Exercices et corrigés

Etude de Chimie

Calcul de la demi-vie d’un médicament

Calcul de la Demi-vie d’un Médicament en Chimie Médicinale

Calcul de la Demi-vie d’un Médicament

Comprendre la Demi-vie d'un Médicament

La demi-vie d'élimination (\(t_{1/2}\)) d'un médicament est un paramètre pharmacocinétique crucial qui représente le temps nécessaire pour que la concentration plasmatique du médicament diminue de moitié après avoir atteint son pic ou après que l'administration a cessé. Elle est déterminée par le volume de distribution (\(V_d\)) et la clairance (CL) du médicament. La demi-vie est essentielle pour établir les schémas posologiques (fréquence d'administration), prédire la durée d'action du médicament, estimer le temps nécessaire pour atteindre l'état d'équilibre lors d'administrations répétées, et le temps nécessaire pour une élimination quasi complète du médicament de l'organisme. Les médicaments avec une demi-vie courte nécessitent des administrations plus fréquentes que ceux avec une demi-vie longue pour maintenir une concentration thérapeutique.

Données du Problème

Un médicament X est administré à un patient. Les paramètres pharmacocinétiques suivants ont été déterminés :

  • Constante de vitesse d'élimination (\(k_{el}\)) : \(0.1155 \, \text{h}^{-1}\)
  • Concentration plasmatique initiale après une dose IV (\(C_0\)) : \(10.0 \, \text{µg/mL}\)
  • Volume de distribution (\(V_d\)) : \(20 \, \text{L}\) (pour une question ultérieure)

Hypothèses : Le médicament suit une cinétique d'élimination de premier ordre.

Schéma : Décroissance de la Concentration Plasmatique et Demi-vie
Temps (h) Concentration Plasmatique (µg/mL) C₀ C₀/2 t1/2 C₀/4 2t1/2

Illustration de la décroissance exponentielle de la concentration plasmatique d'un médicament et de sa demi-vie.

Questions à traiter

  1. Rappeler la formule reliant la demi-vie d'élimination (\(t_{1/2}\)) à la constante de vitesse d'élimination (\(k_{el}\)) pour une cinétique de premier ordre.
  2. Calculer la demi-vie d'élimination (\(t_{1/2}\)) de ce médicament en heures.
  3. Quelle sera la concentration plasmatique du médicament après une demi-vie ? Après deux demi-vies ? Après trois demi-vies ?
  4. Combien de temps (en heures) faudra-t-il pour que la concentration plasmatique du médicament soit réduite à 6.25% de sa valeur initiale (\(C_0\)) ? (Indice : 6.25% = 1/16)
  5. Calculer la clairance (CL) de ce médicament, sachant que \(V_d = 20 \, \text{L}\). Exprimer le résultat en \(\text{L/h}\).
  6. Si un autre médicament a une demi-vie deux fois plus longue mais le même volume de distribution, comment sa constante de vitesse d'élimination (\(k_{el}\)) se compare-t-elle à celle du médicament X ?

Correction : Calcul de la Demi-vie d’un Médicament

Question 1 : Formule de la demi-vie d'élimination

Principe :

Pour une cinétique d'élimination de premier ordre, la demi-vie (\(t_{1/2}\)) est inversement proportionnelle à la constante de vitesse d'élimination (\(k_{el}\)).

Formule :
\[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k_{el}} \]

Où :

  • \(t_{1/2}\) est la demi-vie d'élimination
  • \(\ln(2)\) est le logarithme népérien de 2 (\(\approx 0.693\))
  • \(k_{el}\) est la constante de vitesse d'élimination
Résultat Question 1 : La formule est \(t_{1/2} = \ln(2) / k_{el}\).

Question 2 : Calcul de la demi-vie (\(t_{1/2}\))

Principe :

Application directe de la formule avec la valeur de \(k_{el}\) fournie.

Données spécifiques :
  • \(k_{el} = 0.1155 \, \text{h}^{-1}\)
  • \(\ln(2) \approx 0.693\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_{1/2} &= \frac{0.693}{0.1155 \, \text{h}^{-1}} \\ &\approx 6.00 \, \text{h} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La demi-vie d'élimination du médicament est d'environ \(6.00 \, \text{heures}\).

Question 3 : Concentration plasmatique après 1, 2, et 3 demi-vies

Principe :

Après chaque demi-vie, la concentration plasmatique du médicament est réduite de moitié par rapport à la concentration au début de cette période de demi-vie.

Formule générale : \(C(t) = C_0 \times (1/2)^N\), où \(N\) est le nombre de demi-vies écoulées.

Données spécifiques :
  • \(C_0 = 10.0 \, \text{µg/mL}\)
  • \(t_{1/2} \approx 6.00 \, \text{h}\)
Calculs :
  • Après 1 demi-vie (\(N=1\)) : \(C_1 = C_0 \times (1/2)^1 = 10.0 \, \text{µg/mL} \times 0.5 = 5.0 \, \text{µg/mL}\)
  • Après 2 demi-vies (\(N=2\)) : \(C_2 = C_0 \times (1/2)^2 = 10.0 \, \text{µg/mL} \times 0.25 = 2.5 \, \text{µg/mL}\)
  • Après 3 demi-vies (\(N=3\)) : \(C_3 = C_0 \times (1/2)^3 = 10.0 \, \text{µg/mL} \times 0.125 = 1.25 \, \text{µg/mL}\)
Résultat Question 3 : Après 1 demi-vie : \(5.0 \, \text{µg/mL}\) ; après 2 demi-vies : \(2.5 \, \text{µg/mL}\) ; après 3 demi-vies : \(1.25 \, \text{µg/mL}\).

Question 4 : Temps pour une élimination de 93.75%

Principe :

Si 93.75% du médicament est éliminé, il reste \(100\% - 93.75\% = 6.25\%\) de la concentration initiale.

\(6.25\% = 6.25/100 = 1/16\). Or, \(1/16 = (1/2)^4\). Cela signifie que 4 demi-vies se sont écoulées.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Temps total} = N \times t_{1/2} \]

Où \(N\) est le nombre de demi-vies.

Données spécifiques :
  • Nombre de demi-vies (\(N\)) pour 6.25% restant (93.75% éliminé) = 4
  • \(t_{1/2} \approx 6.00 \, \text{h}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Temps total} &= 4 \times 6.00 \, \text{h} \\ &= 24.0 \, \text{h} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Il faudra \(24.0 \, \text{heures}\) pour que 93.75% du médicament soit éliminé.

Question 5 : Calcul de la clairance (CL)

Principe :

La clairance (CL), le volume de distribution (\(V_d\)), et la constante de vitesse d'élimination (\(k_{el}\)) sont reliés par la formule \(k_{el} = \text{CL} / V_d\). On peut donc calculer CL si \(k_{el}\) et \(V_d\) sont connus.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{CL} = k_{el} \times V_d \]
Données spécifiques :
  • \(k_{el} = 0.1155 \, \text{h}^{-1}\)
  • \(V_d = 20 \, \text{L}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{CL} &= (0.1155 \, \text{h}^{-1}) \times (20 \, \text{L}) \\ &= 2.31 \, \text{L/h} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La clairance du médicament est de \(2.31 \, \text{L/h}\).

Question 6 : Comparaison de \(k_{el}\) pour un médicament avec une demi-vie double

Principe :

La demi-vie est inversement proportionnelle à \(k_{el}\) (\(t_{1/2} = \ln(2)/k_{el}\)). Si la demi-vie est doublée, et que \(\ln(2)\) est une constante, alors \(k_{el}\) doit être divisée par deux.

Raisonnement :

Soit \(t'_{1/2}\) la nouvelle demi-vie, avec \(t'_{1/2} = 2 \times t_{1/2}\).

Soit \(k'_{el}\) la nouvelle constante de vitesse d'élimination.

\[ t'_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k'_{el}} \Rightarrow 2 \times t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k'_{el}} \]

Puisque \(t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k_{el}}\), on a :

\[ 2 \times \frac{\ln(2)}{k_{el}} = \frac{\ln(2)}{k'_{el}} \]

En simplifiant par \(\ln(2)\) :

\[ \frac{2}{k_{el}} = \frac{1}{k'_{el}} \Rightarrow k'_{el} = \frac{k_{el}}{2} \]

La constante de vitesse d'élimination du nouveau médicament serait la moitié de celle du médicament X.

Résultat Question 6 : Si la demi-vie est doublée (et \(V_d\) reste le même), la constante de vitesse d'élimination \(k'_{el}\) sera la moitié de la \(k_{el}\) originale.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La demi-vie d'un médicament est le temps nécessaire pour que sa concentration plasmatique :

2. Si \(k_{el} = 0.2 \, \text{h}^{-1}\), la demi-vie est approximativement (\(\ln(2) \approx 0.693\)) :

3. Après 4 demi-vies, quel pourcentage de la dose initiale du médicament reste dans le corps ?

4. La clairance (CL) d'un médicament est :

Glossaire

Demi-vie d'Élimination (\(t_{1/2}\))
Temps nécessaire pour que la concentration d'un médicament dans le plasma sanguin (ou la quantité totale de médicament dans le corps) soit réduite de moitié.
Constante de Vitesse d'Élimination (\(k_{el}\))
Constante qui caractérise la vitesse à laquelle un médicament est éliminé de l'organisme, pour une cinétique de premier ordre. Son unité est l'inverse du temps (ex: \(\text{h}^{-1}\)).
Cinétique de Premier Ordre
Processus dont la vitesse est directement proportionnelle à la concentration du réactif (ici, du médicament). L'élimination de la plupart des médicaments suit une cinétique de premier ordre aux doses thérapeutiques.
Concentration Plasmatique (\(C_p\))
Concentration d'un médicament dans le plasma sanguin.
\(C_0\)
Concentration plasmatique initiale théorique d'un médicament immédiatement après une administration intraveineuse en bolus.
Volume de Distribution (\(V_d\))
Volume théorique dans lequel un médicament devrait se distribuer pour atteindre la même concentration que dans le plasma.
Clairance (CL)
Volume de plasma (ou de sang) totalement épuré d'un médicament par unité de temps. Elle reflète l'efficacité des organes d'élimination (principalement le foie et les reins).
Pharmacocinétique
Étude du devenir d'un médicament dans l'organisme (Absorption, Distribution, Métabolisme, Excrétion - ADME).
Calcul de la Demi-vie d’un Médicament - Exercice d'Application

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