Structure Cristalline des Métaux (CFC, CC, HC)
Comprendre la Structure Cristalline des Métaux
À l'état solide, la grande majorité des métaux présentent une structure cristalline, c'est-à-dire que leurs atomes sont arrangés de manière ordonnée et périodique dans un réseau tridimensionnel. Cet arrangement peut être décrit par une "maille élémentaire", le plus petit motif qui, par répétition, engendre l'ensemble du cristal. Les trois structures les plus courantes pour les métaux sont la structure Cubique à Faces Centrées (CFC), la structure Cubique Centrée (CC), et la structure Hexagonale Compacte (HC). La structure cristalline influence directement de nombreuses propriétés macroscopiques des métaux, comme leur densité, leur ductilité et leur résistance mécanique.
Données de l'étude
| Métal | Structure Cristalline | Rayon Atomique (\(R\)) | Masse Molaire (\(M\)) |
|---|---|---|---|
| Fer (\(\alpha\)-Fe) | Cubique Centrée (CC) | 0.124 \(\text{nm}\) | 55.85 \(\text{g/mol}\) |
| Aluminium (Al) | Cubique à Faces Centrées (CFC) | 0.143 \(\text{nm}\) | 26.98 \(\text{g/mol}\) |
| Magnésium (Mg) | Hexagonale Compacte (HC) | 0.160 \(\text{nm}\) | 24.31 \(\text{g/mol}\) |
Schéma des Mailles Élémentaires Métalliques
Représentation des trois mailles élémentaires métalliques les plus courantes.
Questions à traiter
- Calculer le nombre d'atomes par maille (\(n\)) pour les structures CC et CFC.
- Déterminer le nombre de plus proches voisins (coordinence) pour un atome dans une structure CC et une structure CFC.
- Établir la relation entre le paramètre de maille (\(a\)) et le rayon atomique (\(R\)) pour les structures CC et CFC.
- Calculer la compacité (ou facteur de tassement atomique) pour les structures CC et CFC. Laquelle de ces deux structures est la plus compacte ?
- Calculer la masse volumique théorique (\(\rho\)) de l'Aluminium (Al) en \(\text{g/cm}^3\). Comparer cette valeur à la valeur expérimentale connue (\(\sim 2.70 \text{ g/cm}^3\)).
- La structure Hexagonale Compacte (HC) est, comme la CFC, un empilement compact. Quelles sont les valeurs de sa coordinence et de sa compacité ?
- Expliquer pourquoi les métaux de structure CFC (comme l'Aluminium) sont généralement plus ductiles que les métaux de structure HC (comme le Magnésium) à température ambiante.
Correction : Structure Cristalline des Métaux
Question 1 : Nombre d'atomes par maille (\(n\))
Principe :
Le nombre d'atomes (\(n\)) appartenant en propre à une maille se calcule en additionnant les fractions d'atomes situés aux différents sites de la maille. Un atome au sommet est partagé par 8 mailles (compte pour 1/8), un atome au centre d'une face par 2 mailles (compte pour 1/2), et un atome au centre de la maille n'appartient qu'à cette maille (compte pour 1).
Calculs :
- Structure Cubique Centrée (CC) : 8 atomes aux sommets et 1 atome au centre.
\[n_{\text{CC}} = \left(8 \times \frac{1}{8}\right)_{\text{sommets}} + (1)_{\text{centre}} = 1 + 1 = 2 \text{ atomes/maille}\]
- Structure Cubique à Faces Centrées (CFC) : 8 atomes aux sommets et 6 atomes au centre des faces.
\[n_{\text{CFC}} = \left(8 \times \frac{1}{8}\right)_{\text{sommets}} + \left(6 \times \frac{1}{2}\right)_{\text{faces}} = 1 + 3 = 4 \text{ atomes/maille}\]
Question 2 : Coordinence
Principe :
La coordinence (ou nombre de coordination) est le nombre d'atomes les plus proches d'un atome donné dans le réseau cristallin. Ce sont ses voisins directs.
Détermination :
- Structure CC : Pour l'atome situé au centre du cube, ses plus proches voisins sont les 8 atomes situés aux sommets du cube. La coordinence est donc de 8.
- Structure CFC : Pour un atome situé à un sommet, ses plus proches voisins sont les atomes au centre des 3 faces qui se rejoignent à ce sommet, ainsi que ceux des 3 mailles adjacentes partageant ce sommet, etc. Le plus simple est de considérer l'atome au centre de la face avant : il est à égale distance de 4 atomes dans le plan de la face (les sommets) et de 4 atomes au centre des faces adjacentes (haut, bas, gauche, droite) dans son plan, plus 2 atomes sur les faces avant et arrière des mailles voisine. Une analyse géométrique plus rigoureuse montre que ses 12 plus proches voisins sont les atomes au centre des faces adjacentes. La coordinence est de 12.
Question 3 : Relation entre paramètre de maille (\(a\)) et rayon atomique (\(R\))
Principe :
Cette relation est établie en considérant les directions de contact atomique (directions compactes) dans la maille, où les atomes sont tangents.
Analyse géométrique :
- Structure CC : Les atomes se touchent le long de la grande diagonale du cube. La longueur de cette diagonale est \(\sqrt{3}a\). Elle est égale à 4 fois le rayon atomique (\(R+2R+R\)).
\[\sqrt{3}a = 4R \quad \Rightarrow \quad a = \frac{4R}{\sqrt{3}}\]
- Structure CFC : Les atomes se touchent le long de la diagonale d'une face du cube. La longueur de cette diagonale est \(\sqrt{2}a\). Elle est égale à 4 fois le rayon atomique.
\[\sqrt{2}a = 4R \quad \Rightarrow \quad a = \frac{4R}{\sqrt{2}} = 2R\sqrt{2}\]
Quiz Intermédiaire 1 : Dans une structure CFC, si le rayon atomique est \(R\), quelle est la distance la plus courte entre les centres de deux atomes ?
Question 4 : Calcul de la compacité
Principe :
La compacité (ou facteur de tassement atomique) est le rapport entre le volume occupé par les atomes dans une maille et le volume total de la maille. Elle représente l'efficacité avec laquelle les atomes remplissent l'espace.
Formule et calculs :
- Structure CC : \(n=2\) et \(a = \frac{4R}{\sqrt{3}}\)
\[\text{Compacité}_{\text{CC}} = \frac{2 \times \frac{4}{3}\pi R^3}{\left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right)^3} = \frac{\frac{8}{3}\pi R^3}{\frac{64R^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{8\pi}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{64} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0.68\]
La compacité de la structure CC est de 68%.
- Structure CFC : \(n=4\) et \(a = 2R\sqrt{2}\)
\[\text{Compacité}_{\text{CFC}} = \frac{4 \times \frac{4}{3}\pi R^3}{\left(2R\sqrt{2}\right)^3} = \frac{\frac{16}{3}\pi R^3}{16\sqrt{2}R^3} = \frac{16\pi}{3} \times \frac{1}{16\sqrt{2}} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74\]
La compacité de la structure CFC est de 74%.
La structure **CFC est plus compacte** que la structure CC.
Question 5 : Masse volumique théorique de l'Aluminium (Al)
Principe :
La masse volumique théorique se calcule en divisant la masse totale des atomes dans une maille par le volume de cette maille.
Formule et calcul :
Données pour l'Aluminium (CFC) :
- \(n = 4\) atomes/maille
- \(M = 26.98\) g/mol
- \(R = 0.143\) nm = \(0.143 \times 10^{-7}\) cm
- \(N_A = 6.022 \times 10^{23}\) atomes/mol
1. Calcul du paramètre de maille \(a\) :
2. Calcul du volume de la maille \(V_{\text{maille}}\) :
3. Calcul de la masse volumique \(\rho\) :
La valeur calculée (2.708 g/cm³) est en excellent accord avec la valeur expérimentale connue (\(\sim\) 2.70 g/cm³).
Question 6 : Propriétés de la structure Hexagonale Compacte (HC)
Principe :
La structure Hexagonale Compacte (HC) est, avec la CFC, l'un des deux arrangements les plus denses possibles pour des sphères de même taille.
Propriétés :
- Coordinence : Tout comme la structure CFC, la structure HC est un empilement compact. Chaque atome est en contact avec 6 voisins dans son propre plan, 3 voisins dans le plan supérieur et 3 voisins dans le plan inférieur. La coordinence est donc également de 12.
- Compacité : Étant un empilement maximalement compact, la structure HC a la même compacité théorique que la structure CFC. La compacité de la structure HC est de \(\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74\) ou 74%.
La différence entre les structures CFC et HC réside dans la séquence d'empilement des plans compacts (ABCABC... pour CFC, et ABABAB... pour HC), mais pas dans leur densité d'empilement.
Question 7 : Ductilité des métaux CFC et HC
Principe :
La ductilité d'un métal est liée à sa capacité à subir une déformation plastique, qui se produit par le glissement de plans d'atomes les uns sur les autres. Ce glissement se fait plus facilement dans des "systèmes de glissement" (combinaison d'un plan dense et d'une direction dense).
Explication :
- Métaux CFC (ex: Al, Cu) : Les structures CFC possèdent plusieurs plans de glissement denses (les plans de la famille \{111\}) et plusieurs directions denses dans chaque plan. Ils ont un grand nombre de systèmes de glissement (12) qui sont orientés dans différentes directions de l'espace. Cela signifie que, quelle que soit la direction de la contrainte appliquée, il y a toujours des systèmes de glissement favorablement orientés pour s'activer et permettre la déformation. C'est ce qui leur confère leur grande ductilité.
- Métaux HC (ex: Mg, Zn) : Les structures HC ont beaucoup moins de systèmes de glissement actifs à température ambiante. Le glissement se produit principalement sur le plan basal \{0001\}, qui est unique. S'il n'est pas bien orienté par rapport à la contrainte, la déformation est difficile et le matériau a tendance à rompre de manière plus fragile. D'autres systèmes de glissement existent mais nécessitent une énergie d'activation plus élevée (souvent atteinte à plus haute température).
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
8. Une maille élémentaire Cubique à Faces Centrées (CFC) contient combien d'atomes en propre ?
9. La compacité (facteur de tassement atomique) la plus élevée parmi les structures cristallines courantes est :
10. Un métal ayant de nombreux systèmes de glissement activables est généralement :
Glossaire
- Structure Cristalline
- Arrangement ordonné et périodique des atomes, ions ou molécules dans un matériau solide.
- Maille Élémentaire
- Le plus petit motif géométrique qui, par translation dans les trois directions de l'espace, permet de reconstituer l'ensemble du cristal.
- Cubique Centrée (CC)
- Structure cristalline dont la maille est un cube avec un atome à chaque sommet et un atome au centre du cube.
- Cubique à Faces Centrées (CFC)
- Structure cristalline dont la maille est un cube avec un atome à chaque sommet et un atome au centre de chaque face.
- Hexagonale Compacte (HC)
- Structure cristalline basée sur un prisme hexagonal, constituant l'un des deux empilements les plus compacts possibles.
- Coordinence
- Nombre de plus proches voisins d'un atome dans une structure cristalline.
- Compacité (Facteur de Tassement Atomique)
- Fraction du volume de la maille élémentaire effectivement occupée par les atomes (considérés comme des sphères rigides).
- Paramètre de Maille (a)
- Longueur de l'arête de la maille élémentaire cubique.
- Système de Glissement
- Combinaison d'un plan cristallographique dense et d'une direction dense contenue dans ce plan, le long de laquelle la déformation plastique par glissement de dislocations se produit préférentiellement.
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