parfait ?

Les particules de gaz ont des forces d'attraction fortes entre elles.
Le volume des particules de gaz est négligeable par rapport au volume du récipient.
Les collisions entre les particules sont parfaitement élastiques.

Glossaire

Pression (\(P\)): La force exercée par le gaz par unité de surface sur les parois de son récipient. L'unité SI est le Pascal (Pa).
Volume (\(V\)): L'espace tridimensionnel occupé par le gaz, qui correspond au volume du récipient qui le contient. L'unité SI est le mètre cube (m³).
Quantité de matière (\(n\)): Le nombre de particules de gaz, exprimé en moles (mol). Une mole contient environ \(6.022 \times 10^{23}\) particules (nombre d'Avogadro).
Température (\(T\)): Une mesure de l'énergie cinétique moyenne des particules de gaz. Pour les calculs de gaz, elle doit toujours être exprimée en Kelvin (K).
Constante des gaz parfaits (\(R\)): Une constante de proportionnalité qui relie les variables d'état du gaz. Sa valeur dépend des unités utilisées pour la pression, le volume et la température.

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