Exercices et corrigés

Etude de Chimie

Étude du Modèle Atomique de Bohr

Étude du Modèle Atomique de Bohr

Étude du Modèle Atomique de Bohr

Comprendre le Modèle Atomique de Bohr

Le modèle atomique de Bohr, proposé par Niels Bohr en 1913, a été une étape cruciale dans la compréhension de la structure atomique, en particulier pour l'atome d'hydrogène et les ions hydrogénoïdes. Bien qu'il ait été supplanté par la mécanique quantique, il introduit des concepts fondamentaux tels que la quantification des niveaux d'énergie et des orbites électroniques. Selon Bohr, les électrons ne peuvent occuper que certaines orbites circulaires stables autour du noyau, chacune correspondant à un niveau d'énergie spécifique. Un électron peut passer d'une orbite à une autre en absorbant ou en émettant un photon dont l'énergie correspond exactement à la différence d'énergie entre les deux orbites.

Données de l'étude : L'atome d'Hydrogène

On s'intéresse à l'atome d'hydrogène (numéro atomique \(Z=1\)) dans le cadre du modèle de Bohr.

Constantes physiques :

  • Constante de Rydberg pour l'énergie (\(R_E\)) : \(13.6 \, \text{eV}\) (où \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\))
  • Constante de Rydberg pour le nombre d'onde (\(R_H\)) : \(1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}\)
  • Constante de Planck (\(h\)) : \(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Rayon de Bohr (\(a_0\)) : \(0.0529 \, \text{nm} = 5.29 \times 10^{-11} \, \text{m}\)
Schéma : Modèle de Bohr pour l'Atome d'Hydrogène et Transition Électronique
+ n=1 n=2 n=3 e⁻ hν Transition électronique (émission)

Modèle de Bohr avec orbites quantifiées et émission d'un photon lors d'une transition électronique.

Questions à traiter

  1. Calculer l'énergie (\(E_1\)) du niveau fondamental (n=1) de l'atome d'hydrogène en électron-volts (eV) et en Joules (J).
  2. Calculer le rayon (\(r_1\)) de la première orbite de Bohr pour l'atome d'hydrogène en nanomètres (nm) et en mètres (m).
  3. Un électron de l'atome d'hydrogène effectue une transition du niveau excité \(n_i=3\) vers le niveau \(n_f=2\). Calculer l'énergie du photon émis lors de cette transition, en eV et en J.
  4. Calculer la longueur d'onde (\(\lambda\)) et la fréquence (\(\nu\)) de ce photon émis.
  5. À quelle série spectrale (Lyman, Balmer, Paschen, etc.) appartient la raie correspondant à cette transition ? Dans quelle partie du spectre électromagnétique se situe-t-elle approximativement ?

Correction : Étude du Modèle Atomique de Bohr

Question 1 : Énergie du niveau fondamental (\(E_1\))

Principe :

L'énergie d'un électron sur une orbite \(n\) dans le modèle de Bohr pour un atome hydrogénoïde (avec numéro atomique \(Z\)) est donnée par la formule \(E_n = - \frac{R_E \cdot Z^2}{n^2}\), où \(R_E\) est la constante de Rydberg en unités d'énergie. Pour l'hydrogène, \(Z=1\). Le niveau fondamental correspond à \(n=1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_n = - \frac{R_E \cdot Z^2}{n^2} \]
Données spécifiques :
  • \(R_E = 13.6 \, \text{eV}\)
  • \(Z = 1\) (pour l'hydrogène)
  • \(n = 1\) (pour le niveau fondamental)
  • Conversion : \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
Calcul en eV :
\[ \begin{aligned} E_1 &= - \frac{13.6 \, \text{eV} \cdot (1)^2}{(1)^2} \\ &= -13.6 \, \text{eV} \end{aligned} \]
Calcul en Joules :
\[ \begin{aligned} E_1 (\text{J}) &= -13.6 \, \text{eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV} \\ &\approx -21.7872 \times 10^{-19} \, \text{J} \\ &\approx -2.179 \times 10^{-18} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'énergie du niveau fondamental est \(E_1 = -13.6 \, \text{eV}\) ou environ \(-2.179 \times 10^{-18} \, \text{J}\).

Question 2 : Rayon de la première orbite de Bohr (\(r_1\))

Principe :

Le rayon d'une orbite \(n\) dans le modèle de Bohr pour un atome hydrogénoïde est donné par \(r_n = \frac{n^2 a_0}{Z}\), où \(a_0\) est le rayon de Bohr.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ r_n = \frac{n^2 a_0}{Z} \]
Données spécifiques :
  • \(a_0 = 0.0529 \, \text{nm} = 5.29 \times 10^{-11} \, \text{m}\)
  • \(n = 1\)
  • \(Z = 1\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} r_1 &= \frac{(1)^2 \times 0.0529 \, \text{nm}}{1} \\ &= 0.0529 \, \text{nm} \end{aligned} \]

En mètres :

\[ r_1 = 0.0529 \times 10^{-9} \, \text{m} = 5.29 \times 10^{-11} \, \text{m} \]
Résultat Question 2 : Le rayon de la première orbite de Bohr est \(r_1 = 0.0529 \, \text{nm}\) (ou \(5.29 \times 10^{-11} \, \text{m}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Comment le rayon de l'orbite \(n=2\) se compare-t-il au rayon de l'orbite \(n=1\) pour l'hydrogène ?

Question 3 : Énergie du photon émis (transition \(n_i=3 \rightarrow n_f=2\))

Principe :

Lorsqu'un électron passe d'un niveau d'énergie initial \(E_{n_i}\) à un niveau d'énergie final inférieur \(E_{n_f}\), un photon est émis. L'énergie de ce photon (\(E_{\text{photon}}\)) est égale à la différence d'énergie entre les deux niveaux : \(E_{\text{photon}} = E_{n_i} - E_{n_f} = \Delta E\). (Note: si \(E_{n_f} < E_{n_i}\), \(\Delta E = E_{n_f} - E_{n_i}\) sera négatif, indiquant une émission. L'énergie du photon est la valeur absolue de cette différence).

On calcule d'abord \(E_3\) et \(E_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_n = - \frac{R_E Z^2}{n^2} \] \[ E_{\text{photon}} = E_{n_i} - E_{n_f} = R_E Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \]
Données spécifiques :
  • \(R_E = 13.6 \, \text{eV}\)
  • \(Z = 1\)
  • \(n_i = 3\) (niveau initial)
  • \(n_f = 2\) (niveau final)
Calcul des énergies des niveaux :
\[ \begin{aligned} E_3 &= - \frac{13.6 \, \text{eV} \cdot (1)^2}{(3)^2} = - \frac{13.6}{9} \, \text{eV} \approx -1.511 \, \text{eV} \\ E_2 &= - \frac{13.6 \, \text{eV} \cdot (1)^2}{(2)^2} = - \frac{13.6}{4} \, \text{eV} = -3.40 \, \text{eV} \end{aligned} \]
Calcul de l'énergie du photon en eV :
\[ \begin{aligned} E_{\text{photon}} &= E_3 - E_2 \\ &= (-1.511 \, \text{eV}) - (-3.40 \, \text{eV}) \\ &= -1.511 \, \text{eV} + 3.40 \, \text{eV} \\ &\approx 1.889 \, \text{eV} \end{aligned} \]

Alternativement avec la formule directe :

\[ \begin{aligned} E_{\text{photon}} &= 13.6 \, \text{eV} \cdot (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) \\ &= 13.6 \, \text{eV} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) \\ &= 13.6 \, \text{eV} \left( \frac{9-4}{36} \right) \\ &= 13.6 \, \text{eV} \left( \frac{5}{36} \right) \\ &\approx 13.6 \times 0.13888... \, \text{eV} \\ &\approx 1.889 \, \text{eV} \end{aligned} \]
Calcul de l'énergie du photon en Joules :
\[ \begin{aligned} E_{\text{photon}} (\text{J}) &= 1.889 \, \text{eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV} \\ &\approx 3.026 \times 10^{-19} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'énergie du photon émis est \(E_{\text{photon}} \approx 1.89 \, \text{eV}\) ou environ \(3.03 \times 10^{-19} \, \text{J}\).

Question 4 : Longueur d'onde (\(\lambda\)) et fréquence (\(\nu\)) du photon

Principe :

L'énergie d'un photon est reliée à sa fréquence (\(\nu\)) par \(E = h\nu\) et à sa longueur d'onde (\(\lambda\)) par \(E = \frac{hc}{\lambda}\), où \(h\) est la constante de Planck et \(c\) est la vitesse de la lumière.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \nu = \frac{E_{\text{photon}}}{h} \] \[ \lambda = \frac{hc}{E_{\text{photon}}} \quad \text{ou} \quad \lambda = \frac{c}{\nu} \]

On peut aussi utiliser la formule de Rydberg pour la longueur d'onde : \(\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)\)

Données spécifiques :
  • \(E_{\text{photon}} \approx 3.026 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
  • \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • \(c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(R_H = 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}\), \(Z=1\), \(n_f=2\), \(n_i=3\)
Calcul de la fréquence (\(\nu\)) :
\[ \begin{aligned} \nu &= \frac{3.026 \times 10^{-19} \, \text{J}}{6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}} \\ &\approx 0.4567 \times 10^{15} \, \text{s}^{-1} \\ &\approx 4.567 \times 10^{14} \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Calcul de la longueur d'onde (\(\lambda\)) en utilisant \(E_{\text{photon}}\) :
\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \times (3.00 \times 10^8 \, \text{m/s})}{3.026 \times 10^{-19} \, \text{J}} \\ &= \frac{19.878 \times 10^{-26}}{3.026 \times 10^{-19}} \, \text{m} \\ &\approx 6.569 \times 10^{-7} \, \text{m} \\ &= 656.9 \, \text{nm} \end{aligned} \]

Alternativement, avec la formule de Rydberg :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} &= (1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}) (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) \\ &= (1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}) \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) \\ &= (1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}) \left( \frac{5}{36} \right) \\ &\approx 1.5236 \times 10^6 \, \text{m}^{-1} \\ \lambda &= \frac{1}{1.5236 \times 10^6 \, \text{m}^{-1}} \\ &\approx 6.563 \times 10^{-7} \, \text{m} = 656.3 \, \text{nm} \end{aligned} \]

Les légères différences sont dues aux arrondis des constantes et des calculs intermédiaires.

Résultat Question 4 :
  • Fréquence du photon : \(\nu \approx 4.57 \times 10^{14} \, \text{Hz}\)
  • Longueur d'onde du photon : \(\lambda \approx 656 \, \text{nm}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Une transition électronique d'un niveau d'énergie plus élevé vers un niveau plus bas résulte en :

Question 5 : Série spectrale et domaine du spectre

Principe :

Les transitions électroniques dans l'atome d'hydrogène sont groupées en séries spectrales en fonction du niveau final \(n_f\). Série de Lyman : \(n_f = 1\) (transitions vers le niveau fondamental, domaine UV). Série de Balmer : \(n_f = 2\) (transitions vers le premier niveau excité, domaine visible et proche UV). Série de Paschen : \(n_f = 3\) (transitions vers le deuxième niveau excité, domaine infrarouge).

Analyse :

La transition étudiée est de \(n_i=3\) à \(n_f=2\). Puisque le niveau final est \(n_f=2\), cette transition appartient à la série de Balmer.

La longueur d'onde calculée est \(\lambda \approx 656 \, \text{nm}\). Le spectre visible s'étend approximativement de 400 nm (violet) à 700 nm (rouge). Une longueur d'onde de 656 nm correspond à la lumière rouge.

Résultat Question 5 :
  • La transition appartient à la série de Balmer.
  • Elle se situe dans la partie rouge du spectre visible. (C'est la raie H-alpha).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Selon le modèle de Bohr, l'énergie d'un électron dans un atome est :

2. Une transition de \(n=4\) à \(n=1\) dans l'atome d'hydrogène :

3. Le rayon de Bohr (\(a_0\)) représente :

Glossaire

Modèle Atomique de Bohr
Modèle de l'atome où les électrons orbitent autour du noyau sur des orbites spécifiques correspondant à des niveaux d'énergie quantifiés.
Quantification
Principe selon lequel certaines grandeurs physiques (comme l'énergie ou le moment cinétique d'un électron dans un atome) ne peuvent prendre que des valeurs discrètes spécifiques, et non des valeurs continues.
Niveau d'Énergie
État énergétique spécifique qu'un électron peut occuper dans un atome. Dans le modèle de Bohr, chaque orbite correspond à un niveau d'énergie.
Niveau Fondamental
Le niveau d'énergie le plus bas (\(n=1\)) qu'un électron peut occuper dans un atome.
Niveau Excité
Tout niveau d'énergie supérieur au niveau fondamental (\(n > 1\)).
Photon
Particule élémentaire (quantum) du champ électromagnétique, porteuse de l'énergie lumineuse. Son énergie est \(E = h\nu\).
Transition Électronique
Passage d'un électron d'un niveau d'énergie à un autre, accompagné de l'émission ou de l'absorption d'un photon.
Constante de Rydberg (\(R_E\) ou \(R_H\))
Constante physique apparaissant dans les formules de Rydberg pour les spectres atomiques. \(R_E\) est souvent utilisée pour l'énergie (\(\approx 13.6 \, \text{eV}\)) et \(R_H\) pour le nombre d'onde (\(\approx 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}\)).
Rayon de Bohr (\(a_0\))
Rayon de la première orbite de l'électron dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène (\(\approx 0.0529 \, \text{nm}\)).
Série Spectrale
Ensemble de raies dans le spectre d'émission ou d'absorption d'un atome, correspondant à des transitions électroniques vers un même niveau final (ex: Lyman \(n_f=1\), Balmer \(n_f=2\), Paschen \(n_f=3\)).
Étude du Modèle Atomique de Bohr - Exercice d'Application

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