Étude du Modèle Atomique de Bohr
Contexte : Le Modèle de BohrUn modèle atomique proposé par Niels Bohr en 1913, qui décrit l'atome comme un noyau central autour duquel les électrons se déplacent sur des orbites circulaires quantifiées..
Le modèle de Bohr, bien que simplifié, a été une étape cruciale dans la compréhension de la structure atomique. Il postule que les électrons dans un atome ne peuvent exister que sur des niveaux d'énergie spécifiques et quantifiés. Lorsqu'un électron "saute" d'un niveau d'énergie supérieur à un niveau inférieur, l'atome émet un photonUne particule élémentaire de la lumière, qui transporte une quantité d'énergie définie (quantum). dont l'énergie correspond exactement à la différence d'énergie entre les deux niveaux. Cet exercice se concentre sur le calcul des propriétés de cette lumière émise pour l'atome d'hydrogène.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de lier concrètement les concepts abstraits de niveaux d'énergie quantifiés à des phénomènes observables, comme les couleurs spécifiques des spectres d'émission atomique.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la formule de Bohr pour calculer l'énergie d'un niveau quantique.
- Déterminer l'énergie, la fréquence et la longueur d'onde d'un photon émis.
- Comprendre la relation entre les transitions électroniques et les spectres lumineux.
Données de l'étude
Schéma de la Transition Électronique
| Constante ou Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Constante de Rydberg | \(R_H\) | \(2.18 \times 10^{-18} \text{ J}\) |
| Constante de Planck | \(h\) | \(6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\) |
| Vitesse de la lumière dans le vide | \(c\) | \(3.00 \times 10^8 \text{ m/s}\) |
| Niveau quantique initial | \(n_{\text{i}}\) | 3 |
| Niveau quantique final | \(n_{\text{f}}\) | 2 |
Questions à traiter
- Calculer l'énergie de l'électron sur le niveau initial (\(n_{\text{i}} = 3\)).
- Calculer l'énergie de l'électron sur le niveau final (\(n_{\text{f}} = 2\)).
- En déduire l'énergie \(\Delta E\) de la transition, puis l'énergie du photon émis.
- Calculer la fréquence (\(\nu\)) de ce photon.
- Calculer la longueur d'onde (\(\lambda\)) du photon, et identifier la couleur de la raie spectrale correspondante.
Les bases sur le Modèle de Bohr
Pour résoudre cet exercice, deux formules clés du modèle de Bohr pour l'atome d'hydrogène sont nécessaires.
1. Énergie d'un niveau quantique (n)
L'énergie d'un électron sur une orbite \(n\) est donnée par la formule de Bohr. Pour un hydrogénoïde de numéro atomique Z, elle est :
\[ E_n = -R_H \frac{Z^2}{n^2} \]
Pour l'hydrogène, \(Z=1\), donc la formule se simplifie en : \( E_n = - \frac{R_H}{n^2} \).
2. Énergie du photon émis
Lors d'une transition de \(n_{\text{i}}\) à \(n_{\text{f}}\) (avec \(n_{\text{i}} > n_{\text{f}}\)), la variation d'énergie de l'atome est \(\Delta E = E_{\text{f}} - E_{\text{i}}\). L'énergie du photon émis est la valeur absolue de cette variation, et elle est liée à sa fréquence \(\nu\) et à sa longueur d'onde \(\lambda\) par :
\[ E_{\text{photon}} = |\Delta E| = h \nu = \frac{hc}{\lambda} \]
Correction : Étude du Modèle Atomique de Bohr
Question 1 : Calcul de l'énergie au niveau initial \(n_{\text{i}}=3\)
Principe
Le modèle de Bohr postule que l'énergie d'un électron est "quantifiée", c'est-à-dire qu'elle ne peut prendre que certaines valeurs discrètes. Nous allons calculer l'une de ces valeurs pour le troisième niveau d'énergie.
Mini-Cours
L'énergie d'un électron dans un atome est définie comme négative par convention. L'état de référence (énergie nulle) correspond à un électron infiniment éloigné du noyau, donc non lié. Un électron lié a une énergie plus basse que cet état de référence, d'où le signe négatif. Pour "arracher" l'électron (ionisation), il faut lui fournir une énergie au moins égale à la valeur absolue de son énergie de liaison.
Remarque Pédagogique
L'approche systématique est la clé. Identifiez la formule à utiliser, listez les données nécessaires, puis effectuez l'application numérique. Assurez-vous que les unités sont cohérentes, même si ici, les constantes sont déjà fournies dans le bon système.
Normes
En chimie théorique, les "normes" sont les modèles et postulats établis. Ici, notre cadre de référence est le modèle de Bohr pour les atomes hydrogénoïdes, qui constitue la base acceptée pour ce type de calcul simplifié.
Formule(s)
Formule de l'énergie d'un niveau n
Hypothèses
- Le modèle de Bohr est applicable (atome d'hydrogène, Z=1).
- On considère le noyau comme étant fixe.
- Les effets relativistes sont négligés.
Donnée(s)
Les données utilisées proviennent des constantes physiques fondamentales et des informations fournies dans l'énoncé de l'exercice.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Constante de Rydberg | \(R_H\) | \(2.18 \times 10^{-18}\) | \(\text{J}\) |
| Niveau initial | \(n_{\text{i}}\) | 3 | - |
Astuces
N'oubliez pas que le niveau quantique \(n\) est au carré dans le dénominateur. C'est l'une des erreurs d'inattention les plus courantes dans ce calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Niveau d'Énergie Initial
Calcul(s)
Calcul de l'énergie \(E_3\)
Schéma (Après les calculs)
Niveau d'Énergie Initial avec Valeur
Réflexions
Le résultat \(-2.42 \times 10^{-19} \text{ J}\) représente l'énergie de l'électron sur la 3ème orbite. Cette valeur est moins négative que celle du niveau n=1 (\(-2.18 \times 10^{-18} \text{ J}\)), ce qui est logique : plus l'électron est loin du noyau, plus son énergie est élevée (moins il est lié).
Points de vigilance
Faites attention au signe négatif dans la formule, il est essentiel. Une erreur de calcul avec les puissances de 10 est aussi fréquente. Utilisez la fonction "EXP" ou "EE" de votre calculatrice pour éviter les erreurs de saisie.
Points à retenir
- L'énergie d'un niveau quantique est toujours négative.
- L'énergie augmente (devient moins négative) lorsque le nombre quantique \(n\) augmente.
- La relation est en \(1/n^2\), donc les niveaux d'énergie se resserrent à mesure que \(n\) augmente.
Le saviez-vous ?
Le modèle de Bohr, bien que dépassé par la mécanique quantique, est toujours enseigné car il a été le premier à introduire avec succès l'idée de quantification de l'énergie dans l'atome, expliquant ainsi les spectres de raies observés expérimentalement.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour vérifier votre compréhension, calculez l'énergie (en \(10^{-19} \text{ J}\)) de l'électron sur le niveau \(n=4\).
Question 2 : Calcul de l'énergie au niveau final \(n_{\text{f}}=2\)
Principe
Nous utilisons la même logique que pour la question 1. Le concept physique est identique : l'énergie de l'électron est quantifiée et dépend de son niveau \(n\).
Mini-Cours
Les niveaux d'énergie les plus bas (proches du noyau) sont les plus stables. Un électron sur un niveau élevé (comme n=3) est dans un "état excité". Il tendra naturellement à retourner vers un état plus stable et de plus basse énergie (comme n=2 ou n=1), en libérant l'excédent d'énergie.
Remarque Pédagogique
Comparez toujours vos résultats. L'énergie du niveau n=2 doit être inférieure (plus négative) à celle du niveau n=3. C'est un excellent moyen de vérifier la cohérence de vos calculs.
Normes
Le postulat de Bohr sur les états stationnaires est la "règle" que nous appliquons ici : un électron sur une orbite permise ne rayonne pas d'énergie. L'énergie n'est échangée que lors d'un changement d'orbite.
Formule(s)
Formule de l'énergie d'un niveau n
Hypothèses
- Les mêmes hypothèses que pour la question 1 s'appliquent.
Donnée(s)
Les données proviennent de la constante de Rydberg (une constante physique) et du niveau final spécifié dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Constante de Rydberg | \(R_H\) | \(2.18 \times 10^{-18}\) | \(\text{J}\) |
| Niveau final | \(n_{\text{f}}\) | 2 | - |
Astuces
Le calcul de \(1/4\) est simple (\(0.25\)). Vous pouvez faire de tête \(2.18 \times 0.25\) pour obtenir rapidement une estimation de la réponse (\(\approx 0.55\)).
Schéma (Avant les calculs)
Niveau d'Énergie Final
Calcul(s)
Calcul de l'énergie \(E_2\)
Schéma (Après les calculs)
Niveau d'Énergie Final avec Valeur
Réflexions
L'énergie \(-5.45 \times 10^{-19} \text{ J}\) est bien plus négative que celle du niveau n=3. Cela confirme que le niveau 2 est plus stable et plus "profond" dans le puits de potentiel du noyau que le niveau 3. L'électron est plus fortement lié.
Points de vigilance
L'erreur la plus simple serait de calculer \(2n\) au lieu de \(n^2\). Soyez méthodique et écrivez bien \(2^2 = 4\) dans votre calcul intermédiaire.
Points à retenir
- Un niveau \(n\) plus petit signifie une orbite plus proche du noyau.
- Une orbite plus proche implique une attraction plus forte, donc une énergie de liaison plus grande (énergie plus négative).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'énergie (en \(10^{-19} \text{ J}\)) de l'électron sur le niveau fondamental, \(n=1\).
Question 3 : Calcul de l'énergie du photon émis
Principe
La loi de conservation de l'énergie impose que l'énergie perdue par l'électron en changeant de niveau soit libérée sous une autre forme. Dans ce cas, elle est émise sous la forme d'un unique quantum de lumière : un photon.
Mini-Cours
L'énergie d'un photon est toujours une quantité positive. La variation d'énergie de l'atome (\(\Delta E = E_{\text{final}} - E_{\text{initial}}\)) est négative lors d'une émission, car l'atome perd de l'énergie. L'énergie du photon est simplement la valeur absolue de cette variation : \(E_{\text{photon}} = |\Delta E|\). Pour une transition d'un niveau haut \(n_{\text{i}}\) à un niveau bas \(n_{\text{f}}\), on peut aussi écrire directement \(E_{\text{photon}} = E_{n_{\text{i}}} - E_{n_{\text{f}}}\).
Remarque Pédagogique
Attention à l'ordre de la soustraction. Pour trouver une énergie de photon positive, on fait toujours (Énergie du niveau le plus haut) - (Énergie du niveau le plus bas). C'est une manière intuitive de s'assurer de ne pas se tromper de signe.
Formule(s)
Formule de l'énergie du photon
Donnée(s)
Les données utilisées sont les résultats des calculs d'énergie effectués aux questions 1 et 2.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Énergie initiale | \(E_3\) | \(-2.422 \times 10^{-19} \text{ J}\) |
| Énergie finale | \(E_2\) | \(-5.45 \times 10^{-19} \text{ J}\) |
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de la Transition Énergétique
Calcul(s)
Calcul de l'énergie du photon
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de la Transition avec Valeur
Réflexions
Cette valeur de \(3.03 \times 10^{-19} \text{ J}\) est l'énergie exacte que le photon emporte. C'est cette quantification précise des énergies de transition qui explique pourquoi les atomes émettent de la lumière uniquement à des couleurs (fréquences) bien définies, créant des spectres de raies.
Points de vigilance
L'erreur principale est de se tromper de signe dans la soustraction de nombres négatifs. Écrivez le calcul en entier : \(E_{\text{i}} - E_{\text{f}} = (\text{valeur de } E_{\text{i}}) - (\text{valeur de } E_{\text{f}})\).
Points à retenir
L'énergie d'un photon émis est toujours positive et est égale à la différence d'énergie entre le niveau de départ (haut) et le niveau d'arrivée (bas).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'énergie (en \(10^{-19} \text{ J}\)) du photon émis lors de la transition de n=4 à n=2.
Question 4 : Calcul de la fréquence \(\nu\) du photon
Principe
L'énergie d'un photon n'est pas indépendante de ses propriétés ondulatoires. La relation de Planck-Einstein établit que l'énergie est directement proportionnelle à la fréquence de l'onde lumineuse associée.
Mini-Cours
La constante de Planck, \(h\), est une constante fondamentale de la physique quantique. Elle représente le "quantum d'action" et lie l'énergie d'une particule (comme un photon) à sa fréquence. Cette relation est le fondement de la dualité onde-corpuscule de la lumière.
Remarque Pédagogique
Pensez à la fréquence comme le "nombre de vibrations" de l'onde lumineuse par seconde. Une plus grande énergie "secoue" l'espace plus rapidement, d'où une fréquence plus élevée. C'est le lien direct entre l'énergie et la nature vibratoire de la lumière.
Normes
La relation \(E = h\nu\) est un pilier de la mécanique quantique, formulée par Max Planck et Albert Einstein. Elle n'est pas une norme de construction, mais une loi fondamentale de la physique qui gouverne toutes les interactions lumière-matière à l'échelle atomique.
Formule(s)
Relation de Planck-Einstein
Hypothèses
Nous supposons que le photon se propage dans le vide, où sa vitesse est \(c\). La fréquence d'un photon ne change pas lorsqu'il passe d'un milieu à un autre, contrairement à sa longueur d'onde, ce qui en fait une propriété plus fondamentale de la particule.
Donnée(s)
Les données proviennent du résultat du calcul de l'énergie du photon (question 3) et de la constante de Planck (constante physique).
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Énergie du photon | \(E_{\text{photon}}\) | \(3.03 \times 10^{-19} \text{ J}\) |
| Constante de Planck | \(h\) | \(6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\) |
Astuces
Pour estimer rapidement l'ordre de grandeur : \(10^{-19} / 10^{-34}\) donne \(10^{15}\). Votre résultat doit donc être de l'ordre de \(10^{14}\) ou \(10^{15}\) Hz. Cela permet de repérer une erreur de calcul grossière.
Schéma (Avant les calculs)
Relation Énergie-Fréquence d'un Photon
Calcul(s)
Calcul de la fréquence \(\nu\)
Schéma (Après les calculs)
Photon avec Fréquence Calculée
Réflexions
La fréquence de \(4.57 \times 10^{14} \text{ Hz}\) se situe dans la plage des fréquences de la lumière visible. Chaque couleur que nous percevons correspond à une fréquence spécifique, et nous allons utiliser cette valeur pour identifier la couleur à la question suivante.
Points de vigilance
La plus grande source d'erreur est la gestion des puissances de 10. Double-vérifiez votre calcul, surtout la soustraction des exposants (\((-19) - (-34) = +15\)). Une erreur ici peut changer radicalement l'ordre de grandeur du résultat.
Points à retenir
La relation \(E = h\nu\) est l'une des plus importantes de la physique quantique. Elle lie le monde corpusculaire (énergie \(E\)) au monde ondulatoire (fréquence \(\nu\)).
Le saviez-vous ?
L'unité Hertz (Hz) signifie "cycles par seconde". Une fréquence de \(4.57 \times 10^{14} \text{ Hz}\) signifie que le champ électromagnétique de l'onde lumineuse oscille 457 mille milliards de fois par seconde.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un photon a une énergie de \(4.09 \times 10^{-19} \text{ J}\) (transition n=4 vers n=2). Calculez sa fréquence en \(10^{14} \text{ Hz}\).
Question 5 : Calcul de la longueur d'onde \(\lambda\) et identification
Principe
Pour toute onde électromagnétique se propageant dans le vide, sa fréquence et sa longueur d'onde sont liées par une relation simple impliquant la vitesse de la lumière. La longueur d'onde est souvent plus pratique pour caractériser la lumière visible.
Mini-Cours
La relation \(c = \lambda \nu\) montre que la fréquence et la longueur d'onde sont inversement proportionnelles. Une haute énergie correspond à une haute fréquence mais à une courte longueur d'onde (comme les rayons X ou UV). Une basse énergie correspond à une basse fréquence et une grande longueur d'onde (comme les ondes radio ou infrarouges).
Remarque Pédagogique
La conversion finale de mètres en nanomètres (\(1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}\)) est une étape cruciale. Le spectre visible est presque toujours exprimé en nm. Mémorisez que la lumière visible s'étend approximativement de 400 nm (violet) à 750 nm (rouge).
Formule(s)
Relation entre vitesse, fréquence et longueur d'onde
Donnée(s)
Les données proviennent de la vitesse de la lumière (constante physique) et de la fréquence calculée à la question 4.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Vitesse de la lumière | \(c\) | \(3.00 \times 10^8 \text{ m/s}\) |
| Fréquence | \(\nu\) | \(4.57 \times 10^{14} \text{ Hz}\) |
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Longueur d'Onde
Calcul(s)
Calcul de la longueur d'onde en mètres
Conversion de la longueur d'onde en nanomètres
Schéma (Après les calculs)
Position sur le Spectre Visible
Réflexions
Une longueur d'onde de 656 nm correspond à la couleur rouge. C'est l'une des raies les plus intenses et reconnaissables du spectre de l'hydrogène, connue sous le nom de raie H-alpha. Elle appartient à la série de Balmer (transitions qui se terminent au niveau n=2).
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser la vitesse de la lumière en m/s pour être cohérent avec l'unité Hz (qui est en s⁻¹). L'erreur la plus commune est d'oublier la conversion en nanomètres ou de se tromper dans le facteur de conversion (\(10^9\)).
Points à retenir
- Haute énergie \(\iff\) Haute fréquence \(\iff\) Courte longueur d'onde.
- Basse énergie \(\iff\) Basse fréquence \(\iff\) Grande longueur d'onde.
- Le spectre visible pour l'homme s'étend environ de 400 nm à 750 nm.
Le saviez-vous ?
La série de Balmer (transitions vers n=2) est historiquement significative car ses quatre raies visibles furent les premières décrites par une formule mathématique simple par Johann Balmer en 1885, bien avant que le modèle de Bohr n'explique le "pourquoi" de cette formule.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la longueur d'onde (en \(\text{nm}\)) de la transition de n=4 à n=2. Quelle est sa couleur ?
Outil Interactif : Spectre de l'Hydrogène
Utilisez les curseurs pour choisir les niveaux d'énergie initial et final d'une transition électronique dans l'atome d'hydrogène. Observez comment l'énergie et la longueur d'onde du photon émis changent. Le graphique montre les principales raies de la série de Balmer (transitions vers n=2).
Paramètres de Transition
Résultats du Photon Émis
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que signifie une valeur d'énergie négative pour un électron dans un atome ?
2. Lorsqu'un électron passe du niveau \(n=1\) au niveau \(n=4\)...
3. Quelle transition électronique émettrait un photon avec la plus GRANDE énergie ?
4. Les raies discrètes dans un spectre d'émission atomique sont une preuve directe que...
5. Le modèle de Bohr est une excellente approximation, mais il ne décrit parfaitement que...
- Niveau quantique (n)
- Dans le modèle de Bohr, un des états d'énergie discrets et stables qu'un électron peut occuper. Il est représenté par un entier positif (n=1, 2, 3...).
- Photon
- Quantum d'énergie électromagnétique, perçu comme une particule de lumière. Son énergie est directement proportionnelle à sa fréquence.
- Spectre d'émission
- Ensemble des fréquences (ou longueurs d'onde) de la lumière émise par un atome lorsqu'il est excité. Pour un élément donné, ce spectre est unique et constitué de raies discrètes.
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