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Etude de Chimie

Désintégration du Potassium 40

Désintégration du Potassium 40

Comprendre la Désintégration du Potassium 40

Le potassium 40 (\(^{40}K\)) est un isotope radioactif naturel du potassium. On le trouve dans divers minéraux et il joue un rôle crucial dans les méthodes de datation géologique, telles que la datation par le potassium-argon.

Le \(^{40}K\) se désintègre de deux manières principales : par capture électronique pour former de l’argon 40 (\(^{40}Ar\)) et par émission de positron pour former du calcium 40 (\(^{40}Ca\)).

Ces processus de désintégration sont importants pour comprendre l’âge des roches et l’évolution des paysages géologiques.

Données:

  • L’abondance naturelle du \(^{40}K\) dans le potassium est de 0.0117%.
  • La demi-vie du \(^{40}K\) est d’environ 1.25 milliards d’années.
  • Constante de désintégration (\(\lambda\)) pour le \(^{40}K\) = \(\frac{\ln(2)}{\text{demi-vie}}\).
  • Méthode de désintégration : 89% par capture électronique et 11% par émission de positron.
  • Masse molaire du potassium : 39.1 g/mol.

Questions:

Un échantillon géologique contient 100 mg de potassium. Calculez le nombre d’atomes de \(^{40}K\) présents initialement dans l’échantillon, puis déterminez la quantité de \(^{40}Ar\) et \(^{40}Ca\) produits après 10 millions d’années. Assumez que tout l’argon produit reste dans l’échantillon, tandis que le calcium peut migrer hors de l’échantillon.

Correction : Désintégration du Potassium 40

Étape 1: Calcul du nombre total de moles de potassium dans l’échantillon

Données :

  • Masse de l’échantillon = 100 mg = 0.1 g (conversion de mg en g)
  • Masse molaire du potassium = 39.1 g/mol

Formule utilisée :

\[ \text{Nombre de moles de } K = \frac{\text{Masse de l’échantillon}}{\text{Masse molaire de } K} \] \[ \text{Nombre de moles de } K = \frac{0.1 \text{ g}}{39.1 \text{ g/mol}} \] \[ \text{Nombre de moles de } K \approx 0.00256 \text{ mol} \]

Étape 2: Calcul du nombre de moles de \(^{40}K\) dans l’échantillon

Donnée :

  • Abondance naturelle du \(^{40}K\) = 0.0117%

Formule utilisée :

\( \text{Nombre de moles de } ^{40}K = \text{Nombre total de moles de } K \times \text{Abondance de } ^{40}K \) \[ \text{Nombre de moles de } ^{40}K = 0.00256 \text{ mol} \times 0.000117 \] \[ \text{Nombre de moles de } ^{40}K \approx 0.00000029952 \text{ mol} \]

Étape 3: Conversion des moles de \(^{40}K\) en nombre d’atomes

Donnée :

  • Nombre d’Avogadro = \(6.022 \times 10^{23} \text{ atomes/mol}\)

Formule utilisée :

\( \text{Nombre d’atomes de } ^{40}K = \text{Nombre de moles de } ^{40}K \times \text{Nombre d’Avogadro} \)

\( \text{Nombre d’atomes de } ^{40}K \approx 0.00000029952 \text{ mol} \times 6.022 \times 10^{23} \text{ atomes/mol} \)

\( \text{Nombre d’atomes de } ^{40}K \approx 1.803 \times 10^{17} \text{ atomes} \)

Étape 4: Calcul du nombre d’atomes restants après 10 millions d’années

Données :

  • Demi-vie de \(^{40}K\) = 1.25 milliards d’années = 1.25 \times 10^9 années
  • Temps \(t\) = 10 millions d’années = 10 \times 10^6 années

Formule de la constante de désintégration :

\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{\text{demi-vie}} \] \[ \lambda = \frac{\ln(2)}{1.25 \times 10^9 \text{ années}} \] \[ \lambda \approx 5.545 \times 10^{-10} \text{ année}^{-1} \]

Formule du nombre d’atomes restants :

\[ N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t} \] \[ N(t) \approx 1.803 \times 10^{17} \text{ atomes} \times e^{-5.545 \times 10^{-10} \text{ année}^{-1} \times 10 \times 10^6 \text{ années}} \] \[ N(t) \approx 1.797 \times 10^{17} \text{ atomes} \]

Étape 5: Calcul de la quantité de \(^{40}Ar\) et \(^{40}Ca\) formée

Formules utilisées :

  • Quantité de \(^{40}Ar\):

\( \text{Nombre d’atomes de } ^{40}Ar = (N_0 – N(t)) \times 0.89 \)

\( \text{Nombre d’atomes de } ^{40}Ar \approx (1.803 \times 10^{17} – 1.797 \times 10^{17}) \times 0.89 \)

\( \text{Nombre d’atomes de } ^{40}Ar \approx 5.34 \times 10^{15} \text{ atomes} \)

  • Quantité de \(^{40}Ca\):

\( \text{Nombre d’atomes de } ^{40}Ca = (N_0 – N(t)) \times 0.11 \)

\( \text{Nombre d’atomes de } ^{40}Ca \approx (1.803 \times 10^{17} – 1.797 \times 10^{17}) \times 0.11 \)

\( \text{Nombre d’atomes de } ^{40}Ca \approx 6.6 \times 10^{14} \text{ atomes} \)

Ces calculs illustrent comment le potassium 40 se désintègre en argon 40 et calcium 40 sur une période de 10 millions d’années, permettant ainsi d’analyser les processus géologiques à long terme.

Désintégration du Potassium 40

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