Structure Cristalline des Métaux (CFC, CC, HC)

Exercice : Structures Cristallines des Métaux

Analyse des Structures Cristallines des Métaux (CFC, CC, HC)

Contexte : La Chimie des MatériauxDiscipline étudiant la relation entre la structure, les propriétés et la mise en œuvre des matériaux..

La majorité des métaux cristallisent selon des arrangements atomiques très ordonnés et périodiques dans l'espace. Comprendre ces arrangements, ou "structures cristallines", est fondamental pour prédire et expliquer leurs propriétés macroscopiques (densité, ductilité, conductivité, etc.). Les trois structures les plus courantes pour les métaux sont le Cubique à Faces Centrées (CFC)Structure cristalline où les atomes sont situés à chaque sommet et au centre de chaque face d'un cube., le Cubique Centré (CC)Structure cristalline où les atomes sont situés à chaque sommet et au centre d'un cube. et l'Hexagonal Compact (HC)Structure cristalline basée sur un empilement compact (ABAB...) de plans hexagonaux.. Cet exercice vise à analyser et comparer les caractéristiques géométriques clés de ces structures.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer des paramètres fondamentaux comme le nombre d'atomes par maille, la compacité (ou taux de remplissage) et la masse volumique théorique d'un métal à partir de sa structure cristalline.

Objectifs Pédagogiques

Identifier et décrire les mailles élémentaires des structures CFC, CC et HC.
Calculer le nombre d'atomes par maille (\(n\)) pour chaque structure.
Déterminer le nombre de coordinationNombre de plus proches voisins d'un atome dans la structure. (ou coordinence) de chaque structure.
Établir la relation entre le paramètre de maille (\(a\)) et le rayon atomique (\(R\)).
Calculer la compacitéFraction du volume total de la maille occupée par les atomes. Aussi appelé "facteur de tassement atomique". (APF) pour les structures CFC et CC.
Calculer la masse volumique théorique (\(\rho\)) d'un métal à partir de ses données cristallographiques.

Données de l'étude

Nous allons étudier les propriétés géométriques des structures métalliques idéales (CFC et CC) en modélisant les atomes comme des sphères dures indéformables et tangentes. Nous appliquerons ensuite ces concepts pour calculer la masse volumique d'un métal réel, l'Aluminium.

Schémas des Mailles Élémentaires

Structures Cubique Centré (CC) et Cubique à Faces Centrées (CFC)

Données Physiques et Constantes

Donnée	Symbole	Valeur	Unité
Aluminium (Al)	-	Structure CFC	-
Masse molaire de l'Aluminium	\(M_{Al}\)	26,98	g/mol
Paramètre de maille de l'Aluminium	\(a_{Al}\)	405	pm (picomètres)
Nombre d'Avogadro	\(N_A\)	6,022 x 10²³	atomes/mol

Questions à traiter

Pour la structure Cubique à Faces Centrées (CFC) :
- Déterminer le nombre d'atomes par maille (\(n\)).
- Déterminer le nombre de coordination (coordinence).
Pour la structure CFC, exprimer la relation entre le paramètre de maille \(a\) et le rayon atomique \(R\). En déduire la compacité (facteur de tassement atomique).
Pour la structure Cubique Centré (CC) :
- Déterminer le nombre d'atomes par maille (\(n\)).
- Déterminer le nombre de coordination (coordinence).
Pour la structure CC, exprimer la relation entre le paramètre de maille \(a\) et le rayon atomique \(R\). En déduire la compacité.
En utilisant les données fournies, calculer la masse volumique théorique (\(\rho\)) de l'Aluminium en g/cm³.

Les bases sur les Structures Cristallines

Une maille élémentaire est le plus petit motif géométrique qui, par répétition périodique dans les trois directions de l'espace, permet de reconstituer l'ensemble du cristal.

1. Nombre d'atomes par maille (\(n\))
Il faut compter la contribution de chaque atome à la maille :

Un atome au sommet est partagé par 8 mailles \(\rightarrow\) compte pour 1/8.
Un atome au centre d'une face est partagé par 2 mailles \(\rightarrow\) compte pour 1/2.
Un atome au centre de la maille appartient en propre à la maille \(\rightarrow\) compte pour 1.
Un atome sur une arête est partagé par 4 mailles \(\rightarrow\) compte pour 1/4.

2. Compacité (APF - Atomic Packing Factor)
C'est le rapport du volume occupé par les atomes dans la maille sur le volume total de la maille. \[ \text{Compacité} = \frac{n \times V_{\text{atome}}}{V_{\text{maille}}} \] Où \(n\) est le nombre d'atomes par maille, \(V_{\text{atome}} = \frac{4}{3}\pi R^3\) (volume d'une sphère) et \(V_{\text{maille}} = a^3\) pour une maille cubique.

3. Masse Volumique Théorique (\(\rho\))
C'est la masse totale des atomes dans la maille divisée par le volume de la maille. \[ \rho = \frac{n \times M}{V_{\text{maille}} \times N_A} \] Où \(M\) est la masse molaire atomique (en g/mol), \(V_{\text{maille}}\) le volume de la maille (en cm³) et \(N_A\) le nombre d'Avogadro.

Correction : Analyse des Structures Cristallines des Métaux (CFC, CC, HC)

Question 1 : Caractéristiques de la structure CFC

Principe

Le concept physique est de déterminer combien d'atomes appartiennent "en propre" à une seule maille cubique élémentaire en considérant le partage des atomes situés aux frontières (sommets, faces) entre mailles voisines. Il faut aussi identifier le nombre d'atomes les plus proches et équidistants d'un atome donné (nombre de coordination).

Mini-Cours

La structure Cubique à Faces Centrées (CFC) est l'un des empilements atomiques les plus denses. Elle est caractérisée par la présence d'atomes aux 8 sommets d'un cube et au centre de chacune de ses 6 faces. Cette disposition maximise le nombre de voisins proches.

Remarque Pédagogique

Pour bien compter les atomes par maille (\(n\)), visualisez la maille comme une "boîte". Un atome au coin est partagé par 8 boîtes adjacentes (imaginez un coin de pièce), donc chaque boîte ne contient que 1/8 de cet atome. Un atome sur une face est partagé par 2 boîtes (le mur mitoyen), donc chaque boîte contient 1/2 de cet atome. Pour la coordinence, choisissez un atome facile à visualiser (celui du centre d'une face, par exemple) et comptez combien d'autres atomes le touchent.

Normes

La description des structures cristallines (positions des atomes, réseaux de Bravais comme le CFC) suit les conventions et notations standardisées par l'Union Internationale de Cristallographie (UICr), assurant une communication universelle en science des matériaux et en physique du solide.

Formule(s)

Nombre d'atomes par maille (\(n\))

n = (\text{Nb sommets} \times \text{contrib. sommet}) + (\text{Nb faces} \times \text{contrib. face}) + (\text{Nb centres} \times \text{contrib. centre}) + ...

Contributions : Sommet = 1/8, Face = 1/2, Centre = 1, Arête = 1/4.

Hypothèses

On formule l'hypothèse d'un cristal idéal, c'est-à-dire parfaitement périodique, sans aucun défaut cristallin (comme les lacunes, les atomes interstitiels ou les dislocations). De plus, les atomes sont modélisés comme des sphères rigides ("hard spheres") de même rayon \(R\).

Donnée(s)

Les données d'entrée pour ce calcul sont la définition géométrique de la structure CFC.

Position	Nombre	Contribution par Atome
Sommet	8	1/8
Centre de Face	6	1/2

Astuces

Pour trouver rapidement la coordinence (12) du CFC : prenez un atome au centre d'une face. Il a 4 voisins aux sommets de cette face. Il a aussi 4 voisins aux centres des faces adjacentes situées dans le même plan. Enfin, il a 4 autres voisins aux centres des faces adjacentes situées dans les plans immédiatement au-dessus et en dessous (ou devant/derrière). Total : 4 + 4 + 4 = 12.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la maille CFC avec les atomes aux sommets et aux centres des faces et leurs contributions fractionnaires à la maille.

Maille Élémentaire CFC et Contributions

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du nombre d'atomes par maille (\(n\))

\begin{aligned} n_{\text{sommets}} &= 8 \text{ sommets} \times \frac{1}{8} \text{ atome/sommet} \\ &= 1 \text{ atome} \\ n_{\text{faces}} &= 6 \text{ faces} \times \frac{1}{2} \text{ atome/face} \\ &= 3 \text{ atomes} \\ n_{\text{CFC}} &= n_{\text{sommets}} + n_{\text{faces}} \\ &= 1 + 3 \\ &= 4 \text{ atomes} \end{aligned}

Étape 2 : Détermination du nombre de coordination

Considérons l'atome au centre de la face avant (coordonnées réduites : (1/2, 1/2, 1)). Ses plus proches voisins sont les atomes aux positions suivantes (en coordonnées réduites) :

4 aux sommets de sa face: (0,0,1), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1) -> Inclus dans les 12 faces touchant le coin (0,0,1) par exemple.
4 aux centres des faces adjacentes dans le même plan z=1/2 (approximativement) : (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2), (1, 1/2, 1/2), (1/2, 1, 1/2). Distance \(a/\sqrt{2}\).

Un atome au centre d'une face, par exemple en (1/2, 1/2, 0), a pour plus proches voisins les 4 atomes aux sommets de cette face (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0) et les 8 atomes aux centres des faces adjacentes (4 dans sa maille, 4 dans les mailles voisines). Les 12 voisins sont situés à une distance \(d = a/\sqrt{2}\).

Le nombre de coordination du CFC est 12.

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre les 12 plus proches voisins d'un atome central (représenté en rouge) dans une structure CFC. Les voisins sont sur les centres des faces adjacentes, montrant la haute densité locale.

Coordinence d'un atome de face (CFC)

Réflexions

Le nombre élevé d'atomes par maille (4) et la coordinence élevée (12) indiquent que la structure CFC est un arrangement très dense d'atomes. C'est l'un des deux empilements compacts possibles pour des sphères identiques, maximisant l'interaction entre atomes voisins et contribuant à la cohésion du métal.

Points de vigilance

Ne pas oublier de diviser la contribution des atomes aux sommets (par 8) et aux faces (par 2). Une erreur fréquente est de compter les atomes entiers comme appartenant à la maille. Pour la coordinence, s'assurer de compter tous les voisins équidistants les plus proches, y compris ceux appartenant aux mailles voisines.

Points à retenir

La structure CFC contient l'équivalent de 4 atomes par maille élémentaire.
Chaque atome dans une structure CFC a 12 plus proches voisins (nombre de coordination = 12).
C'est une structure d'empilement compact.

Le saviez-vous ?

La structure CFC peut être vue comme un empilement de plans atomiques denses selon la séquence ...ABCABC... le long de la grande diagonale du cube. Cette séquence d'empilement la distingue de la structure Hexagonale Compacte (HC) qui suit une séquence ...ABAB... et a également une coordinence de 12 et une compacité de 74%.

FAQ

Questions fréquentes sur cette partie.

Résultat Final

La structure CFC possède 4 atomes par maille et un nombre de coordination de 12.

A vous de jouer

L'Or (Au) cristallise aussi en CFC. Combien d'atomes d'Or y a-t-il dans une maille élémentaire ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 (CFC) :
- \(n = (8 \times 1/8) + (6 \times 1/2) = 4\) atomes/maille
- Coordinence = 12

Question 2 : Compacité de la structure CFC

Principe

Le concept physique est de déterminer quelle fraction du volume total de la maille est réellement occupée par la matière (les atomes, modélisés en sphères). Cela nécessite de connaître le volume d'une sphère atomique (\(V_{\text{atome}}\)) et le volume de la maille (\(V_{\text{maille}}\)), ainsi que le nombre d'atomes par maille (\(n\)). La clé est de relier le rayon atomique \(R\) au paramètre de maille \(a\) en identifiant la direction où les atomes se touchent (tangence).

Mini-Cours

La compacité (ou facteur de tassement atomique, APF) est un indicateur de la densité d'empilement des atomes dans une structure cristalline. Elle est définie comme \( \text{APF} = (n \times V_{\text{atome}}) / V_{\text{maille}} \). Pour les structures CFC et HC, cette valeur atteint le maximum théorique possible (environ 74%) pour l'empilement de sphères identiques, d'où leur appellation d'"empilements compacts".

Remarque Pédagogique

La principale difficulté est souvent de bien identifier la direction de tangence. Observez attentivement le schéma de la maille CFC : les atomes aux sommets ne se touchent pas directement le long d'une arête (\(a > 2R\)). En revanche, l'atome au centre d'une face touche les quatre atomes aux coins de cette face. La ligne reliant deux coins opposés de la face (la diagonale de face, \(d\)) passe par les centres de trois atomes tangents (coin - centre face - coin opposé). C'est cette relation géométrique qu'il faut exploiter.

Normes

Le calcul de la compacité utilise le modèle conventionnel des sphères dures tangentes pour représenter les atomes dans les structures métalliques. Ce modèle est une simplification standard en cristallographie.

Formule(s)

Compacité (APF)

\text{APF} = \frac{n \times V_{\text{atome}}}{V_{\text{maille}}} = \frac{n \times \frac{4}{3}\pi R^3}{a^3}

Théorème de Pythagore (sur la diagonale \(d\) d'une face)

\[ d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \]

Relation de tangence (Diagonale de face)

\[ d = 4R \]

Hypothèses

On maintient les hypothèses de cristal parfait et d'atomes sphériques rigides. On ajoute l'hypothèse cruciale que les atomes sont tangents le long de la diagonale de chaque face du cube.

Donnée(s)

Le nombre d'atomes par maille pour la structure CFC est utilisé comme donnée d'entrée pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre d'atomes/maille (CFC)	\(n\)	4	atomes/maille

Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul, exprimez d'abord \(a\) en fonction de \(R\) (ou \(a^3\) en fonction de \(R^3\)) à partir de la relation de tangence. Ensuite, substituez cette expression dans la formule de l'APF. Les termes \(R^3\) s'annuleront, laissant une valeur numérique pure qui représente la compacité. Mémoriser \(a = 2\sqrt{2}R\) pour le CFC est utile.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la tangence des atomes le long de la diagonale d'une face, permettant d'établir la relation entre \(a\) et \(R\).

Tangence dans la structure CFC (Vue d'une face)

Calcul(s)

Étape 1 : Relation entre \(a\) et \(R\)

La diagonale \(d\) de la face a une longueur \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\). Elle contient également 3 atomes tangents (rayon R + diamètre 2R + rayon R). Sa longueur est donc égale à 4 fois le rayon atomique : \(d = 4R\).

\begin{aligned} d &= a\sqrt{2} \quad \text{et} \quad d = 4R \\ a\sqrt{2} &= 4R \\ a &= \frac{4R}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{4\sqrt{2}R}{2} \\ &= 2\sqrt{2}R \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la compacité (\(n=4\))

\begin{aligned} \text{APF} &= \frac{n \times V_{\text{atome}}}{V_{\text{maille}}} \\ &= \frac{4 \times \frac{4}{3}\pi R^3}{a^3} \\ &= \frac{\frac{16}{3}\pi R^3}{(2\sqrt{2}R)^3} \\ &= \frac{\frac{16}{3}\pi R^3}{8 \times (\sqrt{2})^3 R^3} \\ &= \frac{\frac{16}{3}\pi R^3}{8 \times 2\sqrt{2} R^3} \\ &= \frac{\frac{16}{3}\pi R^3}{16\sqrt{2} R^3} \\ &= \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \\ &\approx 0.74048 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur numérique (\(\approx 74\%\)). Un schéma pourrait représenter la maille CFC avec les volumes interstitiels (vides) mis en évidence, totalisant environ 26% du volume total.

Compacité CFC (Illustration)

Réflexions

Une compacité de 74% est la valeur maximale possible pour un empilement de sphères de même taille (empilement compact). Les structures CFC et HC atteignent toutes deux cette compacité maximale. Cela signifie que l'espace est très efficacement rempli, laissant seulement 26% de volume "vide" (sites interstitiels) dans la maille. Cette haute densité d'empilement contribue aux propriétés typiques des métaux CFC comme une bonne ductilité et une masse volumique relativement élevée.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de mal identifier la direction de tangence et d'utiliser une mauvaise relation entre \(a\) et \(R\). Dans le CFC, les atomes ne sont pas tangents le long de l'arête (\(a \neq 2R\)), mais bien le long de la diagonale de la face (\(a\sqrt{2} = 4R\)). Vérifiez également les calculs algébriques, notamment l'élévation au cube de \(a = 2\sqrt{2}R\).

Points à retenir

Dans la structure CFC, la tangence atomique a lieu le long de la diagonale de la face.
La relation géométrique clé est \(a = 2\sqrt{2}R\).
La compacité de la structure CFC est \( \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 74\% \), ce qui correspond à un empilement compact.

Le saviez-vous ?

Johannes Kepler, célèbre pour ses lois sur le mouvement des planètes, s'est aussi intéressé à l'empilement optimal de sphères (comme des boulets de canon sur un navire ou des oranges chez un marchand). En 1611, il a conjecturé que l'empilement le plus dense possible correspondait à une compacité d'environ 74%, celle des structures CFC et HC. Cette conjecture, étonnamment difficile à prouver, n'a été formellement démontrée qu'en 1998 par Thomas Hales.

FAQ

Questions fréquentes sur cette partie.

Résultat Final

Relation : \(a = 2\sqrt{2}R\). Compacité (APF) = \(\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74\) (soit 74%).

A vous de jouer

Le Cuivre (CFC) a un rayon atomique \(R = 128\) pm. Quel est son paramètre de maille \(a\) en pm ? (Rappel : \(a = 2\sqrt{2}R\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 (CFC) :
- Tangence: Diagonale face \(d=4R\)
- Relation: \(a=2\sqrt{2}R\)
- Compacité: \(APF = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74\)

Question 3 : Caractéristiques de la structure CC

Principe

Le concept physique est identique à celui de la Q1 pour le CFC : compter les contributions atomiques (ici, sommets + centre) pour obtenir \(n\), et identifier les plus proches voisins d'un atome (ici, l'atome central est le plus simple à considérer) pour la coordinence.

Mini-Cours

La structure Cubique Centré (CC) est une autre structure cristalline courante pour les métaux. Elle est définie par la présence d'atomes aux 8 sommets du cube et d'un unique atome positionné exactement au centre géométrique du cube. Cet atome central n'est partagé avec aucune autre maille.

Remarque Pédagogique

Le décompte des atomes (\(n\)) dans la structure CC est généralement plus simple que pour le CFC car il n'y a que deux types de positions à considérer : les sommets (contribution 1/8 chacun) et le centre (contribution 1). Pour la coordinence, l'atome central est le choix évident : il "voit" directement les 8 atomes aux sommets comme ses voisins les plus proches.

Normes

Comme pour le CFC, la description de la structure CC (réseau de Bravais cubique centré, positions atomiques) suit les conventions de l'Union Internationale de Cristallographie (UICr).

Formule(s)

Nombre d'atomes par maille (\(n\))

n = (\text{Nb sommets} \times \text{contrib. sommet}) + (\text{Nb centres} \times \text{contrib. centre})

Contributions : Sommet = 1/8, Centre = 1.

Hypothèses

On suppose un cristal CC parfait, modélisé par des sphères dures indéformables.

Donnée(s)

Les données d'entrée pour ce calcul sont la définition géométrique de la structure CC.

Position	Nombre	Contribution par Atome
Sommet	8	1/8
Centre du Cube	1	1

Astuces

Pour la coordinence (8) du CC, placez-vous mentalement au centre du cube. Les 8 sommets sont tous à la même distance (la moitié de la grande diagonale du cube) et sont les voisins les plus proches. Il n'y a pas d'autres atomes plus près.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la maille CC avec les contributions atomiques : 1/8 pour chaque sommet et 1 pour l'atome central.

Maille Élémentaire CC et Contributions

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du nombre d'atomes par maille (\(n\))

\begin{aligned} n_{\text{sommets}} &= 8 \text{ sommets} \times \frac{1}{8} \text{ atome/sommet} \\ &= 1 \text{ atome} \\ n_{\text{centre}} &= 1 \text{ centre} \times 1 \text{ atome/centre} \\ &= 1 \text{ atome} \\ n_{\text{CC}} &= n_{\text{sommets}} + n_{\text{centre}} \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \text{ atomes} \end{aligned}

Étape 2 : Détermination du nombre de coordination

L'atome situé au centre du cube (coordonnées 1/2, 1/2, 1/2) est équidistant des 8 atomes situés aux sommets du cube (coordonnées 0,0,0 ; 1,0,0 ; etc.). La distance entre le centre et un sommet est la moitié de la grande diagonale du cube (\(D/2 = a\sqrt{3}/2\)). Ce sont les plus proches voisins.

Le nombre de coordination du CC est 8.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de l'atome central (rouge) et de ses 8 plus proches voisins (bleu) situés aux sommets du cube.

Coordinence dans la structure CC

Réflexions

Avec seulement 2 atomes par maille et une coordinence de 8, la structure CC est intrinsèquement moins dense que la structure CFC (qui a \(n=4\) et coordinence 12). Cette différence d'empilement a des conséquences importantes sur les propriétés physiques et mécaniques des métaux (par exemple, les métaux CC sont souvent moins ductiles à basse température que les métaux CFC).

Points de vigilance

L'erreur principale serait d'oublier l'atome central (contribution = 1) ou de mal compter la contribution des sommets (8 x 1/8 = 1). Pour la coordinence, il faut bien identifier les *plus proches* voisins ; les atomes au centre des mailles voisines sont plus éloignés que les atomes aux sommets.

Points à retenir

La structure CC contient l'équivalent de 2 atomes par maille élémentaire.
Chaque atome dans une structure CC a 8 plus proches voisins (nombre de coordination = 8).
C'est une structure moins compacte que le CFC.

Le saviez-vous ?

La transformation allotropique du Fer (passage de la structure CC, Fer \(\alpha\), à la structure CFC, Fer \(\gamma\), vers 912°C) est un exemple clé en métallurgie. Ce changement de structure atomique est essentiel pour comprendre et contrôler les microstructures et les propriétés des aciers lors des traitements thermiques comme la trempe.

FAQ

...

Résultat Final

La structure CC possède 2 atomes par maille et un nombre de coordination de 8.

A vous de jouer

Le Fer \(\alpha\) (CC) est utilisé en construction. Combien d'atomes de Fer y a-t-il dans 10 mailles élémentaires ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 (CC) :
- \(n = (8 \times 1/8) + (1 \times 1) = 2\) atomes/maille
- Coordinence = 8

Question 4 : Compacité de la structure CC

Principe

Comme pour le CFC, il faut calculer la fraction de volume occupée par les atomes. La différence clé réside dans la direction de tangence : dans le CC, les atomes se touchent le long de la grande diagonale (\(D\)) du cube (qui relie deux sommets opposés en passant par le centre). Il faut donc utiliser la relation géométrique impliquant \(D\), \(a\) et \(R\) pour calculer l'APF.

Mini-Cours

La grande diagonale (ou diagonale du cube) relie deux sommets opposés. Sa longueur \(D\) est liée au paramètre de maille \(a\) par la relation \(D^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2\), soit \(D = a\sqrt{3}\). Dans la structure CC, l'atome central est tangent aux atomes des sommets situés aux extrémités de cette diagonale.

Remarque Pédagogique

Visualisez la grande diagonale : elle passe par le centre de l'atome de coin inférieur gauche avant, le centre de l'atome central, et le centre de l'atome de coin supérieur droit arrière (ou une autre paire de coins opposés). Ces trois atomes se touchent le long de cette ligne. La longueur de cette diagonale est donc \(R + 2R + R = 4R\).

Normes

Le calcul repose sur le modèle standard des sphères dures tangentes appliqué à la géométrie spécifique de la maille CC.

Formule(s)

Compacité (APF)

\text{APF} = \frac{n \times \frac{4}{3}\pi R^3}{a^3}

Grande Diagonale (\(D\)) du cube

D = a\sqrt{3}

Relation de tangence (Grande diagonale)

\[ D = 4R \]

Hypothèses

Cristal parfait, atomes sphériques rigides, et tangence effective le long de la grande diagonale du cube.

Donnée(s)

Le nombre d'atomes par maille pour la structure CC est utilisé comme donnée d'entrée.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre d'atomes/maille (CC)	\(n\)	2	atomes/maille

Astuces

La démarche est la même que pour le CFC : 1) Établir la relation entre \(D\), \(a\) et \(R\). 2) Isoler \(a\) en fonction de \(R\). 3) Substituer \(a^3\) dans la formule de l'APF. 4) Simplifier l'expression pour obtenir la valeur numérique. Mémoriser \(a\sqrt{3} = 4R\) pour le CC est utile.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la tangence le long de la grande diagonale du cube, reliant un sommet, le centre, et le sommet opposé.

Tangence dans la structure CC

Calcul(s)

Étape 1 : Relation entre \(a\) et \(R\)

La grande diagonale \(D\) a une longueur \(D = a\sqrt{3}\). Elle contient 3 atomes tangents (rayon R + diamètre 2R + rayon R). Sa longueur est donc égale à 4 fois le rayon atomique : \(D = 4R\).

\begin{aligned} D &= a\sqrt{3} \quad \text{et} \quad D = 4R \\ a\sqrt{3} &= 4R \\ a &= \frac{4R}{\sqrt{3}} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la compacité (\(n=2\))

\begin{aligned} \text{APF} &= \frac{n \times V_{\text{atome}}}{V_{\text{maille}}} \\ &= \frac{2 \times \frac{4}{3}\pi R^3}{a^3} \\ &= \frac{\frac{8}{3}\pi R^3}{(\frac{4R}{\sqrt{3}})^3} \\ &= \frac{\frac{8}{3}\pi R^3}{\frac{64R^3}{3\sqrt{3}}} \\ &= \frac{8\pi}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{64} \\ &= \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \\ &\approx 0.68017 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est la compacité (\(\approx 68\%\)). Un schéma pourrait illustrer le volume occupé par les 2 atomes équivalents dans la maille CC, laissant environ 32% d'espace vide.

Compacité CC (Illustration)

Réflexions

Une compacité de 68% est significativement inférieure à celle du CFC (74%). La structure CC est considérée comme un empilement "non compact". Cet espace vide plus important entre les atomes influence les propriétés physiques, comme la possibilité d'insérer de petits atomes en sites interstitiels (comme le Carbone dans le Fer pour former l'acier) et affecte les mécanismes de déformation plastique.

Points de vigilance

La direction de tangence est la grande diagonale (\(D=a\sqrt{3}=4R\)), à ne pas confondre avec la diagonale de face (\(d=a\sqrt{2}\)) utilisée pour le CFC. Assurez-vous d'utiliser la bonne relation géométrique et le bon nombre d'atomes par maille (\(n=2\)) dans la formule de l'APF.

Points à retenir

Dans la structure CC, la tangence atomique a lieu le long de la grande diagonale du cube.
La relation géométrique clé est \(a\sqrt{3} = 4R\) ou \(a = 4R/\sqrt{3}\).
La compacité de la structure CC est \( \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 68\% \).

Le saviez-vous ?

Bien que moins compacte que le CFC, la structure CC est très courante, notamment pour les métaux réfractaires (comme le Tungstène, le Molybdène) qui ont des points de fusion très élevés. La nature des liaisons métalliques dans ces éléments favorise cet arrangement malgré une compacité plus faible.

FAQ

...

Résultat Final

Relation : \(a = \frac{4R}{\sqrt{3}}\). Compacité (APF) = \(\frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0.68\) (soit 68%).

A vous de jouer

Le Fer \(\alpha\) (CC) a un paramètre de maille \(a = 286,65\) pm. Quel est son rayon atomique \(R\) en pm ? (Rappel : \(R = a\sqrt{3}/4\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 (CC) :
- Tangence: Grande diagonale \(D=4R\)
- Relation: \(a = 4R/\sqrt{3}\)
- Compacité: \(APF = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0.68\)

Question 5 : Masse Volumique de l'Aluminium (CFC)

Principe

Le concept physique est de relier l'échelle atomique (masse d'un atome, taille de la maille) à l'échelle macroscopique (masse volumique). En connaissant la masse contenue dans une maille (\(n \times \text{masse d'un atome}\)) et le volume de cette maille (\(a^3\)), on peut calculer la densité théorique du matériau parfait.

Mini-Cours

La masse volumique théorique (\(\rho\)) d'un cristal est déterminée par la masse des atomes présents dans une maille élémentaire divisée par le volume de cette maille. Elle est calculée via la formule \(\rho = \frac{n \times M}{V_{\text{maille}} \times N_A}\), où \(n\) est le nombre d'atomes par maille, \(M\) la masse molaire de l'élément, \(V_{\text{maille}}\) le volume de la maille, et \(N_A\) le nombre d'Avogadro. Ce calcul suppose un cristal parfait sans défauts ni vides.

Remarque Pédagogique

La clé de ce calcul réside dans la gestion rigoureuse des unités. La masse molaire \(M\) est généralement donnée en g/mol, le nombre d'Avogadro \(N_A\) en atomes/mol, et le paramètre de maille \(a\) en unités de longueur très petites (pm, Å). Pour obtenir une masse volumique dans une unité usuelle comme g/cm³, il est impératif de convertir le paramètre de maille \(a\) en cm *avant* de calculer le volume \(V_{\text{maille}} = a^3\). C'est l'étape où les erreurs sont les plus fréquentes.

Normes

Le calcul suit les définitions physiques standards de la masse volumique et utilise la constante fondamentale qu'est le nombre d'Avogadro (\(N_A\)). Les unités cibles (g/cm³) sont conventionnelles en science des matériaux.

Formule(s)

\rho = \frac{n \times M}{V_{\text{maille}} \times N_A} \quad \text{avec } V_{\text{maille}} = a^3

Unités typiques pour \(\rho\) en g/cm³ : \(n\) (sans unité), \(M\) (g/mol), \(a\) (cm), \(N_A\) (atomes/mol).

Hypothèses

On suppose que la masse volumique macroscopique du matériau réel est bien représentée par la masse volumique calculée à partir de la maille élémentaire idéale. Cela implique l'absence de défauts cristallins (lacunes, interstitiels) ou de porosité qui affecteraient la densité réelle.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Structure Al	-	CFC	-
Nombre d'atomes/maille (CFC)	\(n\)	4	atomes/maille
Masse molaire Al	\(M_{Al}\)	26,98	g/mol
Paramètre de maille Al	\(a_{Al}\)	405	pm
Nombre d'Avogadro	\(N_A\)	6,022 x 10²³	atomes/mol

Astuces

La conversion cruciale est \(1 \text{ pm} = 10^{-10} \text{ cm}\). Donc, si \(a\) est en pm, le volume \(a^3\) en cm³ est \((a_{\text{pm}} \times 10^{-10})^3 = a_{\text{pm}}^3 \times 10^{-30} \text{ cm}^3\). Mémoriser ce facteur \(10^{-30}\) (ou \(10^{-24}\) si on part d'Angströms) peut accélérer le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation de la maille CFC de l'Aluminium, dont on connaît le paramètre \(a_{Al} = 405\) pm et le nombre d'atomes \(n=4\).

Maille CFC de l'Aluminium

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion du paramètre de maille \(a\) en cm

\begin{aligned} a &= 405 \text{ pm} \\ &= 405 \times 10^{-10} \text{ cm} \\ &= 4,05 \times 10^{-8} \text{ cm} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du volume de la maille \(V_{\text{maille}}\) en cm³

\begin{aligned} V_{\text{maille}} &= a^3 \\ &= (4,05 \times 10^{-8} \text{ cm})^3 \\ &\approx 6,643 \times 10^{-23} \text{ cm}^3 \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de la masse volumique \(\rho\) en g/cm³

\begin{aligned} \rho &= \frac{n \times M}{V_{\text{maille}} \times N_A} \\ &= \frac{4 \text{ atomes/maille} \times 26,98 \text{ g/mol}}{(6,643 \times 10^{-23} \text{ cm}^3/\text{maille}) \times (6,022 \times 10^{23} \text{ atomes/mol})} \\ &= \frac{4 \times 26,98}{6,643 \times 10^{-23} \times 6,022 \times 10^{23}} \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\ &= \frac{107,92}{6,643 \times 6,022} \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\ &= \frac{107,92}{40,00} \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\ &\approx 2,698 \text{ g/cm}^3 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat (\(\rho \approx 2,70\) g/cm³) est la masse volumique calculée. Un schéma pourrait montrer un cube représentant 1 cm³ d'Aluminium avec sa masse indiquée, ou comparer cette densité à celle d'autres matériaux.

Masse Volumique de l'Aluminium

Réflexions

La valeur calculée (\(\approx 2,70 \text{ g/cm}^3\)) est extrêmement proche de la valeur expérimentale tabulée pour la masse volumique de l'Aluminium pur à température ambiante. Cette excellente concordance valide le modèle de la structure cristalline CFC pour l'Aluminium et montre que la densité macroscopique est très bien prédite par l'arrangement atomique à l'échelle de la maille élémentaire, suggérant une faible concentration de défauts ou de porosité dans un échantillon réel typique.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est la conversion des unités du paramètre de maille \(a\). Assurez-vous de convertir \(a\) en cm avant de l'élever au cube pour obtenir \(V_{\text{maille}}\) en cm³. Une erreur courante est d'oublier que \( (10^{-10})^3 = 10^{-30} \). Vérifiez que les unités s'annulent correctement dans la formule finale pour obtenir des g/cm³.

Points à retenir

La masse volumique théorique relie les paramètres microscopiques (\(n, M, a\)) à une propriété macroscopique (\(\rho\)).
La formule essentielle est \(\rho = \frac{n M}{a^3 N_A}\).
La conversion correcte des unités (notamment \(a\) en cm) est absolument cruciale pour obtenir un résultat correct en g/cm³.

Le saviez-vous ?

La technique de diffraction des rayons X (DRX) permet de déterminer expérimentalement la structure cristalline (CFC, CC, HC...) et de mesurer avec une très grande précision le paramètre de maille \(a\) d'un matériau. C'est grâce à ces mesures expérimentales de \(a\) que l'on peut calculer la masse volumique théorique et la comparer aux mesures directes de densité, ou encore estimer le rayon atomique \(R\).

FAQ

...

Résultat Final

La masse volumique théorique de l'Aluminium est d'environ 2,70 g/cm³.

A vous de jouer

Le Fer \(\alpha\) (CC) a \(n=2\), \(M = 55,85\) g/mol et \(a = 286,65\) pm. Calculez sa masse volumique en g/cm³. (Indice : \(V = (2,8665 \times 10^{-8})^3 \approx 2,355 \times 10^{-23} \text{ cm}^3\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 (Masse Volumique) :
- Formule: \(\rho = \frac{n M}{a^3 N_A}\)
- Unités Clés: \(M\) (g/mol), \(a\) (cm), \(N_A\) (atomes/mol)
- Conversion: \(1 \text{ pm} = 10^{-10} \text{ cm} \Rightarrow (a_{\text{pm}})^3 = a_{\text{pm}}^3 \times 10^{-30} \text{ cm}^3\)
- \(n_{\text{CFC}}=4\), \(n_{\text{CC}}=2\)

Outil Interactif : Simulateur de Masse Volumique

Utilisez cet outil pour calculer la masse volumique théorique en faisant varier la structure (qui fixe \(n\)), la masse molaire et le paramètre de maille.

Paramètres d'Entrée

Masse Molaire (M) (g/mol) 26.98 g/mol

Paramètre de Maille (a) (pm) 405 pm

Type de Structure

Résultats Clés

Volume de la maille (\(V_{\text{maille}}\)) - cm³

Masse Volumique (\(\rho\)) - g/cm³

Glossaire

Cubique Centré (CC): Structure cristalline où les atomes sont situés à chaque sommet et au centre d'un cube. (Ex: Fer \(\alpha\), Chrome, Tungstène).
Cubique à Faces Centrées (CFC): Structure cristalline où les atomes sont situés à chaque sommet et au centre de chaque face d'un cube. (Ex: Aluminium, Cuivre, Or, Argent).
Hexagonal Compact (HC): Structure cristalline non cubique basée sur un empilement compact de plans d'atomes (ABAB...). (Ex: Zinc, Magnésium, Titane \(\alpha\)).
Compacité (APF): Fraction du volume total de la maille occupée par les atomes (modélisés en sphères). \( \text{APF} = V_{\text{atomes}} / V_{\text{maille}} \). C'est un nombre sans unité, toujours inférieur à 1.
Maille élémentaire: Le plus petit volume de matière qui, par translation dans les trois directions de l'espace, permet de générer l'ensemble du cristal.
Masse Volumique Théorique (\(\rho\)): Masse des atomes contenus dans une maille divisée par le volume de cette maille. S'exprime souvent en g/cm³.
Nombre de coordination (Coordinence): Nombre de plus proches voisins (atomes tangents) d'un atome donné dans la structure.
Paramètre de maille (\(a\)): Longueur de l'arête de la maille cubique. S'exprime souvent en picomètres (pm) ou en Angströms (Å).

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