Cinétique de la Décroissance Radioactive

Principe :

La constante de désintégration (\(\lambda\)) est reliée à la période radioactive (\(t_{1/2}\)) par la formule \(\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}\). Il est important d'utiliser des unités cohérentes pour \(t_{1/2}\) afin d'obtenir \(\lambda\) dans l'unité souhaitée.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(t_{1/2} = 8.02 \text{ jours}\)
• \(\ln(2) \approx 0.693\)

Calcul en \(\text{jour}^{-1}\) :

Arrondi à trois chiffres significatifs : \(\lambda \approx 0.0864 \text{ jour}^{-1}\).

Calcul en \(\text{s}^{-1}\) :

D'abord, convertissons \(t_{1/2}\) en secondes :

Puis, calculons \(\lambda\) :

(En utilisant une valeur plus précise de \(\ln(2)\) et de \(t_{1/2}\), on obtiendrait \(\lambda \approx 9.998 \times 10^{-7} \text{ s}^{-1}\), que l'on arrondit souvent à \(1.00 \times 10^{-6} \text{ s}^{-1}\) pour simplifier).

Principe :

L'activité radioactive d'un échantillon décroît exponentiellement avec le temps selon la loi \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\), où \(A_0\) est l'activité initiale, \(\lambda\) la constante de désintégration, et \(t\) le temps écoulé.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(A_0 = 500 \text{ MBq}\)
• \(\lambda \approx 0.0864 \text{ jour}^{-1}\) (on utilise la valeur en \(\text{jour}^{-1}\) car \(t\) est en jours)
• \(t = 20 \text{ jours}\)

Calcul :

Arrondi à une décimale : \(A(20 \text{ jours}) \approx 88.8 \text{ MBq}\).

Principe :

On utilise la même loi de décroissance \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\), mais cette fois on cherche \(t\) en connaissant le rapport \(\frac{A(t)}{A_0}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Ou, de manière équivalente : \(t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A_0}{A(t)}\right)\)

Données spécifiques :

• \(\frac{A(t)}{A_0} = 0.10\) (soit 10%)
• \(\lambda \approx 0.0864 \text{ jour}^{-1}\)

Calcul :

Arrondi à une décimale : \(t \approx 26.7 \text{ jours}\).

Principe :

L'activité (\(A\)) d'un échantillon radioactif est directement proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs (\(N\)) présents et à la constante de désintégration (\(\lambda\)) : \(A = \lambda N\). On utilise cette relation pour \(t=0\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(A_0 = 500 \text{ MBq} = 500 \times 10^6 \text{ Bq} = 500 \times 10^6 \text{ désintégrations/s}\)
• \(\lambda \approx 1.00 \times 10^{-6} \text{ s}^{-1}\) (il faut utiliser \(\lambda\) en \(\text{s}^{-1}\) car \(A_0\) est en Bq, c'est-à-dire \(\text{s}^{-1}\))

Calcul :

Principe :

La constante de désintégration (\(\lambda\)) est inversement proportionnelle à la demi-vie (\(t_{1/2}\)) : \(\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}\). Un isotope avec une demi-vie plus courte aura donc une constante de désintégration plus grande.

Analyse :

• Demi-vie de \(^{131}\text{I}\) : \(t_{1/2}(^{131}\text{I}) = 8.02 \text{ jours}\)
• Demi-vie de \(^{99\text{m}}\text{Tc}\) : \(t_{1/2}(^{99\text{m}}\text{Tc}) = 6 \text{ heures}\)

Convertissons la demi-vie du \(^{99\text{m}}\text{Tc}\) en jours pour faciliter la comparaison : \(6 \text{ heures} = \frac{6}{24} \text{ jours} = 0.25 \text{ jours}\).

On a \(t_{1/2}(^{99\text{m}}\text{Tc}) = 0.25 \text{ jours}\) et \(t_{1/2}(^{131}\text{I}) = 8.02 \text{ jours}\).

Puisque \(t_{1/2}(^{99\text{m}}\text{Tc}) < t_{1/2}(^{131}\text{I})\), et que \(\lambda\) est inversement proportionnel à \(t_{1/2}\), alors \(\lambda(^{99\text{m}}\text{Tc}) > \lambda(^{131}\text{I})\).

Principe :

Après chaque demi-vie, l'activité est divisée par 2. On cherche \(n\) (nombre de demi-vies) tel que \(A(t) / A_0 \approx 0.01\), où \(A(t) / A_0 = (1/2)^n\).

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul / Raisonnement :

On veut \((1/2)^n \approx 0.01\). On peut tester des valeurs de \(n\) :

• \(n=1 \Rightarrow (1/2)^1 = 0.5\) (50%)
• \(n=2 \Rightarrow (1/2)^2 = 0.25\) (25%)
• \(n=3 \Rightarrow (1/2)^3 = 0.125\) (12.5%)
• \(n=4 \Rightarrow (1/2)^4 = 0.0625\) (6.25%)
• \(n=5 \Rightarrow (1/2)^5 = 0.03125\) (3.125%)
• \(n=6 \Rightarrow (1/2)^6 = 0.015625\) (1.56%)
• \(n=7 \Rightarrow (1/2)^7 = 0.0078125\) (0.78%)

Après 6 demi-vies, l'activité est réduite à environ 1.56%. Après 7 demi-vies, elle est réduite à environ 0.78%. Donc, pour atteindre environ 1%, il faut entre 6 et 7 demi-vies. Classiquement, on considère qu'après environ 7 demi-vies, l'activité est négligeable (inférieure à 1%).

Plus formellement, si \((1/2)^n = 0.01\), alors \(n \log(1/2) = \log(0.01)\), donc \(-n \ln(2) = \ln(0.01)\). \(n = -\frac{\ln(0.01)}{\ln(2)} = -\frac{-4.605}{0.693} \approx 6.64\). Il faut donc un peu moins de 7 demi-vies. On arrondit souvent à 7 pour être sûr d'être en dessous de 1%.