Calcul de Spontanéité à 500°C
Comprendre le Calcul de Spontanéité à 500°C
Dans une usine de traitement des métaux, on s’intéresse à la faisabilité thermodynamique de la réaction de réduction de l’oxyde de fer (Fe₂O₃) en fer métallique (Fe) par le monoxyde de carbone (CO) pour produire du dioxyde de carbone (CO₂). Cette réaction est cruciale pour la production de fer dans les hauts fourneaux. L’équation de la réaction est donnée par :
\[ \text{Fe}_2\text{O}_3(s) + 3\text{CO}(g) \rightarrow 2\text{Fe}(s) + 3\text{CO}_2(g) \]
L’objectif de cet exercice est de déterminer si la réaction est spontanée à 500°C en utilisant l’équation de Gibbs.
Données :
- ΔG° (Fe₂O₃, s) = -740 kJ/mol à 298 K
- ΔG° (CO, g) = -137 kJ/mol à 298 K
- ΔG° (CO₂, g) = -394 kJ/mol à 298 K
Les capacités calorifiques (Cp) moyennes entre 298 K et 773 K (500°C) sont :
- Cp (Fe₂O₃, s) = 103.1 J/mol·K
- Cp (CO, g) = 29.1 J/mol·K
- Cp (CO₂, g) = 37.1 J/mol·K
Question:
Calculer ΔG à 773 K (500°C) pour déterminer la spontanéité de la réaction.
Correction : Calcul de Spontanéité à 500°C
1. Calcul de \(\Delta G^\circ\) à 298 K
Pour une réaction générale, la variation d’énergie libre standard est donnée par :
\[ \Delta G^\circ_{\text{rxn}} = \sum \Delta G^\circ(\text{produits}) – \sum \Delta G^\circ(\text{réactifs}) \]
Formule :
\[ \Delta G^\circ_{298} = \Bigl[2\,\Delta G^\circ(\text{Fe}) + 3\,\Delta G^\circ(\text{CO}_2)\Bigr] – \Bigl[\Delta G^\circ(\text{Fe}_2\text{O}_3) + 3\,\Delta G^\circ(\text{CO})\Bigr] \]
Données :
- \(\Delta G^\circ(\text{Fe}_2\text{O}_3, s) = -740\,\text{kJ/mol}\)
- \(\Delta G^\circ(\text{CO}, g) = -137\,\text{kJ/mol}\)
- \(\Delta G^\circ(\text{CO}_2, g) = -394\,\text{kJ/mol}\)
- Pour l’élément Fe, \(\Delta G^\circ(\text{Fe}, s) = 0\,\text{kJ/mol}\) (état de référence)
Calcul :
1. Contribution des produits :
\[ 2\,\Delta G^\circ(\text{Fe}) + 3\,\Delta G^\circ(\text{CO}_2) = 2\times 0 + 3\times(-394) \] \[ = -1182\,\text{kJ} \]
2. Contribution des réactifs :
\[ \Delta G^\circ(\text{Fe}_2\text{O}_3) + 3\,\Delta G^\circ(\text{CO}) = (-740) + 3\times(-137) \] \[ = -740 – 411 \] \[ = -1151\,\text{kJ} \]
3. Calcul de \(\Delta G^\circ\) :
\[ \Delta G^\circ_{298} = -1182 – (-1151) \] \[ \Delta G^\circ_{298} = -1182 + 1151 \] \[ \Delta G^\circ_{298} = -31\,\text{kJ/mol} \]
2. Calcul de \(\Delta C_p\) (variation des capacités calorifiques)
La variation totale de la capacité calorifique (\(\Delta C_p\)) pour la réaction est obtenue en faisant la somme pondérée des \(C_p\) des produits moins ceux des réactifs. Dans cet exercice, seules les valeurs de \(C_p\) pour \(\text{Fe}_2\text{O}_3\), \(\text{CO}\) et \(\text{CO}_2\) sont fournies. Pour le fer (\(\text{Fe}\)), on considère que sa contribution est négligeable.
Formule :
\[ \Delta C_p = \Bigl[3\,C_p(\text{CO}_2) + 2\,C_p(\text{Fe})\Bigr] – \Bigl[C_p(\text{Fe}_2\text{O}_3) + 3\,C_p(\text{CO})\Bigr] \]
Hypothèse :
\(C_p(\text{Fe}) \approx 0\,\text{J/mol·K}\) (contribution négligeable)
Données :
- \(C_p (\text{Fe}_2\text{O}_3, s) = 103.1\,\text{J/mol·K}\)
- \(C_p (\text{CO}, g) = 29.1\,\text{J/mol·K}\)
- \(C_p (\text{CO}_2, g) = 37.1\,\text{J/mol·K}\)
Calcul :
1. Somme pour les produits :
\[ 3\,C_p(\text{CO}_2) + 2\,C_p(\text{Fe}) = 3\times 37.1 + 2\times 0 \] \[ = 111.3\,\text{J/mol·K} \]
2. Somme pour les réactifs :
\[ C_p(\text{Fe}_2\text{O}_3) + 3\,C_p(\text{CO}) = 103.1 + 3\times 29.1 \] \[ = 103.1 + 87.3 \] \[ = 190.4\,\text{J/mol·K} \]
3. Variation :
\[ \Delta C_p = 111.3 – 190.4 \] \[ \Delta C_p = -79.1\,\text{J/mol·K} \]
Pour exprimer en kJ :
\[ -79.1\,\text{J/mol·K} = -0.0791\,\text{kJ/mol·K} \]
3. Calcul de \(\Delta G\) à 773 K (500°C)
Pour tenir compte du changement de température, on utilise la formule intégrant l’effet de \(\Delta C_p\) :
\[ \Delta G (T_2) = \Delta G (T_1) + \Delta C_p \,(T_2 – T_1) – T_2\,\Delta C_p \,\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) \]
avec :
- \(T_1 = 298\,\text{K}\)
- \(T_2 = 773\,\text{K}\)
Données et substitutions :
- \(\Delta G (298\,\text{K}) = -31\,\text{kJ/mol}\)
- \(\Delta C_p = -0.0791\,\text{kJ/mol·K}\)
- \(T_2 – T_1 = 773 – 298 = 475\,\text{K}\)
- \(\ln\left(\frac{773}{298}\right) = \ln(2.594) \approx 0.954\)
Calcul détaillé :
1. Terme 1 :
\[ \Delta C_p \,(T_2 – T_1) = -0.0791 \times 475 \] \[ \approx -37.57\,\text{kJ/mol} \]
2. Terme 2 :
\[ – T_2\,\Delta C_p \,\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = -773\times(-0.0791)\times 0.954 \]
\[ -0.0791\times 0.954 \approx -0.0754 \] \[ \Rightarrow \quad -773\times(-0.0754) \approx 58.33\,\text{kJ/mol} \]
3. Assemblage final :
\[ \Delta G (773\,\text{K}) = -31 + (-37.57) + 58.33 \] \[ \Delta G (773\,\text{K}) \approx -31 – 37.57 + 58.33 \] \[ \Delta G (773\,\text{K}) \approx -10.24\,\text{kJ/mol} \]
Conclusion
Interprétation :
À 773 K, on obtient \(\Delta G \approx -10.24\,\text{kJ/mol}\). Puisque la valeur de \(\Delta G\) est négative, la réaction est spontanée à 500°C (773 K), bien que la spontanéité soit moins marquée qu’à 298 K.
Calcul de Spontanéité à 500°C
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