Exercices et corrigés

Etude de Chimie

Calcul de l’Énergie d’Ionisation de l’Hydrogène

Calcul de l’Énergie d’Ionisation de l’Hydrogène en Chimie Théorique

Calcul de l’Énergie d’Ionisation de l’Hydrogène

Comprendre l'Énergie d'Ionisation de l'Hydrogène

L'énergie d'ionisation est l'énergie minimale requise pour arracher un électron d'un atome ou d'un ion gazeux à son état fondamental. Pour l'atome d'hydrogène, qui ne possède qu'un seul électron, ce concept est particulièrement fondamental et peut être bien décrit par le modèle de Bohr. Ce modèle, bien que simplifié, fournit une bonne approximation des niveaux d'énergie de l'électron de l'hydrogène et permet de calculer son énergie d'ionisation. L'ionisation correspond au passage de l'électron du niveau d'énergie initial (généralement l'état fondamental, \(n=1\)) à un niveau d'énergie où il n'est plus lié au noyau (\(n \rightarrow \infty\), correspondant à une énergie nulle).

Données du Problème

On s'intéresse à l'atome d'hydrogène et à son énergie d'ionisation à partir de l'état fondamental.

  • Constante de Rydberg pour l'hydrogène (\(R_H\)) : \(2.179 \times 10^{-18} \, \text{J}\)
  • (Alternativement, la constante de Rydberg peut être donnée sous la forme \(R_\infty = 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}\), mais nous utiliserons la valeur en Joules ici pour simplifier les premiers calculs d'énergie.)
  • Constante de Planck (\(h\)) : \(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Conversion d'énergie : \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
Schéma : Ionisation de l'Atome d'Hydrogène
Avant Ionisation p+ e- (n=1) hν Ionisation Après Ionisation p+ e- (libre) Absorption d'un photon et éjection de l'électron

Représentation de l'ionisation de l'hydrogène par absorption d'un photon.

Questions à traiter

  1. Rappeler la formule de Bohr donnant l'énergie (\(E_n\)) d'un électron de l'atome d'hydrogène sur un niveau d'énergie caractérisé par le nombre quantique principal \(n\).
  2. Définir l'énergie d'ionisation (\(E_i\)) de l'atome d'hydrogène à partir de son état fondamental en utilisant les termes de la formule de Bohr.
  3. Calculer l'énergie de l'électron de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental (\(n=1\)) en Joules (J).
  4. Calculer l'énergie d'ionisation (\(E_i\)) de l'atome d'hydrogène à partir de son état fondamental, en Joules (J).
  5. Convertir cette énergie d'ionisation en électronvolts (eV).
  6. Calculer la longueur d'onde (\(\lambda\)) minimale d'un photon capable d'ioniser un atome d'hydrogène à partir de son état fondamental. Exprimer le résultat en nanomètres (nm).

Correction : Calcul de l’Énergie d’Ionisation de l’Hydrogène

Question 1 : Formule de Bohr pour l'énergie des niveaux

Principe :

Le modèle de Bohr quantifie les niveaux d'énergie de l'électron dans l'atome d'hydrogène. L'énergie de chaque niveau dépend du nombre quantique principal \(n\).

Formule :
\[ E_n = -\frac{R_H}{n^2} \]

Où :

  • \(E_n\) est l'énergie du niveau \(n\) (en Joules)
  • \(R_H\) est la constante de Rydberg pour l'hydrogène (en Joules)
  • \(n\) est le nombre quantique principal (\(n = 1, 2, 3, \dots\))
Résultat Question 1 : La formule de Bohr pour l'énergie est \(E_n = -R_H / n^2\).

Question 2 : Définition de l'énergie d'ionisation

Principe :

L'ionisation correspond à la transition de l'électron de son niveau initial (ici, l'état fondamental \(n_i=1\)) vers un état où il n'est plus lié au noyau. Cet état correspond à un niveau d'énergie \(n_f \rightarrow \infty\), pour lequel l'énergie de l'électron est considérée comme nulle (\(E_\infty = 0\)). L'énergie d'ionisation est donc l'énergie à fournir pour provoquer cette transition.

Définition :
\[ E_i = E_{n_f} - E_{n_i} \]

Avec \(n_i = 1\) (état fondamental) et \(n_f \rightarrow \infty\) (électron libre).

Puisque \(E_\infty = -\frac{R_H}{\infty^2} = 0\), on a :

\[ E_i = 0 - E_1 = -E_1 \]

Comme \(E_1 = -R_H/1^2 = -R_H\), alors :

\[ E_i = -(-R_H) = R_H \]
Résultat Question 2 : L'énergie d'ionisation à partir de l'état fondamental est \(E_i = E_\infty - E_1 = -E_1 = R_H\).

Question 3 : Énergie de l'état fondamental (\(E_1\))

Principe :

On applique la formule de Bohr pour \(n=1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_1 = -\frac{R_H}{1^2} = -R_H \]
Données spécifiques :
  • \(R_H = 2.179 \times 10^{-18} \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_1 &= -(2.179 \times 10^{-18} \, \text{J}) \\ &= -2.179 \times 10^{-18} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'énergie de l'électron à l'état fondamental est \(E_1 = -2.179 \times 10^{-18} \, \text{J}\).

Question 4 : Énergie d'ionisation (\(E_i\)) en Joules

Principe :

Comme établi à la question 2, l'énergie d'ionisation à partir de l'état fondamental est égale à \(R_H\).

Calcul :
\[ E_i = R_H = 2.179 \times 10^{-18} \, \text{J} \]
Résultat Question 4 : L'énergie d'ionisation de l'hydrogène est \(E_i = 2.179 \times 10^{-18} \, \text{J}\).

Question 5 : Énergie d'ionisation en électronvolts (eV)

Principe :

On utilise le facteur de conversion entre Joules et électronvolts.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E \, (\text{eV}) = \frac{E \, (\text{J})}{\text{valeur de 1 eV en J}} \]
Données spécifiques :
  • \(E_i = 2.179 \times 10^{-18} \, \text{J}\)
  • \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_i \, (\text{eV}) &= \frac{2.179 \times 10^{-18} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \\ &\approx 13.6017 \, \text{eV} \end{aligned} \]

On arrondit à \(13.60 \, \text{eV}\).

Résultat Question 5 : L'énergie d'ionisation de l'hydrogène est d'environ \(13.60 \, \text{eV}\).

Question 6 : Longueur d'onde (\(\lambda\)) du photon d'ionisation

Principe :

L'énergie d'un photon (\(E_{\text{photon}}\)) est reliée à sa longueur d'onde (\(\lambda\)) par la relation de Planck-Einstein : \(E_{\text{photon}} = h \nu = hc/\lambda\). Pour ioniser l'atome, l'énergie du photon doit être au moins égale à l'énergie d'ionisation \(E_i\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_i = \frac{hc}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{hc}{E_i} \]
Données spécifiques :
  • \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • \(c = 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(E_i = 2.179 \times 10^{-18} \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \cdot (2.998 \times 10^8 \, \text{m/s})}{2.179 \times 10^{-18} \, \text{J}} \\ &= \frac{1.9864748 \times 10^{-25}}{2.179 \times 10^{-18}} \, \text{m} \\ &\approx 0.911645 \times 10^{-7} \, \text{m} \\ &\approx 9.116 \times 10^{-8} \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en nanomètres (\(1 \, \text{nm} = 10^{-9} \, \text{m}\)) :

\[ \lambda \approx 9.116 \times 10^{-8} \, \text{m} \times \frac{10^9 \, \text{nm}}{1 \, \text{m}} = 91.16 \, \text{nm} \]
Résultat Question 6 : La longueur d'onde minimale du photon est d'environ \(91.16 \, \text{nm}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Selon le modèle de Bohr, l'énergie de l'électron dans l'atome d'hydrogène est :

2. L'énergie d'ionisation de l'hydrogène correspond à la transition de l'électron de :

3. L'énergie d'ionisation de l'hydrogène est d'environ :

4. Pour ioniser un atome d'hydrogène, un photon doit avoir une énergie :

Glossaire

Énergie d'Ionisation (\(E_i\))
Énergie minimale nécessaire pour arracher un électron d'un atome ou d'un ion à l'état gazeux et à son état fondamental, le transportant à une distance infinie du noyau (où son énergie est nulle).
Modèle de Bohr
Modèle atomique proposé par Niels Bohr en 1913, qui décrit l'atome d'hydrogène avec un électron orbitant autour du noyau sur des niveaux d'énergie quantifiés.
État Fondamental
Niveau d'énergie le plus bas (\(n=1\) pour l'hydrogène) que peut occuper un électron dans un atome.
Nombre Quantique Principal (\(n\))
Nombre entier (\(1, 2, 3, \dots\)) qui caractérise un niveau d'énergie principal de l'électron dans un atome.
Constante de Rydberg (\(R_H\))
Constante physique apparaissant dans la formule de Rydberg pour les spectres atomiques, et reliée à l'énergie de l'état fondamental de l'hydrogène.
Photon
Quantum de rayonnement électromagnétique, une particule de lumière transportant une quantité d'énergie discrète.
Électronvolt (eV)
Unité d'énergie couramment utilisée en physique atomique et nucléaire. \(1 \, \text{eV}\) est l'énergie cinétique acquise par un électron accéléré par une différence de potentiel de 1 volt dans le vide.
Relation de Planck-Einstein
Relation qui lie l'énergie d'un photon (\(E\)) à sa fréquence (\(\nu\)) ou à sa longueur d'onde (\(\lambda\)) : \(E = h\nu = hc/\lambda\).
Calcul de l’Énergie d’Ionisation de l’Hydrogène - Exercice d'Application

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