Calcul du nombre de désintégrations par minute
Contexte : La mesure de la radioactivitéPhénomène physique par lequel des noyaux atomiques instables se transforment spontanément en d'autres atomes en émettant des particules et de l'énergie..
En chimie nucléaire, la quantification de la radioactivité est essentielle dans de nombreux domaines, tels que la datation au carbone 14, l'imagerie médicale (TEP, scintigraphie) ou le contrôle de la sécurité nucléaire. L'activité d'un échantillon, qui mesure le nombre de désintégrations par seconde, est une grandeur fondamentale. Cet exercice se concentre sur le calcul de l'activité d'un échantillon de Cobalt-60 (\(^{60}\text{Co}\)), un radioisotope artificiel utilisé en radiothérapie pour traiter certains cancers.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes clés pour passer d'une grandeur macroscopique (la masse d'un échantillon) à une mesure de son activité nucléaire (le nombre de désintégrations par minute), en utilisant des concepts fondamentaux comme la demi-vie et le nombre d'Avogadro.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la constante de désintégration (\(\lambda\)) à partir de la demi-vie (\(t_{1/2}\)).
- Déterminer le nombre d'atomes radioactifs (N) dans un échantillon à partir de sa masse.
- Calculer l'activité (A) d'un échantillon en Becquerels (Bq) et en désintégrations par minute (dpm).
- Comprendre la relation entre ces différentes grandeurs fondamentales de la chimie nucléaire.
Données de l'étude
Fiche Technique et Constantes
| Caractéristique / Constante | Valeur |
|---|---|
| Radioisotope | Cobalt-60 (\(^{60}_{27}\text{Co}\)) |
| Demi-vie (\(t_{1/2}\)) du \(^{60}\text{Co}\) | 5,27 ans |
| Masse molaire (M) du \(^{60}\text{Co}\) | 59,93 g/mol |
| Nombre d'Avogadro (\(N_A\)) | \(6,022 \times 10^{23}\) mol\(^{-1}\) |
Schéma de la mesure de l'activité
Questions à traiter
- Calculer la constante de désintégration (\(\lambda\)) du \(^{60}\text{Co}\) en s\(^{-1}\).
- Calculer le nombre initial d'atomes (\(N_0\)) de \(^{60}\text{Co}\) dans l'échantillon.
- En déduire l'activité initiale (\(A_0\)) de l'échantillon en Becquerels (Bq).
- Convertir cette activité en désintégrations par minute (dpm).
Les bases de la Chimie Nucléaire
La désintégration radioactive est un processus stochastique du premier ordre. La vitesse de désintégration, appelée activité, est directement proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs présents.
1. Loi de la décroissance radioactive
Le nombre de noyaux radioactifs \(N\) restants à un temps \(t\) suit une loi de décroissance exponentielle, où \(N_0\) est le nombre de noyaux initiaux et \(\lambda\) est la constante de désintégration :
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \]
2. Activité (A) et Constante de désintégration (\(\lambda\))
L'activité \(A\) est le nombre de désintégrations par unité de temps. Elle est liée à \(N\) et \(\lambda\) par la relation :
\[ A(t) = \lambda \cdot N(t) \]
La constante \(\lambda\) est reliée à la demi-vie \(t_{1/2}\) (temps au bout duquel la moitié des noyaux se sont désintégrés) par :
\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} \]
Correction : Calcul du nombre de désintégrations par minute
Question 1 : Calculer la constante de désintégration (\(\lambda\)) du \(^{60}\text{Co}\) en s\(^{-1}\).
Principe
La constante de désintégration (\(\lambda\)) est une mesure de la probabilité qu'un noyau se désintègre par unité de temps. Elle est inversement proportionnelle à la demi-vie : plus un élément a une demi-vie courte, plus sa constante de désintégration est grande, et plus il est radioactif.
Mini-Cours
La désintégration radioactive suit une cinétique du premier ordre. Cela signifie que la vitesse de la réaction (l'activité) ne dépend que de la concentration (ou du nombre) d'un seul réactif (les noyaux radioactifs). L'équation de vitesse est \(v = -dN/dt = \lambda N\). La constante \(\lambda\) est donc l'équivalent d'une constante de vitesse en cinétique chimique.
Remarque Pédagogique
La première étape de tout calcul en sciences physiques devrait être de lister les données fournies et d'identifier l'unité finale souhaitée. Ici, on part d'années et on veut arriver à des s⁻¹. Cela nous indique immédiatement qu'une conversion sera nécessaire. C'est 90% du travail !
Normes
Les données nucléaires comme les demi-vies sont évaluées et standardisées par des consortiums internationaux (comme le National Nuclear Data Center aux États-Unis) pour garantir leur fiabilité. Les unités (comme la seconde) sont définies par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM).
Formule(s)
La relation fondamentale qui lie la constante de désintégration \(\lambda\) à la demi-vie \(t_{1/2}\) est :
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- La valeur de la demi-vie fournie (5,27 ans) est considérée comme exacte.
- La valeur de \(\ln(2)\) est approximée à 0,693.
Donnée(s)
La seule donnée nécessaire pour cette question est la demi-vie du Cobalt-60.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Demi-vie du Cobalt-60 | \(t_{1/2}\) | 5,27 | ans |
Astuces
Pour une estimation rapide, retenez qu'une année contient environ \(3,15 \times 10^7\) secondes. Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre conversion sans avoir à retaper tout le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Le processus de calcul peut être visualisé comme une chaîne de conversion et d'application de formule.
Calcul(s)
Conversion de la demi-vie en secondes
Calcul de la constante de désintégration \(\lambda\)
Schéma (Après les calculs)
Ce diagramme compare la demi-vie du Cobalt-60 à d'autres isotopes connus pour donner un ordre de grandeur. Une demi-vie plus longue (barre plus haute) correspond à une constante de désintégration \(\lambda\) plus faible (un processus plus lent).
Réflexions
Une valeur de \(\lambda\) très faible (\(\sim 4 \times 10^{-9}\) s⁻¹) signifie que pour un seul atome de \(^{60}\text{Co}\), la probabilité de se désintégrer dans la seconde qui vient est infime (environ 4 chances sur un milliard). C'est seulement parce qu'il y a des milliards de milliards d'atomes dans l'échantillon que l'on peut observer une activité mesurable.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de ne pas convertir la demi-vie dans la bonne unité de temps. L'énoncé demande \(\lambda\) en s\(^{-1}\), il est donc impératif de convertir la demi-vie, donnée en années, en secondes avant d'effectuer le calcul.
Points à retenir
- La formule clé : \(\lambda = \ln(2) / t_{1/2}\).
- L'importance cruciale de la cohérence des unités : si \(t_{1/2}\) est en secondes, \(\lambda\) sera en s\(^{-1}\).
Le saviez-vous ?
L'inverse de la constante de désintégration (\(1/\lambda\)) est appelé la "vie moyenne" (\(\tau\)). C'est le temps moyen qu'un atome radioactif "survivra" avant de se désintégrer. La vie moyenne est toujours plus longue que la demi-vie (\(\tau \approx 1.44 \times t_{1/2}\)).
FAQ
Vous vous posez peut-être des questions...
Résultat Final
A vous de jouer
Pour vérifier votre compréhension, calculez la constante de désintégration (en s\(^{-1}\)) de l'Iode-131, dont la demi-vie est de 8,02 jours.
Question 2 : Calculer le nombre initial d'atomes (\(N_0\)) de \(^{60}\text{Co}\).
Principe
Pour trouver le nombre d'atomes dans un échantillon, on utilise sa masse, sa masse molaire et le nombre d'Avogadro. Cette démarche permet de relier le monde macroscopique (grammes), que l'on peut peser, au monde microscopique (nombre d'atomes), qui est nécessaire pour les calculs de radioactivité.
Mini-Cours
La mole est l'unité de quantité de matière. Une mole de n'importe quelle substance contient toujours le même nombre d'entités élémentaires (atomes, molécules...) : ce nombre est le nombre d'Avogadro (\(N_A\)). La masse molaire (M) est la masse d'une mole de cette substance, exprimée en g/mol.
Remarque Pédagogique
Ne jamais confondre masse et nombre d'atomes. Un microgramme de Cobalt-60 (plus léger) et un microgramme d'Uranium-238 (plus lourd) n'ont pas du tout le même nombre d'atomes ! C'est la conversion via la masse molaire qui permet de faire le lien correctement.
Normes
Les définitions de la mole, du nombre d'Avogadro et les masses molaires des éléments sont standardisées par l'Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée (IUPAC).
Formule(s)
Le nombre d'atomes \(N\) est calculé en trouvant d'abord le nombre de moles \(n\) (\(n = m/M\)), puis en multipliant par le nombre d'atomes par mole (\(N_A\)).
Hypothèses
Nous supposons que :
- L'échantillon est isotopiquement pur, c'est-à-dire qu'il ne contient que des atomes de \(^{60}\text{Co}\).
- Les valeurs de la masse molaire et du nombre d'Avogadro sont exactes pour ce calcul.
Donnée(s)
Nous avons besoin de la masse de l'échantillon, de la masse molaire du \(^{60}\text{Co}\) et du nombre d'Avogadro.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de l'échantillon | \(m\) | 1,00 | \(\mu\text{g}\) |
| Masse molaire du \(^{60}\text{Co}\) | \(M\) | 59,93 | g/mol |
| Nombre d'Avogadro | \(N_A\) | \(6,022 \times 10^{23}\) | mol\(^{-1}\) |
Astuces
Assurez-vous que les unités de masse (\(m\) et \(M\)) sont cohérentes. Comme la masse molaire est en g/mol, il est plus simple de convertir la masse de l'échantillon en grammes avant de faire le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Le calcul suit une séquence logique, passant du monde macroscopique (masse) au monde microscopique (nombre d'atomes) via la mole.
Calcul(s)
Conversion de la masse en grammes
Calcul du nombre d'atomes \(N_0\)
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre l'équivalence entre la masse minuscule de l'échantillon et le nombre astronomique d'atomes qu'il contient.
Réflexions
Ce nombre, \(10^{16}\) (dix millions de milliards), est gigantesque. Il illustre à quel point les atomes sont petits et nombreux, même dans un échantillon de masse infime comme un microgramme. C'est cette immensité qui rend la radioactivité mesurable.
Points de vigilance
Deux erreurs classiques : 1) Oublier de convertir la masse de microgrammes en grammes, ce qui conduit à une erreur d'un facteur un million. 2) Utiliser le numéro atomique (27 pour le Co) au lieu de la masse molaire (59,93 g/mol).
Points à retenir
La formule de conversion masse $\leftrightarrow$ nombre d'atomes est un pilier de la chimie : \(N = (m/M) \times N_A\). Elle doit être maîtrisée parfaitement.
Le saviez-vous ?
Le nombre d'Avogadro est si grand que si vous aviez \(N_A\) grains de pop-corn, ils couvriraient la totalité de la surface des États-Unis sur une hauteur de plus de 14 kilomètres !
FAQ
Vous vous posez peut-être des questions...
Résultat Final
A vous de jouer
Combien d'atomes y a-t-il dans 5,00 µg de Carbone-14 (Masse molaire = 14,00 g/mol) ?
Question 3 : En déduire l'activité initiale (\(A_0\)) en Becquerels (Bq).
Principe
L'activité est le produit direct de la probabilité de désintégration par atome et par seconde (\(\lambda\)) et du nombre total d'atomes radioactifs (\(N_0\)). C'est la conséquence directe de la loi de la décroissance radioactive : la "vitesse" de la réaction est proportionnelle au nombre de "réactifs".
Mini-Cours
L'Activité (A) est définie comme le nombre de désintégrations par seconde. Son unité, le Becquerel (Bq), est l'unité du Système International et équivaut à 1 désintégration par seconde. C'est la mesure la plus directe de "l'intensité" d'une source radioactive à un instant t.
Remarque Pédagogique
Pensez à l'activité comme la "vitesse" de la réaction nucléaire. Elle dépend à la fois de la "volonté" intrinsèque de chaque atome de se désintégrer (\(\lambda\)) et du nombre de "candidats" à la désintégration (\(N\)). Même avec une faible probabilité \(\lambda\), un grand nombre \(N\) peut donner une activité élevée.
Normes
Le Becquerel (Bq) a été adopté comme unité SI pour l'activité en 1975, remplaçant l'ancienne unité non-SI, le Curie (Ci), pour une meilleure standardisation internationale.
Formule(s)
La formule de l'activité est l'une des plus importantes en radiochimie.
Hypothèses
Nous supposons que les valeurs de \(\lambda\) et \(N_0\) calculées précédemment sont exactes.
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats des deux questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Constante de désintégration | \(\lambda\) | \(4,17 \times 10^{-9}\) | s\(^{-1}\) |
| Nombre initial d'atomes | \(N_0\) | \(1,00 \times 10^{16}\) | atomes |
Astuces
Une analyse dimensionnelle rapide est votre meilleure amie : \(\lambda\) est en [temps]⁻¹ et \(N_0\) est un nombre [sans dimension]. Le produit \(A_0\) est donc bien en [temps]⁻¹, ce qui correspond à des désintégrations par seconde (Bq). Si vos unités ne correspondent pas, vous avez fait une erreur en amont.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre comment les deux grandeurs microscopiques (la probabilité de désintégration et le nombre d'atomes) se combinent pour produire une activité macroscopique mesurable.
Calcul(s)
Calcul de l'activité initiale \(A_0\)
Schéma (Après les calculs)
L'activité peut être représentée sur une échelle logarithmique pour comparer des sources très différentes.
Réflexions
41,7 millions de désintégrations par seconde ! C'est une activité considérable pour une si petite masse (1 µg). Cela explique pourquoi les sources radioactives, même de taille minuscule, doivent être manipulées avec d'extrêmes précautions et un blindage adéquat.
Points de vigilance
L'erreur principale ici serait d'utiliser des unités incohérentes. Si \(\lambda\) avait été laissé en an⁻¹, le résultat aurait été en "désintégrations par an", une unité non standard et incorrecte pour des Becquerels.
Points à retenir
La formule \(A = \lambda N\) est le cœur de la radioactivité. Elle relie la propriété microscopique d'un noyau (\(\lambda\)) à une grandeur macroscopique mesurable (\(A\)) via le nombre de noyaux (\(N\)).
Le saviez-vous ?
Henri Becquerel a découvert la radioactivité par accident en 1896. Il avait laissé des sels d'uranium sur une plaque photographique enveloppée de papier noir dans un tiroir. Il a constaté que la plaque avait été impressionnée, comme par la lumière, prouvant que l'uranium émettait un rayonnement invisible et pénétrant.
FAQ
Vous vous posez peut-être des questions...
Résultat Final
A vous de jouer
Avec \(\lambda = 1,0 \times 10^{-9}\) s⁻¹ et \(N_0 = 5,0 \times 10^{15}\) atomes, quelle est l'activité \(A_0\) en MégaBecquerels (MBq) ?
Question 4 : Convertir cette activité en désintégrations par minute (dpm).
Principe
Il s'agit d'une simple conversion d'unités de temps. Le Becquerel est l'unité du Système International (désintégrations par seconde), mais le "dpm" (désintégrations par minute) est une unité pratique encore utilisée dans certains contextes de laboratoire, notamment avec les compteurs à scintillation liquide.
Mini-Cours
Différentes unités d'activité existent pour des raisons historiques et pratiques. Le Becquerel (Bq) est l'unité SI. Le dpm est pratique car les comptages durent souvent une minute. Le Curie (Ci) est une unité historique très grande (\(1 \text{ Ci} = 3,7 \times 10^{10}\) Bq), aujourd'hui remplacée par le Bq mais encore parfois rencontrée.
Remarque Pédagogique
Attention à ne pas confondre "dpm" (désintégrations par minute) et "cpm" (coups par minute). Le dpm est l'activité réelle de l'échantillon. Le cpm est ce que l'appareil mesure. La relation est : cpm = dpm \(\times\) rendement du détecteur. Le rendement est toujours inférieur à 100%.
Normes
Bien que le Bq soit l'unité SI officielle, l'utilisation d'autres unités comme le dpm est tolérée dans des contextes spécifiques, à condition que la conversion vers l'unité SI soit claire.
Formule(s)
La conversion repose sur le fait qu'il y a 60 secondes dans une minute.
Hypothèses
Nous supposons que le facteur de conversion de 60 secondes par minute est un nombre exact.
Donnée(s)
Nous n'avons besoin que du résultat de la question précédente.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Activité initiale | \(A_0\) | \(4,17 \times 10^7\) | Bq |
Astuces
Pour passer de Bq à dpm, multipliez par 60. Pour passer de dpm à Bq, divisez par 60. C'est aussi simple que cela !
Schéma (Avant les calculs)
Le calcul est une conversion d'unité directe, illustrée ici par une horloge.
Calcul(s)
Conversion de l'activité en dpm
Schéma (Après les calculs)
Les deux valeurs représentent la même réalité physique, mais sur des échelles de temps différentes.
Réflexions
Le nombre en dpm (\(2.5 \times 10^9\)) est beaucoup plus grand et peut sembler plus impressionnant, mais il représente exactement la même activité physique que 41.7 MBq. Le choix de l'unité est une question de convention et de contexte. Pour des activités élevées, le Bq (avec des préfixes comme Méga- ou Giga-) est plus pratique.
Points de vigilance
L'erreur la plus évidente serait d'inverser le facteur de conversion : diviser par 60 au lieu de multiplier. Une analyse rapide ("il doit y avoir plus de désintégrations en une minute qu'en une seconde") permet d'éviter cette faute.
Points à retenir
La conversion entre les unités de temps est fondamentale en sciences. La relation à retenir est simple : 1 Bq = 60 dpm.
Le saviez-vous ?
Une autre unité historique de l'activité est le Curie (Ci), défini à l'origine comme l'activité d'un gramme de Radium-226. Un Curie correspond à \(3,7 \times 10^{10}\) Bq, une valeur beaucoup plus grande. L'activité de notre échantillon de 1 µg de \(^{60}\text{Co}\) est d'environ 1,1 millicuries (mCi).
FAQ
Vous vous posez peut-être des questions...
Résultat Final
A vous de jouer
Une source a une activité de \(3,0 \times 10^6\) dpm. Quelle est son activité en kiloBecquerels (kBq) ?
Outil Interactif : Simulateur de Décroissance
Utilisez les curseurs pour faire varier la masse initiale de l'échantillon de \(^{60}\text{Co}\) et le temps écoulé. Observez comment l'activité de l'échantillon diminue au fil du temps. Le graphique illustre la courbe de décroissance radioactive.
Paramètres d'Entrée
Résultats Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La demi-vie (ou période radioactive) représente :
2. Si l'activité d'un échantillon est de 120 dpm, quelle est son activité en Bq ?
3. L'activité d'un échantillon radioactif...
4. Un radioisotope A a une demi-vie de 10 jours. Un radioisotope B a une demi-vie de 10 ans. À nombre d'atomes égal, lequel est le plus actif ?
5. Que représente la constante de désintégration \(\lambda\) ?
Glossaire
- Activité (A)
- Nombre de désintégrations nucléaires spontanées se produisant dans une quantité de matière radioactive par unité de temps. Son unité SI est le Becquerel (Bq).
- Becquerel (Bq)
- Unité de mesure de l'activité radioactive dans le Système International. Un Becquerel correspond à une désintégration par seconde.
- Constante de désintégration (\(\lambda\))
- Probabilité, par unité de temps, qu'un noyau radioactif subisse une désintégration. Elle est exprimée en s⁻¹.
- Période radioactive / Demi-vie (\(t_{1/2}\))
- Temps nécessaire pour que l'activité d'un échantillon radioactif soit réduite de moitié, ou de manière équivalente, pour que la moitié des noyaux radioactifs de l'échantillon se désintègrent.
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