Etude de Chimie

La Transformation de Radium en Radon

Transformation du Radium en Radon en Chimie Nucléaire

Transformation du Radium en Radon en Chimie Nucléaire

Comprendre la Désintégration Radioactive : Radium en Radon

La chimie nucléaire étudie les réactions qui impliquent des changements dans les noyaux atomiques. L'une des manifestations les plus connues est la radioactivité, un processus par lequel un noyau instable se transforme spontanément en un noyau plus stable en émettant des particules ou de l'énergie. La désintégration du Radium-226 (226Ra) en Radon-222 (222Rn) est un exemple classique de désintégration alpha. Dans ce processus, le noyau de Radium émet une particule alpha (qui est un noyau d'hélium, 4He) et se transforme en un noyau de Radon. La vitesse de cette désintégration est caractérisée par la constante de désintégration (\(\lambda\)) et la période radioactive ou temps de demi-vie (\(t_{1/2}\)).

Données de l'étude : Désintégration du Radium-226

On considère un échantillon initial de \(10.0 \, \text{grammes}\) de Radium-226 pur.

Informations et constantes :

  • Période radioactive (temps de demi-vie) du Radium-226 (\(t_{1/2, \text{Ra}}\)) : \(1600 \, \text{ans}\)
  • Masse molaire atomique du Radium-226 (\(M_{\text{Ra}}\)) : \(226.025 \, \text{g/mol}\)
  • Masse molaire atomique du Radon-222 (\(M_{\text{Rn}}\)) : \(222.018 \, \text{g/mol}\)
  • Masse molaire de la particule alpha (Hélium-4, \(M_{\alpha}\)) : \(4.0026 \, \text{g/mol}\)
  • Nombre d'Avogadro (\(N_A\)) : \(6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
  • Conversion : \(1 \, \text{an} = 365.25 \, \text{jours} \approx 3.15576 \times 10^7 \, \text{secondes}\)
Schéma : Désintégration Alpha du Radium-226
²²⁶Ra Décroissance α ²²²Rn α (⁴He) Transformation du Radium en Radon avec émission alpha.

Illustration de la désintégration alpha du Radium-226 en Radon-222.

Questions à traiter

  1. Écrire l'équation nucléaire équilibrée de la désintégration alpha du Radium-226.
  2. Calculer la constante de désintégration radioactive (\(\lambda\)) du Radium-226 en \(\text{s}^{-1}\).
  3. Calculer le nombre initial d'atomes de Radium-226 (\(N_0\)) dans l'échantillon de \(10.0 \, \text{g}\).
  4. Calculer l'activité initiale (\(A_0\)) de l'échantillon de Radium-226 en Becquerels (Bq) et en Curies (Ci). (Rappel : \(1 \, \text{Ci} = 3.7 \times 10^{10} \, \text{Bq}\))
  5. Calculer la masse de Radium-226 restante après \(t = 500 \, \text{ans}\).
  6. Calculer la masse de Radon-222 produite après \(t = 500 \, \text{ans}\). (On supposera que le Radon-222 produit est stable sur cette période ou que l'on s'intéresse uniquement à la quantité formée par la désintégration du Radium).

Correction : Transformation du Radium en Radon

Question 1 : Équation nucléaire de la désintégration

Principe :

Une désintégration alpha implique l'émission d'une particule alpha, qui est un noyau d'hélium (\(^{4}_{2}\text{He}\) ou \(\alpha\)). Cela entraîne une diminution du nombre de masse (A) de 4 unités et une diminution du numéro atomique (Z) de 2 unités pour le noyau père, formant ainsi un noyau fils.

Le Radium (Ra) a un numéro atomique \(Z=88\). Le Radium-226 a un nombre de masse \(A=226\).

Équation :
\[ ^{226}_{88}\text{Ra} \rightarrow ^{A'}_{Z'}\text{X} + ^{4}_{2}\text{He} \]

Conservation du nombre de masse : \(226 = A' + 4 \Rightarrow A' = 222\)

Conservation du numéro atomique (charge) : \(88 = Z' + 2 \Rightarrow Z' = 86\)

L'élément avec \(Z'=86\) est le Radon (Rn).

Résultat Question 1 : L'équation nucléaire équilibrée est : \[ ^{226}_{88}\text{Ra} \rightarrow ^{222}_{86}\text{Rn} + ^{4}_{2}\text{He} \]

Question 2 : Constante de désintégration radioactive (\(\lambda\)) du Radium-226

Principe :

La constante de désintégration (\(\lambda\)) est reliée à la période radioactive (\(t_{1/2}\)) par la formule : \(\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}\). Il faut convertir la période en secondes pour obtenir \(\lambda\) en \(\text{s}^{-1}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} \]
Données spécifiques :
  • \(t_{1/2, \text{Ra}} = 1600 \, \text{ans}\)
  • \(\ln(2) \approx 0.693\)
  • \(1 \, \text{an} \approx 3.15576 \times 10^7 \, \text{s}\)
Calcul :

Conversion de la période en secondes :

\[ \begin{aligned} t_{1/2, \text{Ra}} (\text{s}) &= 1600 \, \text{ans} \times 3.15576 \times 10^7 \, \text{s/an} \\ &\approx 5.049216 \times 10^{10} \, \text{s} \end{aligned} \]

Calcul de \(\lambda\) :

\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{0.693}{5.049216 \times 10^{10} \, \text{s}} \\ &\approx 0.137249 \times 10^{-10} \, \text{s}^{-1} \\ &\approx 1.372 \times 10^{-11} \, \text{s}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La constante de désintégration du Radium-226 est \(\lambda \approx 1.37 \times 10^{-11} \, \text{s}^{-1}\).

Question 3 : Nombre initial d'atomes de Radium-226 (\(N_0\))

Principe :

Le nombre d'atomes (\(N\)) peut être calculé à partir de la masse (\(m\)), de la masse molaire (\(M\)) et du nombre d'Avogadro (\(N_A\)) : \(N = \frac{m}{M} \times N_A\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ N_0 = \frac{m_{\text{Ra, initial}}}{M_{\text{Ra}}} \times N_A \]
Données spécifiques :
  • \(m_{\text{Ra, initial}} = 10.0 \, \text{g}\)
  • \(M_{\text{Ra}} = 226.025 \, \text{g/mol}\)
  • \(N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_0 &= \frac{10.0 \, \text{g}}{226.025 \, \text{g/mol}} \times 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1} \\ &\approx 0.044242 \, \text{mol} \times 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1} \\ &\approx 0.26641 \times 10^{23} \, \text{atomes} \\ &\approx 2.664 \times 10^{22} \, \text{atomes} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le nombre initial d'atomes de Radium-226 est \(N_0 \approx 2.66 \times 10^{22} \, \text{atomes}\).

Question 4 : Activité initiale (\(A_0\)) de l'échantillon

Principe :

L'activité (\(A\)) d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations par unité de temps. Elle est donnée par \(A = \lambda N\), où \(\lambda\) est la constante de désintégration et \(N\) est le nombre d'atomes radioactifs présents. L'unité SI est le Becquerel (Bq), qui correspond à une désintégration par seconde.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_0 = \lambda N_0 \]
Données spécifiques :
  • \(\lambda \approx 1.372 \times 10^{-11} \, \text{s}^{-1}\)
  • \(N_0 \approx 2.664 \times 10^{22} \, \text{atomes}\)
  • \(1 \, \text{Ci} = 3.7 \times 10^{10} \, \text{Bq}\)
Calcul en Becquerels (Bq) :
\[ \begin{aligned} A_0 &= (1.372 \times 10^{-11} \, \text{s}^{-1}) \times (2.664 \times 10^{22} \, \text{atomes}) \\ &\approx 3.655 \times 10^{11} \, \text{désintégrations/s} \\ &\approx 3.66 \times 10^{11} \, \text{Bq} \end{aligned} \]
Calcul en Curies (Ci) :
\[ \begin{aligned} A_0 (\text{Ci}) &= \frac{3.655 \times 10^{11} \, \text{Bq}}{3.7 \times 10^{10} \, \text{Bq/Ci}} \\ &\approx 9.878 \, \text{Ci} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'activité initiale de l'échantillon est :
  • \(A_0 \approx 3.66 \times 10^{11} \, \text{Bq}\)
  • \(A_0 \approx 9.88 \, \text{Ci}\)

Quiz Intermédiaire 1 : La période radioactive est le temps nécessaire pour que :

Question 5 : Masse de Radium-226 restante après \(t = 500 \, \text{ans}\)

Principe :

La loi de la décroissance radioactive pour le nombre d'atomes restants est \(N_t = N_0 e^{-\lambda t}\). Comme la masse est proportionnelle au nombre d'atomes (\(m = n \cdot M = (N/N_A) \cdot M\)), on peut aussi écrire \(m_t = m_0 e^{-\lambda t}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ m_t = m_0 e^{-\lambda t} \]

Il faut s'assurer que \(\lambda\) et \(t\) ont des unités de temps cohérentes. On peut utiliser \(\lambda\) en \(\text{ans}^{-1}\) ou convertir \(t\) en secondes.

Calcul de \(\lambda\) en \(\text{ans}^{-1}\) :

\[ \lambda_{\text{ans}} = \frac{\ln(2)}{t_{1/2, \text{ans}}} = \frac{0.693}{1600 \, \text{ans}} \approx 0.000433125 \, \text{ans}^{-1} \]
Données spécifiques :
  • \(m_0 = 10.0 \, \text{g}\)
  • \(\lambda_{\text{ans}} \approx 0.000433125 \, \text{ans}^{-1}\)
  • \(t = 500 \, \text{ans}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} m_{500\text{ans}} &= (10.0 \, \text{g}) \times e^{-(0.000433125 \, \text{ans}^{-1} \times 500 \, \text{ans})} \\ &= (10.0 \, \text{g}) \times e^{-0.2165625} \\ &\approx (10.0 \, \text{g}) \times 0.80528 \\ &\approx 8.0528 \, \text{g} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La masse de Radium-226 restante après 500 ans est d'environ \(8.05 \, \text{g}\).

Question 6 : Masse de Radon-222 produite après \(t = 500 \, \text{ans}\)

Principe :

La masse de Radium désintégrée est \(m_{\text{Ra, désintégré}} = m_0 - m_t\). Le nombre de moles de Radium désintégrées est \(n_{\text{Ra, désintégré}} = \frac{m_{\text{Ra, désintégré}}}{M_{\text{Ra}}}\). D'après la stœchiométrie \(^{226}_{88}\text{Ra} \rightarrow ^{222}_{86}\text{Rn} + ^{4}_{2}\text{He}\), 1 mole de Ra désintégrée produit 1 mole de Rn. Donc, \(n_{\text{Rn, produit}} = n_{\text{Ra, désintégré}}\). La masse de Radon produite est \(m_{\text{Rn}} = n_{\text{Rn, produit}} \times M_{\text{Rn}}\).

Données spécifiques :
  • \(m_0 = 10.0 \, \text{g}\)
  • \(m_{500\text{ans}} \approx 8.0528 \, \text{g}\) (masse de Ra restante)
  • \(M_{\text{Ra}} = 226.025 \, \text{g/mol}\)
  • \(M_{\text{Rn}} = 222.018 \, \text{g/mol}\)
Calcul :

Masse de Radium désintégrée :

\[ \begin{aligned} m_{\text{Ra, désintégré}} &= 10.0 \, \text{g} - 8.0528 \, \text{g} \\ &= 1.9472 \, \text{g} \end{aligned} \]

Nombre de moles de Radium désintégrées :

\[ \begin{aligned} n_{\text{Ra, désintégré}} &= \frac{1.9472 \, \text{g}}{226.025 \, \text{g/mol}} \\ &\approx 0.008615 \, \text{mol} \end{aligned} \]

Nombre de moles de Radon produites :

\[ n_{\text{Rn, produit}} = n_{\text{Ra, désintégré}} \approx 0.008615 \, \text{mol} \]

Masse de Radon produite :

\[ \begin{aligned} m_{\text{Rn}} &= 0.008615 \, \text{mol} \times 222.018 \, \text{g/mol} \\ &\approx 1.9126 \, \text{g} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La masse de Radon-222 produite après 500 ans est d'environ \(1.91 \, \text{g}\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'activité d'un échantillon radioactif :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La désintégration alpha entraîne :

2. Si la période radioactive d'un isotope est de 100 ans, après 200 ans, la fraction de l'isotope initial restant sera :

3. Le Becquerel (Bq) est une unité de mesure de :

Glossaire

Radioactivité
Phénomène par lequel des noyaux atomiques instables se transforment spontanément en d'autres noyaux en émettant des particules (alpha, bêta) ou des rayonnements électromagnétiques (gamma).
Désintégration Alpha (\(\alpha\))
Type de désintégration radioactive où un noyau atomique émet une particule alpha (un noyau d'hélium, \(^{4}_{2}\text{He}\)), se transformant en un noyau avec un nombre de masse diminué de 4 et un numéro atomique diminué de 2.
Période Radioactive (\(t_{1/2}\))
Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent. C'est une caractéristique d'un isotope radioactif donné.
Constante de Désintégration (\(\lambda\))
Probabilité par unité de temps qu'un noyau radioactif se désintègre. Elle est inversement proportionnelle à la période radioactive (\(\lambda = \ln(2)/t_{1/2}\)).
Activité (\(A\))
Nombre de désintégrations radioactives par unité de temps dans un échantillon. Unité SI : Becquerel (Bq). \(A = \lambda N\).
Becquerel (Bq)
Unité SI de l'activité radioactive, équivalente à une désintégration par seconde.
Curie (Ci)
Ancienne unité d'activité radioactive, initialement définie par l'activité d'un gramme de Radium-226. \(1 \, \text{Ci} = 3.7 \times 10^{10} \, \text{Bq}\).
Nucléide
Espèce atomique caractérisée par le nombre de protons (Z) et le nombre de neutrons (N) de son noyau (et donc son nombre de masse A = Z + N).
Isotope
Atomes d'un même élément chimique (même Z) qui ont des nombres de neutrons différents (et donc des nombres de masse A différents).
Transformation du Radium en Radon - Exercice d'Application

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