Calcul de la Masse Moléculaire d'un Mélange de Gaz idéaux
Contexte : Le mélange de gaz parfaitsUn mélange de gaz où chaque composant se comporte comme un gaz parfait, sans interaction entre les molécules des différents gaz..
En chimie et en physique, de nombreux systèmes impliquent des mélanges de gaz plutôt que des gaz purs. L'air que nous respirons en est l'exemple le plus courant. Pour caractériser ces mélanges, il est essentiel de définir une masse molaire "moyenne" qui représente le comportement global du mélange. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de cette propriété fondamentale pour l'air, modélisé comme un mélange de gaz parfaits.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser le concept de fraction molaire pour déterminer les propriétés macroscopiques d'un mélange, une compétence clé en thermodynamique, en cinétique chimique et en génie des procédés.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et calculer la fraction molaireLe rapport entre la quantité de matière (en moles) d'un constituant et la quantité de matière totale de tous les constituants dans un mélange. de chaque composant d'un mélange.
- Savoir calculer la masse molaire moyenne d'un mélange gazeux.
- Appliquer la loi des gaz parfaitsL'équation d'état PV=nRT, qui décrit le comportement des gaz parfaits sous différentes conditions. pour déterminer la masse volumique et la pression d'un mélange.
Données de l'étude
Composition Volumique de l'Air Sec
| Constituant | Pourcentage Volumique (%) |
|---|---|
| Diazote (\(N_2\)) | 78 % |
| Dioxygène (\(O_2\)) | 21 % |
| Argon (Ar) | 1 % |
Représentation d'un Mélange Gazeux
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse molaire du diazote | \(M_{N_2}\) | 28.02 | g/mol |
| Masse molaire du dioxygène | \(M_{O_2}\) | 32.00 | g/mol |
| Masse molaire de l'argon | \(M_{Ar}\) | 39.95 | g/mol |
| Constante des gaz parfaits | R | 0.0821 | L·atm·mol⁻¹·K⁻¹ |
Questions à traiter
- En supposant que le mélange se comporte comme un gaz parfait, déterminez la fraction molaire de chaque constituant.
- Calculez la masse molaire moyenne (\(\bar{M}\)) de l'air sec.
- Déterminez la masse volumique (\(\rho\)) de cet air sec dans les Conditions Normales de Température et de Pression (CNTPConditions standardisées définies par une température de 0 °C (273,15 K) et une pression de 1 atm (101 325 Pa). : T = 0 °C, P = 1 atm).
- Si 10 grammes de cet air sont contenus dans un récipient de 5 litres à une température de 25 °C, quelle sera la pression totale à l'intérieur du récipient ?
Les bases sur les Mélanges Gazeux
Pour résoudre cet exercice, trois concepts clés de la chimie sont nécessaires : la fraction molaire, la masse molaire moyenne et la loi des gaz parfaits.
1. Fraction Molaire (\(x_i\))
La fraction molaire d'un composant 'i' dans un mélange est le rapport du nombre de moles de ce composant (\(n_i\)) au nombre total de moles dans le mélange (\(n_{\text{total}}\)).
\[ x_i = \frac{n_i}{n_{\text{total}}} = \frac{n_i}{\sum_j n_j} \]
Pour les mélanges de gaz parfaits, la loi d'Avogadro implique que la fraction volumique est égale à la fraction molaire.
2. Masse Molaire Moyenne (\(\bar{M}\))
La masse molaire moyenne d'un mélange est la moyenne pondérée des masses molaires de ses composants, où la pondération est la fraction molaire de chaque composant.
\[ \bar{M} = \sum_i (x_i \cdot M_i) \]
3. Loi des Gaz Parfaits
Cette loi décrit la relation entre la pression (P), le volume (V), le nombre de moles (n) et la température (T) d'un gaz. Elle s'applique aussi aux mélanges.
\[ PV = nRT \]
Correction : Calcul de la Masse Moléculaire d'un Mélange de Gaz idéaux
Question 1 : Détermination des fractions molaires
Principe
Le concept physique clé ici est la loi d'Avogadro. Elle stipule que, dans les mêmes conditions de température et de pression, des volumes égaux de gaz parfaits contiennent le même nombre de molécules (et donc de moles). Cela implique une équivalence directe entre la proportion en volume et la proportion en moles.
Mini-Cours
La loi d'Avogadro peut être exprimée mathématiquement comme \(V/n = k\), où \(k\) est une constante pour une température et une pression données. Pour un mélange de gaz, cela signifie que le rapport du volume partiel d'un gaz (\(V_i\)) au volume total (\(V_{\text{total}}\)) est égal au rapport de son nombre de moles (\(n_i\)) au nombre de moles total (\(n_{\text{total}}\)). Ce rapport est précisément la définition de la fraction molaire (\(x_i\)).
Remarque Pédagogique
L'astuce ici est de reconnaître que "pourcentage volumique" est un synonyme de "fraction molaire" pour un mélange de gaz parfaits. Ne vous laissez pas intimider par les termes : la conversion est directe et ne nécessite aucun calcul complexe.
Normes
Bien qu'il n'y ait pas de "norme" réglementaire au sens de l'ingénierie, la définition de la fraction molaire est standardisée par l'Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée (UICPA).
Formule(s)
Relation Fraction Molaire et Volumique
Hypothèses
Le cadre de ce calcul repose sur une hypothèse fondamentale :
- L'air et ses constituants se comportent comme des gaz parfaits. C'est cette hypothèse qui justifie l'égalité between la fraction volumique et la fraction molaire.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée sont les pourcentages volumiques fournis dans l'énoncé.
| Constituant | % Volumique |
|---|---|
| Diazote (\(N_2\)) | 78 % |
| Dioxygène (\(O_2\)) | 21 % |
| Argon (Ar) | 1 % |
Astuces
Pour aller vite, divisez mentalement les pourcentages par 100. C'est un calcul direct qui ne nécessite pas de calculatrice. L'essentiel est de comprendre le concept sous-jacent.
Schéma (Avant les calculs)
Un diagramme circulaire représentant la composition de l'air aide à visualiser les proportions volumiques de chaque constituant avant le calcul.
Composition de l'Air (en volume)
Calcul(s)
Fraction Molaire du Diazote
Fraction Molaire du Dioxygène
Fraction Molaire de l'Argon
Schéma (Après les calculs)
Le même schéma circulaire peut être utilisé, mais en annotant les secteurs avec les fractions molaires calculées (0.78, 0.21, 0.01), pour renforcer l'idée de l'équivalence between proportions volumiques et molaires.
Composition de l'Air (en fraction molaire)
Réflexions
Les résultats montrent que l'air est majoritairement composé de diazote, avec une fraction molaire de 0.78. Le dioxygène, vital pour la respiration, ne représente que 0.21 (soit 21%) des molécules présentes. L'argon, bien que chimiquement inerte, constitue 1% du mélange.
Points de vigilance
L'erreur à éviter est de confondre fraction molaire et fraction massique. L'équivalence avec la fraction volumique n'est valable que pour les gaz parfaits. Ne l'appliquez jamais à des mélanges liquides ou solides sans justification.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez que pour un mélange de gaz parfaits, les termes "pourcentage volumique", "pourcentage molaire" et "fraction molaire x 100" sont interchangeables. La somme de toutes les fractions molaires (\( \sum x_i \)) doit toujours être égale à 1.
Le saviez-vous ?
Amedeo Avogadro, qui a postulé cette loi en 1811, n'a jamais vu sa théorie acceptée de son vivant. Ce n'est qu'en 1860, deux ans après sa mort, que son collègue Stanislao Cannizzaro a convaincu la communauté scientifique de la validité de son hypothèse, révolutionnant ainsi la chimie.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Sur Mars, l'atmosphère est composée d'environ 95% de \(CO_2\) et 3% de \(N_2\) en volume. Quelles sont les fractions molaires de ces deux gaz ?
Question 2 : Calcul de la masse molaire moyenne
Principe
Un mélange n'a pas de "molécule" unique. Sa masse molaire est donc une moyenne des masses molaires de ses constituants, pondérée par leur abondance relative (leur fraction molaire). C'est le même principe qu'une moyenne pondérée de notes en classe.
Mini-Cours
La masse molaire moyenne, \(\bar{M}\), peut être vue comme la masse totale d'un mélange contenant exactement une mole de particules au total. Si l'on prend une mole de notre mélange, elle contiendra \(x_{N_2}\) moles de \(N_2\), \(x_{O_2}\) moles de \(O_2\), etc. La masse totale est donc la somme des masses de chaque fraction : \(m_{\text{total}} = (x_{N_2} \cdot M_{N_2}) + (x_{O_2} \cdot M_{O_2}) + ...\). Comme \(n_{\text{total}}=1\) mole, on a \(\bar{M} = m_{\text{total}} / n_{\text{total}} = m_{\text{total}}\).
Remarque Pédagogique
Pensez à la masse molaire moyenne comme la "masse apparente" d'une mole du mélange. Elle se comportera, dans les calculs (comme la loi des gaz parfaits), comme un gaz pur qui aurait cette masse molaire.
Normes
Le calcul de la masse molaire moyenne suit les conventions de l'UICPA pour la caractérisation des mélanges.
Formule(s)
Formule de la Masse Molaire Moyenne
Hypothèses
Aucune nouvelle hypothèse n'est requise pour ce calcul, qui est une définition. On s'appuie sur les fractions molaires calculées précédemment, qui, elles, reposaient sur l'hypothèse du gaz parfait.
Donnée(s)
Nous utilisons les fractions molaires de la question 1 et les masses molaires de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fraction molaire de N₂ | \(x_{N_2}\) | 0.78 | - |
| Masse molaire de N₂ | \(M_{N_2}\) | 28.02 | g/mol |
| Fraction molaire de O₂ | \(x_{O_2}\) | 0.21 | - |
| Masse molaire de O₂ | \(M_{O_2}\) | 32.00 | g/mol |
| Fraction molaire de Ar | \(x_{Ar}\) | 0.01 | - |
| Masse molaire de Ar | \(M_{Ar}\) | 39.95 | g/mol |
Astuces
Pour vérifier l'ordre de grandeur, la masse molaire moyenne doit être comprise entre la plus petite et la plus grande des masses molaires des constituants (ici, entre 28.02 et 39.95 g/mol). Comme le mélange est majoritairement composé de \(N_2\), le résultat final doit être très proche de 28 g/mol.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre comment la masse molaire de chaque gaz contribue à la masse molaire moyenne du mélange, pondérée par sa fraction molaire.
Calcul Pondéré de la Masse Molaire Moyenne
Calcul(s)
Application de la moyenne pondérée
Schéma (Après les calculs)
Après le calcul, on représente le mélange comme une seule entité "Air" avec la masse molaire moyenne calculée.
Mélange Résultant : Air
Réflexions
Le résultat, environ 29 g/mol, est une valeur fondamentale utilisée dans d'innombrables calculs en sciences et en ingénierie. Savoir le retrouver à partir de la composition de l'air est une compétence de base. Cela montre que l'air est légèrement plus "lourd" que le diazote pur mais plus "léger" que le dioxygène pur.
Points de vigilance
L'erreur classique est de faire une moyenne simple des masses molaires ( \((28.02+32.00+39.95)/3\) ), sans tenir compte des proportions (pondération). Cela donnerait un résultat complètement faux.
Points à retenir
Pour maîtriser ce calcul, retenez la formule \(\bar{M} = \sum (x_i \cdot M_i)\). C'est la définition de la masse molaire moyenne et elle s'applique à tous les types de mélanges (pas seulement gazeux), à condition de connaître les fractions molaires.
Le saviez-vous ?
La masse molaire de l'air humide est légèrement inférieure à celle de l'air sec ! En effet, la vapeur d'eau (\(H_2O\)) a une masse molaire d'environ 18 g/mol, ce qui est bien plus faible que les ~29 g/mol de l'air sec. Ainsi, à une température donnée, l'air humide est moins dense que l'air sec.
FAQ
Questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Un mélange contient 25% de méthane (\(CH_4\), M=16 g/mol) et 75% d'éthane (\(C_2H_6\), M=30 g/mol) en moles. Quelle est sa masse molaire moyenne ?
Question 3 : Calcul de la masse volumique aux CNTP
Principe
La masse volumique (\(\rho\)) est le rapport entre la masse et le volume. En combinant la loi des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) avec la définition de la masse molaire (\(n=m/M\)), on peut exprimer la masse volumique d'un gaz en fonction de la pression, de la température et de sa masse molaire.
Mini-Cours
Partons de \(PV = nRT\). On remplace \(n\) par \(m/\bar{M}\), ce qui donne \(PV = (m/\bar{M})RT\). En réarrangeant pour isoler le rapport \(m/V\), qui est la définition de la masse volumique \(\rho\), on obtient : \(P\bar{M} = (m/V)RT \Rightarrow P\bar{M} = \rho RT\). Finalement, \(\rho = P\bar{M}/(RT)\). Cette équation montre que la masse volumique d'un gaz parfait est directement proportionnelle à sa masse molaire et à la pression, et inversement proportionnelle à la température.
Remarque Pédagogique
Le conseil ici est de toujours vérifier la cohérence des unités. La constante R a des unités spécifiques (L·atm·mol⁻¹·K⁻¹), ce qui vous impose d'utiliser la pression en atmosphères (atm), le volume en litres (L) et la température en Kelvin (K) pour que les unités s'annulent correctement.
Normes
Les Conditions Normales de Température et de Pression (CNTP) sont une convention (définie par l'UICPA) pour permettre la comparaison des propriétés des gaz. Elles sont définies par T = 0 °C (273.15 K) et P = 1 atm.
Formule(s)
Formule de la Masse Volumique d'un Gaz Parfait
Hypothèses
Nous continuons de supposer que l'air se comporte comme un gaz parfait. C'est la validité de l'équation \(PV=nRT\) qui est en jeu ici.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée pour ce calcul spécifique sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression (CNTP) | P | 1 | atm |
| Température (CNTP) | T | 273.15 | K |
| Masse Molaire Moyenne | \(\bar{M}\) | 28.98 | g/mol |
| Constante des gaz parfaits | R | 0.0821 | L·atm·mol⁻¹·K⁻¹ |
Astuces
Aux CNTP, on sait qu'une mole de n'importe quel gaz parfait occupe un volume molaire \(V_m \approx 22.4\) L. Pour trouver la masse volumique, il suffit de diviser la masse d'une mole (la masse molaire) par le volume qu'elle occupe : \(\rho = \bar{M} / V_m\). C'est un excellent raccourci et une méthode de vérification rapide.
Schéma (Avant les calculs)
On peut imaginer un cube de 1 litre rempli de molécules d'air. Le calcul vise à déterminer la masse de gaz contenue dans ce cube dans les conditions CNTP.
Volume Unitaire aux CNTP
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de la température
Étape 2 : Calcul de la masse volumique
Schéma (Après les calculs)
Le schéma du cube est maintenant mis à jour avec la masse calculée, illustrant la signification de la masse volumique.
Masse Volumique de l'Air
Réflexions
Le résultat d'environ 1.29 g/L (ou 1.29 kg/m³) est la masse volumique de référence pour l'air au niveau de la mer et à 0°C. C'est une valeur très utilisée en aérodynamique, en météorologie et dans de nombreux autres domaines. Elle nous dit qu'un mètre cube d'air froid pèse environ 1.3 kg.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir la température de degrés Celsius en Kelvin. La loi des gaz parfaits n'est valable qu'avec une échelle de température absolue. Utiliser T=0 dans la formule mènerait à une division par zéro !
Points à retenir
Pour maîtriser ce type de question, retenez la formule \(\rho = P\bar{M}/(RT)\) et l'importance cruciale d'utiliser des unités cohérentes, en particulier la température en Kelvin.
Le saviez-vous ?
C'est cette variation de la masse volumique de l'air avec la température qui est le principe de fonctionnement des montgolfières. En chauffant l'air à l'intérieur du ballon, on diminue sa masse volumique. Conformément au principe d'Archimède, si l'air à l'intérieur devient moins dense que l'air extérieur, le ballon s'élève.
FAQ
Une question fréquente à ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la masse volumique de l'hélium pur (M=4 g/mol) aux CNTP, en g/L ?
Question 4 : Calcul de la pression totale
Principe
Le principe est une application directe de la loi des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) pour trouver une inconnue (ici, la pression P) lorsque les autres variables (V, n, T) sont connues. La seule étape préliminaire est de convertir la masse de gaz donnée en nombre de moles.
Mini-Cours
La loi des gaz parfaits est une équation d'état : elle relie les variables macroscopiques qui décrivent l'état d'un gaz. En la réarrangeant, on peut résoudre pour n'importe laquelle des variables. Pour trouver la pression, on isole P : \(P = nRT/V\). Cela montre que la pression est proportionnelle au nombre de moles et à la température, et inversement proportionnelle au volume.
Remarque Pédagogique
Structurez toujours votre résolution. Étape 1 : listez vos données et vérifiez les unités. Étape 2 : calculez les quantités intermédiaires (ici, le nombre de moles). Étape 3 : appliquez la formule finale. Cette méthode pas à pas minimise les risques d'erreur.
Normes
L'utilisation du Kelvin comme unité de température et de l'atmosphère ou du Pascal comme unité de pression est une convention scientifique standard.
Formule(s)
Conversion Masse en Moles
Loi des Gaz Parfaits (pour P)
Hypothèses
Encore une fois, nous nous basons sur l'hypothèse que l'air se comporte comme un gaz parfait, ce qui nous permet d'appliquer la loi \(PV=nRT\).
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée pour ce calcul sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse d'air | m | 10 | g |
| Volume du récipient | V | 5 | L |
| Température | T | 25 | °C |
| Masse Molaire Moyenne | \(\bar{M}\) | 28.98 | g/mol |
| Constante des gaz parfaits | R | 0.0821 | L·atm·mol⁻¹·K⁻¹ |
Astuces
Aucune astuce particulière ici, si ce n'est de porter une attention méticuleuse aux unités à chaque étape du calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Un schéma simple montrant un récipient de volume V=5L, contenant des molécules de gaz, avec les annotations T=25°C et m=10g peut aider à visualiser le problème physique.
Gaz dans un Récipient Fermé
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de la température
Étape 2 : Calcul du nombre de moles (n)
Étape 3 : Calcul de la pression (P)
Schéma (Après les calculs)
Le schéma précédent est mis à jour avec la valeur calculée, montrant l'état final du système.
État Final du Gaz
Réflexions
Le résultat de 1.69 atm est supérieur à la pression atmosphérique normale (1 atm). C'est logique : nous avons "compressé" 10 grammes de gaz dans un volume de seulement 5 litres. Si le volume était plus grand, la pression serait plus faible, et inversement.
Points de vigilance
Attention à ne pas mélanger les constantes R. Si vous utilisez P en Pascals et V en m³, vous devez utiliser R = 8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹. L'erreur la plus commune après l'oubli de conversion de la température est l'utilisation d'une mauvaise valeur pour R.
Points à retenir
La loi des gaz parfaits est votre couteau suisse pour les problèmes de gaz. Maîtrisez la conversion entre masse et moles (\(n=m/M\)) et sachez comment isoler n'importe quelle variable de l'équation \(PV=nRT\).
Le saviez-vous ?
Le concept de "gaz parfait" a été développé au 19ème siècle par des scientifiques comme Émile Clapeyron. Bien qu'aucun gaz ne soit parfaitement "idéal", ce modèle est incroyablement puissant et précis pour la plupart des applications courantes, de la prédiction météorologique à la conception de moteurs.
FAQ
Une question fréquente sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'on chauffe ce même récipient à 100 °C, quelle sera la nouvelle pression en atmosphères ? (n ≈ 0.345 mol)
Outil Interactif : Simulateur de Mélange Binaire
Utilisez les curseurs pour modifier la composition d'un mélange binaire simple (Gaz A et Gaz B) et observez en temps réel l'impact sur la masse molaire moyenne et la masse volumique du mélange aux CNTP.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La fraction molaire d'un gaz dans un mélange représente :
2. Quelle est la valeur approximative de la masse molaire moyenne de l'air sec ?
3. Selon la loi d'Avogadro, si l'on double le nombre de moles d'un gaz à T et P constantes, son volume :
4. L'unité standard de la masse molaire est :
5. Le modèle du gaz parfait suppose que les molécules de gaz :
Glossaire
- Fraction Molaire (x)
- Le rapport entre la quantité de matière (nombre de moles) d'un constituant et la quantité de matière totale de tous les constituants dans un mélange. C'est une grandeur sans dimension.
- Masse Molaire (M)
- La masse d'une mole de substance. Elle est généralement exprimée en grammes par mole (g/mol).
- Gaz Parfait
- Un modèle théorique d'un gaz dans lequel les particules sont considérées comme ponctuelles et n'interagissent pas entre elles (pas de forces attractives ou répulsives). Ce modèle est une bonne approximation des gaz réels à basse pression et haute température.
- CNTP (Conditions Normales de Température et de Pression)
- Un ensemble de conditions standardisées pour les mesures expérimentales, définies par une température de 0 °C (273.15 K) et une pression de 1 atm (101 325 Pa). Une mole de gaz parfait occupe 22.4 L dans ces conditions.
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