Exercices et corrigés

Etude de Chimie

Activité résiduelle d’un radionucléide

Calcul de l’Activité Résiduelle d’un Radionucléide en Chimie Médicinale

Calcul de l’Activité Résiduelle d’un Radionucléide

Comprendre l'Activité Résiduelle des Radionucléides

En chimie médicinale, les radionucléides sont utilisés à la fois pour le diagnostic (imagerie médicale) et la thérapie (radiothérapie). L'activité d'un échantillon radioactif, mesurée en Becquerels (Bq) ou en Curies (Ci), représente le nombre de désintégrations nucléaires par unité de temps. Cette activité diminue de manière exponentielle avec le temps en raison de la désintégration radioactive. La vitesse de cette décroissance est caractérisée par la demi-vie (\(t_{1/2}\)) du radionucléide, qui est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs se désintègrent, et donc pour que l'activité soit réduite de moitié. Le calcul de l'activité résiduelle à un temps donné est crucial pour la gestion des doses en médecine nucléaire, la planification des traitements, et la gestion des déchets radioactifs.

Données du Problème

Un échantillon de Technétium-99m (\(^{99m}\text{Tc}\)), un radionucléide couramment utilisé en imagerie médicale, a une activité initiale (\(A_0\)) au moment de sa préparation.

  • Activité initiale de \(^{99m}\text{Tc}\) (\(A_0\)) : \(500 \, \text{MBq}\) (MégaBecquerels)
  • Demi-vie de \(^{99m}\text{Tc}\) (\(t_{1/2}\)) : \(6.0 \, \text{heures}\)
  • Temps écoulé depuis la préparation (\(t\)) : \(18.0 \, \text{heures}\)

Hypothèses : La décroissance radioactive suit une cinétique de premier ordre.

Schéma : Décroissance Radioactive du \(^{99m}\text{Tc}\)
Temps (h) Activité (MBq) A₀ A₀/2 t1/2 (6h) A₀/4 2t1/2 (12h) 3t1/2 (18h) A(t)

Illustration de la décroissance radioactive et de l'activité résiduelle.

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de désintégration radioactive (\(\lambda\)) du \(^{99m}\text{Tc}\) en \(\text{h}^{-1}\).
  2. Calculer l'activité résiduelle (\(A_t\)) de l'échantillon de \(^{99m}\text{Tc}\) après \(18.0 \, \text{heures}\), en MBq.
  3. Combien de demi-vies se sont écoulées pendant ces \(18.0 \, \text{heures}\) ?
  4. En utilisant le nombre de demi-vies, vérifier le calcul de l'activité résiduelle \(A_t\).
  5. Si l'activité minimale utilisable pour une procédure d'imagerie est de \(50 \, \text{MBq}\), combien de temps après sa préparation (activité initiale de \(500 \, \text{MBq}\)) cet échantillon de \(^{99m}\text{Tc}\) restera-t-il utilisable ?

Correction : Calcul de l’Activité Résiduelle d’un Radionucléide

Question 1 : Constante de désintégration radioactive (\(\lambda\))

Principe :

La constante de désintégration (\(\lambda\)) est reliée à la demi-vie (\(t_{1/2}\)) par la formule suivante pour une décroissance de premier ordre.

Formule :
\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} \]

Où \(\ln(2) \approx 0.693\).

Données spécifiques :
  • \(t_{1/2} = 6.0 \, \text{heures}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{0.693}{6.0 \, \text{h}} \\ &\approx 0.1155 \, \text{h}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La constante de désintégration est \(\lambda \approx 0.1155 \, \text{h}^{-1}\).

Question 2 : Activité résiduelle (\(A_t\)) après \(18.0 \, \text{heures}\)

Principe :

L'activité résiduelle (\(A_t\)) d'un échantillon radioactif après un temps \(t\) est donnée par la loi de décroissance radioactive.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_t = A_0 e^{-\lambda t} \]
Données spécifiques :
  • \(A_0 = 500 \, \text{MBq}\)
  • \(\lambda \approx 0.1155 \, \text{h}^{-1}\)
  • \(t = 18.0 \, \text{h}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_t &= 500 \, \text{MBq} \times e^{-(0.1155 \, \text{h}^{-1} \times 18.0 \, \text{h})} \\ &= 500 \, \text{MBq} \times e^{-2.079} \\ &\approx 500 \, \text{MBq} \times 0.12506 \\ &\approx 62.53 \, \text{MBq} \end{aligned} \]

On arrondit à \(62.5 \, \text{MBq}\).

Résultat Question 2 : L'activité résiduelle après \(18.0 \, \text{heures}\) est d'environ \(62.5 \, \text{MBq}\).

Question 3 : Nombre de demi-vies écoulées

Principe :

Le nombre de demi-vies (\(N\)) écoulées est le temps total (\(t\)) divisé par la durée d'une demi-vie (\(t_{1/2}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ N = \frac{t}{t_{1/2}} \]
Données spécifiques :
  • \(t = 18.0 \, \text{h}\)
  • \(t_{1/2} = 6.0 \, \text{h}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N &= \frac{18.0 \, \text{h}}{6.0 \, \text{h}} \\ &= 3.0 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : \(3.0\) demi-vies se sont écoulées.

Question 4 : Vérification de \(A_t\) avec le nombre de demi-vies

Principe :

Après chaque demi-vie, l'activité est divisée par 2. Après \(N\) demi-vies, l'activité est \(A_0 / 2^N\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_t = A_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^N \]
Données spécifiques :
  • \(A_0 = 500 \, \text{MBq}\)
  • \(N = 3.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_t &= 500 \, \text{MBq} \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \\ &= 500 \, \text{MBq} \times \frac{1}{8} \\ &= 500 \, \text{MBq} \times 0.125 \\ &= 62.5 \, \text{MBq} \end{aligned} \]

Ce résultat correspond bien à celui obtenu à la question 2.

Résultat Question 4 : L'activité résiduelle vérifiée est de \(62.5 \, \text{MBq}\).

Question 5 : Temps pour atteindre une activité de \(50 \, \text{MBq}\)

Principe :

On utilise la loi de décroissance radioactive \(A_t = A_0 e^{-\lambda t}\) et on résout pour \(t\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_t = A_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow \frac{A_t}{A_0} = e^{-\lambda t} \Rightarrow \ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right) = -\lambda t \Rightarrow t = -\frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right) = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A_0}{A_t}\right) \]
Données spécifiques :
  • \(A_t = 50 \, \text{MBq}\)
  • \(A_0 = 500 \, \text{MBq}\)
  • \(\lambda \approx 0.1155 \, \text{h}^{-1}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t &= \frac{1}{0.1155 \, \text{h}^{-1}} \ln\left(\frac{500 \, \text{MBq}}{50 \, \text{MBq}}\right) \\ &= \frac{1}{0.1155 \, \text{h}^{-1}} \ln(10) \\ &\approx \frac{1}{0.1155} \times 2.302585 \, \text{h} \\ &\approx 8.658 \times 2.302585 \, \text{h} \\ &\approx 19.933 \, \text{h} \end{aligned} \]

On arrondit à \(19.9 \, \text{heures}\).

Résultat Question 5 : L'échantillon restera utilisable pendant environ \(19.9 \, \text{heures}\) après sa préparation.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La demi-vie d'un radionucléide est :

2. Si la constante de désintégration (\(\lambda\)) augmente, la demi-vie (\(t_{1/2}\)) :

3. Après 2 demi-vies, l'activité résiduelle d'un échantillon est :

4. L'unité Becquerel (Bq) correspond à :

Glossaire

Radionucléide (ou Radio-isotope)
Atome dont le noyau est instable et subit une désintégration radioactive, émettant des particules ou de l'énergie.
Activité Radioactive (\(A\))
Nombre de désintégrations nucléaires spontanées par unité de temps dans un échantillon radioactif. Unités : Becquerel (Bq), Curie (Ci).
Becquerel (Bq)
Unité SI de l'activité radioactive, correspondant à une désintégration par seconde.
Demi-vie (\(t_{1/2}\))
Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent, ou pour que l'activité de l'échantillon soit réduite de moitié.
Constante de Désintégration (\(\lambda\))
Probabilité par unité de temps qu'un noyau radioactif se désintègre. Elle est reliée à la demi-vie par \(\lambda = \ln(2)/t_{1/2}\).
Loi de Décroissance Radioactive
Loi mathématique décrivant la diminution exponentielle du nombre de noyaux radioactifs (ou de l'activité) avec le temps : \(N_t = N_0 e^{-\lambda t}\) ou \(A_t = A_0 e^{-\lambda t}\).
Technétium-99m (\(^{99m}\text{Tc}\))
Isomère métastable du technétium-99, largement utilisé en médecine nucléaire pour le diagnostic par imagerie (scintigraphie) en raison de sa demi-vie courte et de l'émission de rayons gamma d'énergie appropriée.
Cinétique de Premier Ordre
Processus dont la vitesse est directement proportionnelle à la concentration (ou à la quantité) d'un seul réactif (ici, le nombre de noyaux radioactifs).
Calcul de l’Activité Résiduelle d’un Radionucléide - Exercice d'Application

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