Désintégration du Potassium-40 et Calculs Associés
Comprendre la Désintégration Radioactive du Potassium-40
Le potassium-40 (\(^{40}\text{K}\)) est un isotope radioactif naturel du potassium, présent en faibles quantités dans de nombreux matériaux, y compris le corps humain. Sa désintégration radioactive est un processus important en géochronologie (datation potassium-argon) et contribue à la radioactivité naturelle. Le \(^{40}\text{K}\) se désintègre principalement par deux voies : la désintégration bêta moins (\(\beta^-\)) en calcium-40 (\(^{40}\text{Ca}\)) et la capture électronique (CE) (ou plus rarement par émission de positron \(\beta^+\)) en argon-40 (\(^{40}\text{Ar}\)). Chaque processus de désintégration suit une cinétique de premier ordre, caractérisée par une constante de désintégration (\(\lambda\)) et une demi-vie (\(t_{1/2}\)).
Données de l'étude
- Isotope : Potassium-40 (\(^{40}_{19}\text{K}\))
- Masse initiale de \(^{40}\text{K}\) (\(m_0\)) : \(1.00 \, \text{mg}\)
- Demi-vie du \(^{40}\text{K}\) (\(t_{1/2}\)) : \(1.251 \times 10^9 \, \text{ans}\)
- Masse molaire du \(^{40}\text{K}\) (\(M_{^{40}\text{K}}\)) : environ \(39.964 \, \text{g/mol}\)
- Nombre d'Avogadro (\(N_A\)) : \(6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
- Conversion : \(1 \, \text{an} \approx 3.156 \times 10^7 \, \text{s}\)
Schéma Simplifié de la Désintégration du Potassium-40
Le Potassium-40 se désintègre principalement en Calcium-40 et Argon-40.
Questions à traiter
- Calculer la constante de désintégration radioactive (\(\lambda\)) du \(^{40}\text{K}\) en s⁻¹.
- Calculer le nombre initial d'atomes de \(^{40}\text{K}\) (\(N_0\)) dans l'échantillon de \(1.00 \, \text{mg}\).
- Calculer l'activité radioactive initiale (\(A_0\)) de l'échantillon en Becquerels (Bq).
- Calculer la masse de \(^{40}\text{K}\) restante après un temps \(t = 2.50 \times 10^9 \, \text{ans}\).
- Calculer l'activité de l'échantillon après ce même temps \(t = 2.50 \times 10^9 \, \text{ans}\).
Correction : Désintégration du Potassium-40
Question 1 : Calcul de la Constante de Désintégration (\(\lambda\))
Principe :
La constante de désintégration (\(\lambda\)) est reliée à la demi-vie (\(t_{1/2}\)) par la formule \(\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}\). Il faut d'abord convertir la demi-vie en secondes.
Conversion de la demi-vie en secondes :
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(t_{1/2} \approx 3.948156 \times 10^{16} \, \text{s}\)
- \(\ln(2) \approx 0.6931\)
Calcul :
Question 2 : Nombre Initial d'Atomes de \(^{40}\text{K}\) (\(N_0\))
Principe :
Pour trouver le nombre d'atomes (\(N_0\)), on calcule d'abord le nombre de moles (\(n_0\)) à partir de la masse initiale (\(m_0\)) et de la masse molaire (\(M\)), puis on multiplie par le nombre d'Avogadro (\(N_A\)).
Conversion de la masse initiale en grammes :
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(m_0 = 1.00 \times 10^{-3} \, \text{g}\)
- \(M_{^{40}\text{K}} = 39.964 \, \text{g/mol}\)
- \(N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 1 : Si vous avez 2 moles d'une substance, combien d'atomes ou de molécules cela représente-t-il approximativement ? (\(N_A \approx 6 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\))
Question 3 : Calcul de l'Activité Radioactive Initiale (\(A_0\))
Principe :
L'activité radioactive (\(A\)) d'un échantillon est le nombre de désintégrations par unité de temps. Elle est proportionnelle au nombre d'atomes radioactifs présents (\(N\)) et à la constante de désintégration (\(\lambda\)). L'unité SI de l'activité est le Becquerel (Bq), où \(1 \, \text{Bq} = 1 \, \text{désintégration/seconde}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données calculées :
- \(\lambda \approx 1.7555 \times 10^{-17} \, \text{s}^{-1}\) (valeur non arrondie pour précision)
- \(N_0 \approx 1.50685 \times 10^{19} \, \text{atomes}\) (valeur non arrondie pour précision)
Calcul :
Question 4 : Masse de \(^{40}\text{K}\) Restante après \(2.50 \times 10^9 \, \text{ans}\)
Principe :
La loi de la désintégration radioactive stipule que le nombre d'atomes radioactifs (\(N(t)\)) restants après un temps \(t\) est donné par \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\). Comme la masse est proportionnelle au nombre d'atomes, on peut aussi écrire \(m(t) = m_0 e^{-\lambda t}\).
Conversion du temps \(t\) en secondes :
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques et calculées :
- \(m_0 = 1.00 \, \text{mg}\)
- \(\lambda \approx 1.7555 \times 10^{-17} \, \text{s}^{-1}\)
- \(t = 7.89 \times 10^{16} \, \text{s}\)
Calcul de l'exposant \(\lambda t\) :
Calcul de \(m(t)\) :
Question 5 : Activité de l'Échantillon après \(2.50 \times 10^9 \, \text{ans}\)
Principe :
L'activité radioactive (\(A(t)\)) diminue également de manière exponentielle avec le temps, selon la formule \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données calculées :
- \(A_0 \approx 26.455 \, \text{Bq}\)
- \(\lambda t \approx 1.3850895\) (calculé à la question précédente)
- \(e^{-\lambda t} \approx 0.25030\) (calculé à la question précédente)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 2 : Après deux demi-vies, quelle fraction de la substance radioactive initiale reste-t-il ?
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. La demi-vie d'un isotope radioactif est :
2. L'activité radioactive d'un échantillon est mesurée en :
3. Si la constante de désintégration (\(\lambda\)) est grande, cela signifie que :
Glossaire
- Désintégration Radioactive
- Processus spontané par lequel un noyau atomique instable (radio-isotope) se transforme en un autre noyau, en émettant des particules (alpha, bêta) ou des rayonnements électromagnétiques (gamma).
- Demi-vie (\(t_{1/2}\))
- Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent.
- Constante de Désintégration (\(\lambda\))
- Probabilité par unité de temps qu'un noyau radioactif se désintègre. Elle est inversement proportionnelle à la demi-vie.
- Activité Radioactive (\(A\))
- Nombre de désintégrations nucléaires par unité de temps dans un échantillon radioactif. L'unité SI est le Becquerel (Bq), où 1 Bq = 1 désintégration par seconde.
- Becquerel (Bq)
- Unité du Système International pour l'activité radioactive, équivalente à une désintégration par seconde.
- Potassium-40 (\(^{40}\text{K}\))
- Isotope radioactif naturel du potassium, avec une demi-vie très longue, utilisé notamment en datation géologique.
- Désintégration Bêta Moins (\(\beta^-\))
- Type de désintégration radioactive où un neutron dans le noyau se transforme en proton, avec émission d'un électron (particule \(\beta^-\)) et d'un antineutrino électronique.
- Capture Électronique (CE)
- Processus par lequel un noyau atomique capture un de ses propres électrons orbitaux (généralement de la couche K ou L), transformant un proton en neutron et émettant un neutrino.
D’autres exercices de chimie nucléaire:
0 commentaires