Calcul des Orbitales Atomiques de l’Hydrogène
Contexte : La structure électronique de l'atome.
L'atome d'hydrogène, composé d'un seul proton et d'un seul électron, est le système atomique le plus simple. Il constitue un cas d'école en chimie théorique car l'équation de SchrödingerÉquation fondamentale en mécanique quantique qui décrit l'évolution dans le temps de la fonction d'onde d'un système. peut y être résolue de manière exacte. La résolution de cette équation donne naissance aux orbitales atomiquesRégions de l'espace autour du noyau d'un atome où la probabilité de trouver un électron est la plus élevée. Chaque orbitale est décrite par une fonction d'onde spécifique., qui sont des fonctions mathématiques décrivant l'état de l'électron (son énergie et sa distribution spatiale).
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour comprendre comment la mécanique quantique décrit la structure des atomes. La maîtrise des concepts d'orbitales et de nombres quantiques pour l'hydrogène est la première étape avant d'aborder les atomes plus complexes.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la signification des trois nombres quantiques (n, l, m_l).
- Calculer l'énergie d'un électron dans un niveau quantique donné.
- Identifier la forme des orbitales atomiques (s, p).
- Analyser la partie radiale de la fonction d'onde.
Données de l'étude
Constantes Fondamentales
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Énergie de Rydberg | \(R_H\) | 13.6 eV |
| Rayon de Bohr | \(a_0\) | 0.529 Å (ou \(5.29 \times 10^{-11}\) m) |
| Constante de Planck | \(h\) | \(6.626 \times 10^{-34}\) J.s |
Représentation de l'atome d'hydrogène
Questions à traiter
- Déterminer les ensembles de nombres quantiques \((n, l, m_l)\) possibles pour le niveau d'énergie n=3.
- Calculer, en électron-volts (eV), l'énergie d'un électron se trouvant sur l'orbitale 3d.
- La fonction d'onde de l'orbitale 1s est donnée par \(\Psi_{1s} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0}\). Quelle est la probabilité de trouver l'électron dans un petit volume \(dV\) situé à une distance \(r = 2a_0\) du noyau ?
- Calculer le rayon où la probabilité de présence radiale de l'électron de l'orbitale 1s est maximale.
- Vérifier la condition de normalisation pour la fonction d'onde \(\Psi_{1s}\), c'est-à-dire que \(\int |\Psi_{1s}|^2 dV = 1\).
Les bases de la Chimie Quantique
La description de l'électron dans un atome repose sur la résolution de l'équation de Schrödinger. Pour l'atome d'hydrogène, cette équation peut être résolue exactement en coordonnées sphériques \((r, \theta, \phi)\). Les solutions, appelées fonctions d'onde \(\Psi\), décrivent les orbitales atomiques.
1. L'équation de Schrödinger et l'Énergie
L'énergie de l'électron dans l'atome d'hydrogène est quantifiée et ne dépend que du nombre quantique principal \(n\) :
\[ E_n = - \frac{R_H}{n^2} \]
où \(n\) est un entier strictement positif (\(1, 2, 3, ...\)).
2. Les Nombres Quantiques
Chaque orbitale est définie par un ensemble unique de trois nombres quantiques :
- \(n\) (principal) : Définit le niveau d'énergie et la taille de l'orbitale (\(n \ge 1\)).
- \(l\) (secondaire ou azimutal) : Définit la forme de l'orbitale (\(0 \le l \le n-1\)). \(l=0 \rightarrow s\), \(l=1 \rightarrow p\), \(l=2 \rightarrow d\), etc.
- \(m_l\) (magnétique) : Définit l'orientation de l'orbitale dans l'espace (\(-l \le m_l \le +l\)).
Correction : Calcul des Orbitales Atomiques de l’Hydrogène
Question 1 : Déterminer les ensembles de nombres quantiques pour n=3.
Principe
Pour un niveau d'énergie donné (une "couche"), défini par \(n\), les électrons ne peuvent pas occuper n'importe quelle sous-couche ou orientation. La mécanique quantique impose des règles strictes sur les valeurs permises pour les nombres quantiques secondaire (\(l\)) et magnétique (\(m_l\)), qui définissent l'adresse complète de l'électron.
Mini-Cours
Les nombres quantiques fonctionnent comme une hiérarchie. Le nombre \(n\) (le pays) contraint les valeurs de \(l\) (la ville), qui à son tour contraint les valeurs de \(m_l\) (la rue). Le nombre total d'orbitales pour une couche \(n\) est toujours égal à \(n^2\). Pour \(n=3\), on s'attend donc à trouver \(3^2=9\) orbitales.
Remarque Pédagogique
Pensez à cette question comme un exercice de logique pure. Il n'y a pas de calculs complexes, seulement l'application systématique de deux règles simples. Listez d'abord toutes les valeurs possibles pour \(l\), puis pour chaque valeur de \(l\), listez toutes les valeurs de \(m_l\) qui en découlent.
Normes
Les règles de construction des nombres quantiques ne sont pas des "normes" au sens réglementaire, mais les postulats fondamentaux de la mécanique quantique appliqués au problème de l'atome d'hydrogène.
Formule(s)
Règle pour le nombre quantique azimutal (l)
Règle pour le nombre quantique magnétique (m_l)
Hypothèses
On se place dans le cadre du modèle quantique standard de l'atome, ignorant les effets relativistes ou les corrections plus fines qui n'affectent pas ces règles de sélection.
Donnée(s)
La seule donnée nécessaire pour cette question est le nombre quantique principal \(n\), qui est fourni directement dans l'énoncé de la question.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Nombre quantique principal | n | 3 |
Astuces
Le nombre de valeurs possibles pour \(m_l\) est toujours \(2l+1\). Pour trouver le nombre total d'orbitales, vous pouvez simplement sommer \(2l+1\) pour toutes les valeurs de \(l\) permises.
Schéma (Avant les calculs)
Hiérarchie des Nombres Quantiques
Calcul(s)
Il s'agit d'une déduction logique basée sur les règles des nombres quantiques, plutôt que d'un calcul numérique.
Étape 1 : Déterminer les valeurs de \(l\) possibles pour \(n=3\)
En appliquant la règle \(0 \le l \le n-1\), nous trouvons que \(l\) peut prendre les valeurs entières de 0 jusqu'à \(3-1=2\). Cela nous donne les sous-couches 3s (\(l=0\)), 3p (\(l=1\)) et 3d (\(l=2\)).
Étape 2 : Lister les valeurs de \(m_l\) pour chaque valeur de \(l\)
Nous appliquons la règle \(-l \le m_l \le +l\) pour chaque sous-couche identifiée :
- Pour \(l=0\) (orbitale 3s) : \(m_l\) ne peut prendre que la valeur 0. Cela donne l'ensemble unique \((3, 0, 0)\).
- Pour \(l=1\) (orbitales 3p) : \(m_l\) peut prendre les valeurs -1, 0, et +1. Cela donne trois ensembles : \((3, 1, -1), (3, 1, 0), (3, 1, 1)\).
- Pour \(l=2\) (orbitales 3d) : \(m_l\) peut prendre les valeurs -2, -1, 0, +1, et +2. Cela donne cinq ensembles : \((3, 2, -2), (3, 2, -1), (3, 2, 0), (3, 2, 1), (3, 2, 2)\).
Schéma (Après les calculs)
Arborescence des 9 orbitales pour n=3
Réflexions
On retrouve bien nos \(1 + 3 + 5 = 9\) orbitales, ce qui correspond à \(n^2\). Chaque triplet \((n, l, m_l)\) définit une orbitale unique, une "case quantique" où peuvent se loger au maximum deux électrons (de spins opposés).
Points de vigilance
L'erreur classique est de mal appliquer les bornes. Rappelez-vous que \(l\) s'arrête à \(n-1\), pas à \(n\). Et \(m_l\) est symétrique autour de 0, incluant 0.
Points à retenir
Pour maîtriser la question, retenez :
1. La valeur de \(n\) fixe la plage de \(l\).
2. La valeur de \(l\) fixe la plage de \(m_l\).
3. Le nombre total d'orbitales est \(n^2\).
Le saviez-vous ?
Le concept de "niveaux d'énergie" a été introduit par Niels Bohr en 1913, bien avant l'équation de Schrödinger. Son modèle planétaire de l'atome, bien qu'incorrect, prédisait déjà correctement les énergies de l'hydrogène, mais la signification profonde des nombres quantiques n'est venue qu'avec la mécanique quantique.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Combien d'orbitales au total se trouvent sur la couche n=4 ? Entrez le nombre total.
Question 2 : Calculer l'énergie d'un électron sur l'orbitale 3d.
Principe
Le concept physique clé est la quantification de l'énergie. Contrairement à un satellite qui peut avoir n'importe quelle énergie orbitale, un électron dans un atome ne peut occuper que des niveaux d'énergie discrets et bien définis, comme les barreaux d'une échelle.
Mini-Cours
Pour les atomes hydrogénoïdes (un seul électron), toutes les orbitales d'un même niveau \(n\) ont la même énergie. On dit qu'elles sont "dégénérées". Ainsi, une orbitale 3s, une 3p et une 3d ont exactement la même énergie. Cette dégénérescence est levée dans les atomes polyélectroniques à cause des interactions entre les électrons.
Remarque Pédagogique
La clé ici est d'identifier le bon nombre quantique à utiliser. L'énoncé mentionne "3d", ce qui donne \(n=3\) et \(l=2\). Mais la formule de l'énergie ne dépend que de \(n\). Le fait que ce soit une orbitale 'd' n'a aucune importance pour le calcul de l'énergie dans ce cas précis (atome d'hydrogène).
Normes
Ce calcul découle directement de la solution de l'équation de Schrödinger pour le potentiel coulombien, un des piliers de la physique atomique.
Formule(s)
Formule de l'énergie d'un niveau n
Hypothèses
On suppose que le noyau est infiniment lourd et fixe (approximation de Born-Oppenheimer) et on néglige les effets de structure fine ou hyper-fine.
Donnée(s)
Le nombre quantique principal \(n=3\) est déduit de la nomenclature de l'orbitale "3d" demandée dans la question. L'énergie de Rydberg \(R_H\) est une constante fondamentale fournie dans les données générales de l'exercice.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre quantique principal | n | 3 | - |
| Énergie de Rydberg | \(R_H\) | 13.6 | eV |
Astuces
Retenez les premières énergies : E1 = -13.6 eV, E2 = E1/4 = -3.4 eV, E3 = E1/9 = -1.51 eV. Ce sont des valeurs de référence très courantes.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des niveaux d'énergie
Calcul(s)
L'orbitale est "3d", donc son nombre quantique principal est \(n=3\). On applique directement la formule.
Calcul de l'énergie pour n=3
Schéma (Après les calculs)
Positionnement du résultat sur le diagramme
Réflexions
L'énergie est négative, ce qui confirme que l'électron est dans un état lié. Pour arracher cet électron de l'atome (l'ioniser), il faudrait fournir au minimum 1.511 eV d'énergie.
Points de vigilance
Ne pas oublier le signe "moins" ! Une énergie positive correspondrait à un électron libre, non lié à l'atome. Attention aussi à bien mettre \(n\) au carré au dénominateur.
Points à retenir
L'essentiel à maîtriser est que pour l'hydrogène, l'énergie ne dépend que de \(n\). La formule \(E_n = -R_H/n^2\) est l'un des résultats les plus importants de la chimie quantique de base.
Le saviez-vous ?
L'électron-volt (eV) est une unité d'énergie très utilisée en physique atomique. C'est l'énergie acquise par un électron accéléré par une différence de potentiel de 1 volt. \(1 \text{ eV} \approx 1.602 \times 10^{-19}\) Joules.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est l'énergie (en eV) d'un électron dans l'état fondamental (\(n=1\)) ?
Question 3 : Probabilité de présence à \(r=2a_0\) pour \(\Psi_{1s}\)
Principe
Selon l'interprétation de Born, la fonction d'onde \(\Psi\) n'est pas directement une quantité physique observable. Cependant, le carré de son module, \(|\Psi|^2\), représente la densité de probabilité de trouver la particule en un point donné de l'espace.
Mini-Cours
La densité de probabilité \(|\Psi|^2\) est une densité volumique. Pour obtenir une probabilité (un nombre sans dimension entre 0 et 1), il faut multiplier cette densité par un petit volume \(dV\). On parle donc de la probabilité \(dP\) de trouver l'électron dans le volume \(dV\).
Remarque Pédagogique
La question ne demande pas une valeur numérique finale mais une expression littérale. Il suffit de prendre la fonction d'onde, d'y remplacer \(r\) par la valeur donnée, de l'élever au carré, puis de la multiplier par \(dV\).
Normes
Ceci est une application directe du postulat de Born, un principe fondamental de la mécanique quantique.
Formule(s)
Formule de la probabilité infinitésimale
Hypothèses
On considère l'atome dans son état fondamental 1s et on évalue la probabilité en un point précis de l'espace (défini par sa distance radiale \(r\)).
Donnée(s)
La fonction d'onde de l'orbitale 1s ainsi que la distance radiale d'évaluation \(r=2a_0\) sont toutes deux fournies directement dans l'énoncé de la question.
| Paramètre | Expression |
|---|---|
| Fonction d'onde 1s | \(\Psi_{1s} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0}\) |
| Distance d'évaluation | \(r=2a_0\) |
Schéma (Avant les calculs)
Probabilité dans un volume dV
Calcul(s)
Étape 1 : Calculer la densité de probabilité \(|\Psi_{1s}|^2\) pour \(r=2a_0\)
La fonction d'onde \(\Psi_{1s}\) est réelle, donc \(|\Psi_{1s}|^2 = \Psi_{1s}^2\). Nous commençons par élever au carré l'expression de la fonction d'onde.
Évaluation de la fonction d'onde au carré
Nous simplifions ensuite les termes, en n'oubliant pas que le carré d'une exponentielle multiplie son exposant par deux.
Simplification des termes
Étape 2 : Exprimer la probabilité \(dP\)
Enfin, nous multiplions la densité de probabilité obtenue par l'élément de volume infinitésimal \(dV\) pour obtenir la probabilité de présence dans ce volume.
Expression de la probabilité dP
Schéma (Après les calculs)
Décroissance de la densité de probabilité
Réflexions
Ce résultat montre que la densité de probabilité n'est pas nulle loin du noyau, bien qu'elle diminue très vite (exponentiellement). Il y a une probabilité, même faible, de trouver l'électron très loin de son proton.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier le carré lors du calcul de la densité. Une erreur fréquente est de travailler avec \(\Psi\) au lieu de \(|\Psi|^2\).
Points à retenir
La connexion fondamentale à retenir est : Probabilité = Densité de probabilité \(\times\) Volume, soit \(dP = |\Psi|^2 dV\).
Le saviez-vous ?
L'effet tunnel, qui permet à une particule de traverser une barrière d'énergie qu'elle ne devrait classiquement pas pouvoir franchir, est une conséquence directe de cette nature probabiliste. La fonction d'onde n'est pas nulle à l'intérieur de la barrière, donc il y a une probabilité non nulle de la trouver de l'autre côté.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la densité de probabilité (la valeur de \(|\Psi_{1s}|^2\)) au niveau du noyau (\(r=0\))? Exprimez votre réponse en fonction de \(a_0\).
Question 4 : Rayon le plus probable pour l'orbitale 1s.
Principe
Bien que la densité de probabilité soit maximale au noyau (\(r=0\)), l'espace disponible à cette distance est quasi nul. Pour trouver la distance la plus probable, il faut considérer la probabilité de trouver l'électron dans une fine couche sphérique à une distance \(r\). Cette probabilité, appelée densité de probabilité radiale, prend en compte à la fois la densité de probabilité \(|\Psi|^2\) et le volume de la couche sphérique, qui augmente en \(4\pi r^2\).
Mini-Cours
La fonction de distribution radiale \(P(r) = 4\pi r^2 |\Psi(r)|^2\) est le produit de deux termes concurrents : \(r^2\) qui croît depuis zéro, et \(|\Psi(r)|^2\) qui décroît exponentiellement. Le résultat est une fonction qui part de zéro, atteint un maximum, puis retombe vers zéro. Le rayon le plus probable est la position de ce maximum.
Remarque Pédagogique
C'est un problème d'optimisation classique : trouver le maximum d'une fonction. La méthode standard est de calculer la dérivée de la fonction par rapport à la variable (ici, \(r\)) et de trouver la valeur de \(r\) pour laquelle cette dérivée s'annule.
Normes
Il ne s'agit pas d'une norme, mais d'une application de la méthode de recherche d'extremum d'une fonction, un outil de base du calcul différentiel.
Formule(s)
Fonction de distribution radiale
Condition de maximum
Hypothèses
On analyse l'état 1s de l'atome d'hydrogène. La fonction d'onde est supposée connue et correcte.
Donnée(s)
La seule donnée nécessaire est l'expression mathématique de la fonction d'onde pour l'état 1s de l'atome d'hydrogène, qui est un résultat standard de la mécanique quantique et a été fournie dans le contexte de l'exercice.
| Paramètre | Expression |
|---|---|
| Fonction d'onde 1s | \(\Psi_{1s} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0}\) |
Astuces
Lors de la dérivation du produit \((uv)' = u'v + uv'\), on cherche à factoriser au maximum l'expression finale. Souvent, des termes comme l'exponentielle peuvent être mis en facteur commun, ce qui simplifie grandement la recherche des zéros de la dérivée.
Schéma (Avant les calculs)
Composantes de la Densité Radiale
Le produit du terme \(4\pi r^2\) (croissant) et du terme \(|\Psi|^2\) (décroissant) produit une fonction \(P(r)\) avec un maximum.
Calcul(s)
Étape 1 : Écrire la fonction de distribution radiale \(P(r)\)
On commence par substituer l'expression de \(|\Psi_{1s}|^2\) dans la formule de \(P(r)\).
Expression de P(r) pour l'orbitale 1s
Étape 2 : Dériver \(P(r)\) et annuler la dérivée
Pour trouver le maximum de \(P(r)\), on calcule sa dérivée par rapport à \(r\) en utilisant la règle de dérivation d'un produit \((uv)' = u'v + uv'\).
Dérivation de P(r) par rapport à r
La dérivée s'annule si \(r=0\) (ce qui correspond à un minimum) ou si le terme entre parenthèses est nul. C'est ce second cas qui nous donnera le maximum.
Résolution de l'équation dP/dr = 0
Schéma (Après les calculs)
Fonction de Distribution Radiale P(r) pour 1s
La fonction P(r) est maximale pour r/a_0 = 1, soit r = a_0.
Réflexions
Ce résultat est remarquable : le rayon le plus probable pour trouver l'électron de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental correspond exactement au rayon de la première orbite dans le modèle planétaire de Bohr. C'est un lien magnifique entre l'ancien et le nouveau modèle quantique.
Points de vigilance
Ne pas confondre "l'endroit où la densité de probabilité est maximale" (le noyau, \(r=0\)) avec "la distance où la probabilité de présence est maximale" (le rayon de Bohr, \(r=a_0\)).
Points à retenir
Pour trouver le rayon le plus probable, il faut toujours maximiser la fonction de distribution radiale \(P(r) = 4\pi r^2 |\Psi|^2\), et non la densité de probabilité \(|\Psi|^2\) seule.
Le saviez-vous ?
Le rayon de Bohr \(a_0\) est une constante fondamentale en physique atomique, servant d'unité de longueur naturelle pour les systèmes atomiques. Il est défini par des constantes fondamentales : \(a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{m_e e^2}\).
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour l'orbitale 2s, la partie radiale est \(\propto (2 - r/a_0)e^{-r/2a_0}\). À quel rayon (en unités de \(a_0\), et non nul) cette fonction d'onde s'annule-t-elle, créant un "nœud" sphérique où la probabilité de présence est nulle ?
Question 5 : Vérification de la normalisation de \(\Psi_{1s}\)
Principe
Le concept physique fondamental est une certitude : si l'électron existe, il doit bien se trouver quelque part dans l'univers. La somme de toutes les probabilités de le trouver en chaque point de l'espace doit donc être égale à 1 (soit 100%). C'est la condition de normalisation.
Mini-Cours
Mathématiquement, "sommer toutes les probabilités en chaque point" se traduit par une intégrale de la densité de probabilité \(|\Psi|^2\) sur tout l'espace (de \(r=0\) à l'infini, et sur tous les angles). Si une fonction d'onde est une solution de l'équation de Schrödinger, on peut toujours la multiplier par une constante (dite de normalisation) pour que cette intégrale vaille exactement 1.
Remarque Pédagogique
C'est un exercice de calcul intégral. L'astuce consiste à utiliser les coordonnées sphériques, car la fonction d'onde \(\Psi_{1s}\) a une symétrie sphérique. L'intégrale sur les angles peut être calculée séparément et très facilement, ce qui simplifie grandement le problème.
Normes
La normalisation des fonctions d'onde est une exigence mathématique du formalisme de la mécanique quantique pour que l'interprétation probabiliste de Born soit cohérente.
Formule(s)
Condition de normalisation
Élément de volume en coordonnées sphériques
Hypothèses
On intègre sur tout l'espace, avec les bornes suivantes : \(r \in [0, \infty]\), \(\theta \in [0, \pi]\), et \(\phi \in [0, 2\pi]\).
Donnée(s)
La seule donnée nécessaire est l'expression mathématique de la fonction d'onde pour l'état 1s de l'atome d'hydrogène, qui est un résultat standard de la mécanique quantique et a été fournie dans le contexte de l'exercice.
| Paramètre | Expression |
|---|---|
| Fonction d'onde 1s | \(\Psi_{1s} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0}\) |
Astuces
Pour toute fonction à symétrie sphérique \(f(r)\), l'intégrale angulaire \(\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin\theta \, \text{d}\theta \, \text{d}\phi\) vaut toujours \(4\pi\) (la surface d'une sphère de rayon 1). Vous pouvez retenir ce résultat pour gagner du temps.
Schéma (Avant les calculs)
Intégration sur des Coquilles Sphériques
L'intégrale consiste à "additionner" la probabilité contenue dans chaque coquille sphérique d'épaisseur dr et de volume \(4\pi r^2 dr\).
Calcul(s)
Étape 1 : Poser l'intégrale complète
On exprime l'intégrale de \(|\Psi|^2\) sur tout le volume en utilisant les coordonnées sphériques, en substituant l'expression de \(\Psi_{1s}\) et l'élément de volume \(dV\).
Intégrale de normalisation à calculer
Étape 2 : Simplifier et séparer les variables
Puisque la fonction d'onde ne dépend que de \(r\), les parties radiale et angulaires de l'intégrale peuvent être séparées, ce qui simplifie grandement le calcul.
Séparation des variables radiale et angulaires
Les intégrales angulaires sont standards : l'intégrale sur \(\theta\) de \(\sin\theta\) de 0 à \(\pi\) vaut 2, et l'intégrale sur \(\phi\) de 0 à \(2\pi\) vaut \(2\pi\). Leur produit est donc \(4\pi\).
Étape 3 : Résoudre l'intégrale radiale
Après avoir calculé la partie angulaire, l'expression se simplifie.
Simplification après intégration angulaire
On utilise l'intégrale de référence de type Gamma : \(\int_0^\infty x^n e^{-ax} \text{d}x = \frac{n!}{a^{n+1}}\), avec ici \(n=2\) et \(a=2/a_0\).
Résolution de l'intégrale radiale
Étape 4 : Combiner les résultats
Enfin, on multiplie le résultat de l'intégrale radiale par le préfacteur pour obtenir le résultat final.
Résultat final de l'intégrale totale
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Normalisation
Réflexions
Le fait que le résultat soit exactement 1 prouve que la constante de normalisation \(\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\) a été correctement choisie. Sans elle, l'intégrale donnerait \(\pi a_0^3\), et il faudrait donc diviser la fonction d'onde par \(\sqrt{\pi a_0^3}\) pour la normaliser.
Points de vigilance
Ne pas oublier l'élément de volume \(r^2 \sin\theta\) ! C'est l'erreur la most commune dans ce type de calcul. Il faut aussi faire attention au facteur 2 dans l'exponentielle après avoir élevé au carré.
Points à retenir
La condition de normalisation \(\int |\Psi|^2 \text{d}V = 1\) est un pilier de la mécanique quantique. Pour une fonction à symétrie sphérique, elle se simplifie en \(\int_0^\infty 4\pi r^2 |\Psi(r)|^2 \text{d}r = 1\).
Le saviez-vous ?
Les fonctions d'onde qui sont solutions de l'équation de Schrödinger pour un même potentiel sont automatiquement orthogonales entre elles. Si elles sont aussi normalisées, on dit qu'elles forment un ensemble "orthonormal", ce qui est une propriété mathématique très puissante en chimie quantique.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
La fonction d'onde de l'état fondamental de l'oscillateur harmonique quantique est \(\phi(x) = A e^{-\alpha x^2 / 2}\). Sachant que \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} \text{d}x = \sqrt{\pi/\alpha}\), que vaut la constante de normalisation \(A^2\) ?
Outil Interactif : Énergie des Niveaux Quantiques
Utilisez le curseur ci-dessous pour faire varier le nombre quantique principal \(n\) et observer l'évolution de l'énergie de l'électron. Le graphique montre les niveaux d'énergie discrets de l'atome d'hydrogène.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel ensemble de nombres quantiques est impossible ?
2. De quoi dépend principalement la taille d'une orbitale atomique ?
3. Combien d'orbitales de type 'p' existent pour un niveau n donné (si n > 1) ?
4. Quelle est la forme d'une orbitale de type s ?
Glossaire
- Orbitale Atomique
- Une fonction mathématique (solution de l'équation de Schrödinger) qui décrit le comportement ondulatoire d'un électron dans un atome. Elle définit une région de l'espace où la probabilité de trouver l'électron est élevée.
- Nombres Quantiques
- Ensemble de nombres (n, l, m_l, m_s) qui décrivent l'état quantique d'un électron dans un atome, y compris son énergie, la forme de son orbitale et son orientation spatiale.
- Fonction d'onde (\(\Psi\))
- Une fonction mathématique qui contient toutes les informations sur un système quantique. Le carré de son module, \(|\Psi|^2\), représente la densité de probabilité de présence de la particule.
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