Exercices et corrigés

Etude de Chimie

Désintégration du Potassium 40

Désintégration du Potassium-40 en Chimie Nucléaire

Désintégration du Potassium-40 et Calculs Associés

Comprendre la Désintégration Radioactive du Potassium-40

Le potassium-40 (\(^{40}\text{K}\)) est un isotope radioactif naturel du potassium, présent en faibles quantités dans de nombreux matériaux, y compris le corps humain. Sa désintégration radioactive est un processus important en géochronologie (datation potassium-argon) et contribue à la radioactivité naturelle. Le \(^{40}\text{K}\) se désintègre principalement par deux voies : la désintégration bêta moins (\(\beta^-\)) en calcium-40 (\(^{40}\text{Ca}\)) et la capture électronique (CE) (ou plus rarement par émission de positron \(\beta^+\)) en argon-40 (\(^{40}\text{Ar}\)). Chaque processus de désintégration suit une cinétique de premier ordre, caractérisée par une constante de désintégration (\(\lambda\)) et une demi-vie (\(t_{1/2}\)).

Données de l'étude

On considère un échantillon contenant initialement une certaine masse de potassium-40 pur.

Caractéristiques et constantes :

  • Isotope : Potassium-40 (\(^{40}_{19}\text{K}\))
  • Masse initiale de \(^{40}\text{K}\) (\(m_0\)) : \(1.00 \, \text{mg}\)
  • Demi-vie du \(^{40}\text{K}\) (\(t_{1/2}\)) : \(1.251 \times 10^9 \, \text{ans}\)
  • Masse molaire du \(^{40}\text{K}\) (\(M_{^{40}\text{K}}\)) : environ \(39.964 \, \text{g/mol}\)
  • Nombre d'Avogadro (\(N_A\)) : \(6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
  • Conversion : \(1 \, \text{an} \approx 3.156 \times 10^7 \, \text{s}\)

Principales voies de désintégration :
\(^{40}_{19}\text{K} \rightarrow ^{40}_{20}\text{Ca} + ^0_{-1}\beta + \bar{\nu}_e\) (désintégration \(\beta^-\), ~89.28%)
\(^{40}_{19}\text{K} + ^0_{-1}e \rightarrow ^{40}_{18}\text{Ar} + \nu_e\) (capture électronique, ~10.72%)

Schéma Simplifié de la Désintégration du Potassium-40
K-40 β⁻ (89%) Ca-40 \(\bar{\nu}_e\) CE (11%) Ar-40 \(\nu_e\) e⁻ capturé

Le Potassium-40 se désintègre principalement en Calcium-40 et Argon-40.

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de désintégration radioactive (\(\lambda\)) du \(^{40}\text{K}\) en s⁻¹.
  2. Calculer le nombre initial d'atomes de \(^{40}\text{K}\) (\(N_0\)) dans l'échantillon de \(1.00 \, \text{mg}\).
  3. Calculer l'activité radioactive initiale (\(A_0\)) de l'échantillon en Becquerels (Bq).
  4. Calculer la masse de \(^{40}\text{K}\) restante après un temps \(t = 2.50 \times 10^9 \, \text{ans}\).
  5. Calculer l'activité de l'échantillon après ce même temps \(t = 2.50 \times 10^9 \, \text{ans}\).

Correction : Désintégration du Potassium-40

Question 1 : Calcul de la Constante de Désintégration (\(\lambda\))

Principe :

La constante de désintégration (\(\lambda\)) est reliée à la demi-vie (\(t_{1/2}\)) par la formule \(\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}\). Il faut d'abord convertir la demi-vie en secondes.

Conversion de la demi-vie en secondes :
\[ \begin{aligned} t_{1/2} (\text{s}) &= (1.251 \times 10^9 \, \text{ans}) \times (3.156 \times 10^7 \, \text{s/an}) \\ &\approx 3.948156 \times 10^{16} \, \text{s} \end{aligned} \]
Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}\]
Données spécifiques :
  • \(t_{1/2} \approx 3.948156 \times 10^{16} \, \text{s}\)
  • \(\ln(2) \approx 0.6931\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{0.6931}{3.948156 \times 10^{16} \, \text{s}} \\ &\approx 0.17555 \times 10^{-16} \, \text{s}^{-1} \\ &\approx 1.756 \times 10^{-17} \, \text{s}^{-1} \quad (\text{arrondi à 4 chiffres significatifs cohérent avec } t_{1/2}) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La constante de désintégration du \(^{40}\text{K}\) est \(\lambda \approx 1.756 \times 10^{-17} \, \text{s}^{-1}\).

Question 2 : Nombre Initial d'Atomes de \(^{40}\text{K}\) (\(N_0\))

Principe :

Pour trouver le nombre d'atomes (\(N_0\)), on calcule d'abord le nombre de moles (\(n_0\)) à partir de la masse initiale (\(m_0\)) et de la masse molaire (\(M\)), puis on multiplie par le nombre d'Avogadro (\(N_A\)).

Conversion de la masse initiale en grammes :
\[ m_0 = 1.00 \, \text{mg} = 1.00 \times 10^{-3} \, \text{g} \]
Formule(s) utilisée(s) :
\[n_0 = \frac{m_0}{M_{^{40}\text{K}}}\] \[N_0 = n_0 \times N_A\]
Données spécifiques :
  • \(m_0 = 1.00 \times 10^{-3} \, \text{g}\)
  • \(M_{^{40}\text{K}} = 39.964 \, \text{g/mol}\)
  • \(N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} n_0 &= \frac{1.00 \times 10^{-3} \, \text{g}}{39.964 \, \text{g/mol}} \\ &\approx 0.0250225 \times 10^{-3} \, \text{mol} \\ &\approx 2.50225 \times 10^{-5} \, \text{mol} \\ N_0 &= (2.50225 \times 10^{-5} \, \text{mol}) \times (6.022 \times 10^{23} \, \text{atomes/mol}) \\ &\approx 15.0685 \times 10^{18} \, \text{atomes} \\ &\approx 1.507 \times 10^{19} \, \text{atomes} \quad (\text{arrondi à 4 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le nombre initial d'atomes de \(^{40}\text{K}\) est \(N_0 \approx 1.507 \times 10^{19} \, \text{atomes}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si vous avez 2 moles d'une substance, combien d'atomes ou de molécules cela représente-t-il approximativement ? (\(N_A \approx 6 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\))

Question 3 : Calcul de l'Activité Radioactive Initiale (\(A_0\))

Principe :

L'activité radioactive (\(A\)) d'un échantillon est le nombre de désintégrations par unité de temps. Elle est proportionnelle au nombre d'atomes radioactifs présents (\(N\)) et à la constante de désintégration (\(\lambda\)). L'unité SI de l'activité est le Becquerel (Bq), où \(1 \, \text{Bq} = 1 \, \text{désintégration/seconde}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_0 = \lambda N_0\]
Données calculées :
  • \(\lambda \approx 1.7555 \times 10^{-17} \, \text{s}^{-1}\) (valeur non arrondie pour précision)
  • \(N_0 \approx 1.50685 \times 10^{19} \, \text{atomes}\) (valeur non arrondie pour précision)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_0 &= (1.7555 \times 10^{-17} \, \text{s}^{-1}) \times (1.50685 \times 10^{19} \, \text{atomes}) \\ &\approx 0.26455 \times 10^2 \, \text{désintégrations/s} \\ &\approx 26.455 \, \text{Bq} \\ &\approx 26.5 \, \text{Bq} \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs cohérent avec } m_0) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'activité radioactive initiale de l'échantillon est \(A_0 \approx 26.5 \, \text{Bq}\).

Question 4 : Masse de \(^{40}\text{K}\) Restante après \(2.50 \times 10^9 \, \text{ans}\)

Principe :

La loi de la désintégration radioactive stipule que le nombre d'atomes radioactifs (\(N(t)\)) restants après un temps \(t\) est donné par \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\). Comme la masse est proportionnelle au nombre d'atomes, on peut aussi écrire \(m(t) = m_0 e^{-\lambda t}\).

Conversion du temps \(t\) en secondes :
\[ \begin{aligned} t (\text{s}) &= (2.50 \times 10^9 \, \text{ans}) \times (3.156 \times 10^7 \, \text{s/an}) \\ &= 7.89 \times 10^{16} \, \text{s} \end{aligned} \]
Formule(s) utilisée(s) :
\[m(t) = m_0 e^{-\lambda t}\]
Données spécifiques et calculées :
  • \(m_0 = 1.00 \, \text{mg}\)
  • \(\lambda \approx 1.7555 \times 10^{-17} \, \text{s}^{-1}\)
  • \(t = 7.89 \times 10^{16} \, \text{s}\)
Calcul de l'exposant \(\lambda t\) :
\[ \begin{aligned} \lambda t &= (1.7555 \times 10^{-17} \, \text{s}^{-1}) \times (7.89 \times 10^{16} \, \text{s}) \\ &\approx 1.3850895 \end{aligned} \]
Calcul de \(m(t)\) :
\[ \begin{aligned} m(t) &= 1.00 \, \text{mg} \times e^{-1.3850895} \\ &\approx 1.00 \, \text{mg} \times 0.25030 \\ &\approx 0.250 \, \text{mg} \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La masse de \(^{40}\text{K}\) restante après \(2.50 \times 10^9 \, \text{ans}\) est d'environ \(0.250 \, \text{mg}\).

Question 5 : Activité de l'Échantillon après \(2.50 \times 10^9 \, \text{ans}\)

Principe :

L'activité radioactive (\(A(t)\)) diminue également de manière exponentielle avec le temps, selon la formule \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\]
Données calculées :
  • \(A_0 \approx 26.455 \, \text{Bq}\)
  • \(\lambda t \approx 1.3850895\) (calculé à la question précédente)
  • \(e^{-\lambda t} \approx 0.25030\) (calculé à la question précédente)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A(t) &= 26.455 \, \text{Bq} \times 0.25030 \\ &\approx 6.6217... \, \text{Bq} \\ &\approx 6.62 \, \text{Bq} \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'activité de l'échantillon après \(2.50 \times 10^9 \, \text{ans}\) est d'environ \(6.62 \, \text{Bq}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Après deux demi-vies, quelle fraction de la substance radioactive initiale reste-t-il ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La demi-vie d'un isotope radioactif est :

2. L'activité radioactive d'un échantillon est mesurée en :

3. Si la constante de désintégration (\(\lambda\)) est grande, cela signifie que :

Glossaire

Désintégration Radioactive
Processus spontané par lequel un noyau atomique instable (radio-isotope) se transforme en un autre noyau, en émettant des particules (alpha, bêta) ou des rayonnements électromagnétiques (gamma).
Demi-vie (\(t_{1/2}\))
Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent.
Constante de Désintégration (\(\lambda\))
Probabilité par unité de temps qu'un noyau radioactif se désintègre. Elle est inversement proportionnelle à la demi-vie.
Activité Radioactive (\(A\))
Nombre de désintégrations nucléaires par unité de temps dans un échantillon radioactif. L'unité SI est le Becquerel (Bq), où 1 Bq = 1 désintégration par seconde.
Becquerel (Bq)
Unité du Système International pour l'activité radioactive, équivalente à une désintégration par seconde.
Potassium-40 (\(^{40}\text{K}\))
Isotope radioactif naturel du potassium, avec une demi-vie très longue, utilisé notamment en datation géologique.
Désintégration Bêta Moins (\(\beta^-\))
Type de désintégration radioactive où un neutron dans le noyau se transforme en proton, avec émission d'un électron (particule \(\beta^-\)) et d'un antineutrino électronique.
Capture Électronique (CE)
Processus par lequel un noyau atomique capture un de ses propres électrons orbitaux (généralement de la couche K ou L), transformant un proton en neutron et émettant un neutrino.
Désintégration du Potassium-40 - Exercice d'Application en Chimie Nucléaire

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