Comparaison des modèles atomiques
Comprendre la Comparaison des modèles atomiques
L’atome d’hydrogène est le cas modèle pour tester les théories atomiques. Le \textbf{modèle de Bohr} propose que l’électron se déplace sur des orbites circulaires quantifiées autour du noyau, avec des énergies définies par la formule :
\[ E_n = -\frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2} \]
où \( n \) est le nombre quantique principal. La mécanique quantique moderne décrit l’électron par une fonction d’onde dont la solution pour l’atome d’hydrogène conduit aux mêmes valeurs d’énergie, mais offre une description probabiliste de la position électronique et explique d’autres phénomènes (formes des orbitales, dégénérescences, etc.). Cet exercice vise à réaliser des calculs numériques avec le modèle de Bohr et à discuter qualitativement des limites de ce modèle par rapport à la description quantique complète.
Données
Les constantes physiques à utiliser sont :
- Masse de l’électron : \( m_e = 9,11 \times 10^{-31}\ \text{kg} \)
- Charge élémentaire : \( e = 1,602 \times 10^{-19}\ \text{C} \)
- Permittivité du vide : \( \varepsilon_0 = 8,854 \times 10^{-12}\ \text{F/m} \)
- Constante de Planck : \( h = 6,626 \times 10^{-34}\ \text{Js} \)
- Rayon de Bohr (pour \( n=1 \)) : \( a_0 = 5,29 \times 10^{-11}\ \text{m} \)
Questions
Question 1: Calcul de l’énergie du niveau \( n=2 \) selon le modèle de Bohr
1. À l’aide de la formule
\[ E_n = -\frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2} \]
calculez l’énergie du niveau \( n=2 \) pour l’atome d’hydrogène.
2. Exprimez le résultat en joules (J) et en électronvolts (1 eV = \( 1,602 \times 10^{-19} \) J).
Question 2: Calcul du rayon de l’orbite pour le niveau \( n=2 \)
En utilisant la relation
\[ r_n = n^2\, a_0 \]
calculez le rayon de l’orbite correspondant au niveau \( n=2 \) et commentez brièvement la variation du rayon par rapport au niveau fondamental.
Question 3: Discussion sur les limites du modèle de Bohr
1. Expliquez brièvement pourquoi le modèle de Bohr, malgré son succès à reproduire les énergies de l’atome d’hydrogène, présente des limites lorsqu’il est appliqué à des atomes plus complexes.
2. Comparez qualitativement la description de l’électron dans le modèle de Bohr et dans la mécanique quantique moderne.
3. Mentionnez un phénomène (non expliqué par Bohr) qui a conduit à l’évolution vers la mécanique quantique.
Correction : Comparaison des modèles atomiques
Question 1 : Calcul de l’énergie du niveau \( n=2 \)
1. Calcul de l’énergie \( E_2 \)
On doit calculer l’énergie du niveau \( n=2 \) en utilisant la formule du modèle de Bohr qui donne les niveaux d’énergie quantifiés pour l’atome d’hydrogène. Le résultat sera ensuite converti en joules et en électronvolts.
Formule
La formule à utiliser est :
\[ E_n = -\frac{m_e \, e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2} \]
Pour \( n=2 \), la formule devient :
\[ E_2 = -\frac{m_e \, e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{4} \]
Données
Les constantes physiques sont :
- Masse de l’électron : \( m_e = 9,11 \times 10^{-31}\ \text{kg} \)
- Charge élémentaire : \( e = 1,602 \times 10^{-19}\ \text{C} \)
- Permittivité du vide : \( \varepsilon_0 = 8,854 \times 10^{-12}\ \text{F/m} \)
- Constante de Planck : \( h = 6,626 \times 10^{-34}\ \text{Js} \)
Calcul
1. Calcul de \( e^4 \) :
\[ e^4 = (1,602 \times 10^{-19})^4 \] \[ \approx 6,58 \times 10^{-76}\ \text{C}^4 \]
2. Calcul de \( h^2 \) :
\[ h^2 = (6,626 \times 10^{-34})^2 \] \[ \approx 4,39 \times 10^{-67}\ \text{J}^2\text{s}^2 \]
3. Calcul de \( \varepsilon_0^2 \) :
\[ \varepsilon_0^2 = (8,854 \times 10^{-12})^2 \] \[ \approx 7,84 \times 10^{-23}\ \text{F}^2/\text{m}^2 \]
4. Calcul de la constante \( C \) :
Posons :
\[ C = \frac{m_e \, e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \]
Remplaçons par les valeurs numériques :
\[ C = \frac{9,11 \times 10^{-31} \times 6,58 \times 10^{-76}}{8 \times 7,84 \times 10^{-23} \times 4,39 \times 10^{-67}} \] \[ C \approx \frac{59,9 \times 10^{-107}}{275,6 \times 10^{-90}} \] \[ C = \frac{59,9}{275,6} \times 10^{-17} \] \[ C \approx 0,217 \times 10^{-17}\ \text{J} \]
Ce qui donne :
\[ C \approx 2,17 \times 10^{-18}\ \text{J} \]
5. Calcul de \( E_2 \) :
Pour \( n=2 \) :
\[ E_2 = -\frac{C}{4} \] \[ E_2 = -\frac{2,17 \times 10^{-18}}{4} \] \[ E_2 \approx -5,43 \times 10^{-19}\ \text{J} \]
6. Conversion en électronvolts :
Utilisons :
\[ 1\ \text{eV} = 1,602 \times 10^{-19}\ \text{J} \]
Ainsi :
\[ E_2 \approx \frac{-5,43 \times 10^{-19}\ \text{J}}{1,602 \times 10^{-19}\ \text{J/eV}} \approx -3,39\ \text{eV} \]
Résultat de la Question 1 :
- \(E_2 \approx -5,43 \times 10^{-19}\ \text{J}\)
- \(E_2 \approx -3,39\ \text{eV}\)
Question 2 : Calcul du rayon de l’orbite pour \( n=2 \)
1. Calcul du rayon \( r_2 \)
Dans le modèle de Bohr, le rayon de l’orbite pour un niveau quantique \( n \) est donné par la relation :
\[ r_n = n^2\, a_0 \]
où \( a_0 \) est le rayon de Bohr pour le niveau fondamental (\( n=1 \)). Pour \( n=2 \), l’orbite doit être calculée et comparée à l’orbite fondamentale.
Formule
\[ r_2 = 2^2 \, a_0 = 4\, a_0 \]
Données
Le rayon de Bohr est :
\[ a_0 = 5,29 \times 10^{-11}\ \text{m} \]
Calcul
Substitution :
\[ r_2 = 4 \times 5,29 \times 10^{-11}\ \text{m} \] \[ r_2 \approx 2,116 \times 10^{-10}\ \text{m} \]
Résultat de la Question 2 :
Le rayon de l’orbite pour \( n=2 \) est \(r_2 \approx 2,12 \times 10^{-10}\ \text{m}\)
Commentaire :
Ce résultat montre que l’orbite pour \( n=2 \) est quatre fois plus grande que celle du niveau fondamental (\( n=1 \)), ce qui illustre la dépendance en \( n^2 \) dans le modèle de Bohr.
Question 3 : Discussion sur les limites du modèle de Bohr
Explication des limites du modèle de Bohr
-
Applicabilité restreinte :
Le modèle de Bohr donne de bons résultats pour l’atome d’hydrogène (un seul électron) mais il ne peut pas prendre en compte les interactions complexes entre plusieurs électrons dans les atomes multiélectroniques. -
Structures fines :
Il ne permet pas d’expliquer les structures fines et hyperfines des spectres, ni les effets liés à la relativité ou à l’interaction spin-orbite.
Comparaison entre le modèle de Bohr et la mécanique quantique moderne
Modèle de Bohr :
- Représente l’électron comme une particule suivant des orbites fixes.
- Prédit des niveaux d’énergie quantifiés avec une relation simple \( E_n \propto \frac{1}{n^2} \).
Mécanique quantique moderne :
- L’électron est décrit par une fonction d’onde, donnant une densité de probabilité de présence.
- Explique la forme et l’orientation des orbitales, et prend en compte la dualité onde-particule.
Phénomène ayant conduit à l’évolution vers la mécanique quantique
La diffraction des électrons et l’observation de la dualité onde-particule ont montré que le comportement de l’électron ne pouvait être correctement décrit par des trajectoires fixes. Ces observations expérimentales ont motivé le passage à une description probabiliste et plus complète via la mécanique quantique.
Comparaison des modèles atomiques
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