Etude de Chimie

Calcul du nombre de désintégrations par minute

Calcul du Nombre de Désintégrations par Minute en Chimie Nucléaire

Calcul du Nombre de Désintégrations par Minute

Comprendre la Décroissance Radioactive et l'Activité

La chimie nucléaire s'intéresse aux propriétés et transformations des noyaux atomiques. Les radionucléides, ou isotopes radioactifs, sont des noyaux instables qui se transforment spontanément en émettant des rayonnements (particules alpha, bêta, rayons gamma). Ce processus est appelé désintégration radioactive. L'activité (\(A\)) d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations qui se produisent par unité de temps. Elle est couramment exprimée en Becquerels (Bq), où \(1 \, \text{Bq} = 1\) désintégration par seconde (dps), ou en Curies (Ci). Souvent, pour des raisons pratiques, notamment avec des compteurs, on exprime l'activité en désintégrations par minute (dpm). La décroissance radioactive suit une loi exponentielle, caractérisée par la demi-vie (\(t_{1/2}\)) du radionucléide. Le calcul de l'activité résiduelle et sa conversion en dpm sont essentiels pour la radioprotection, la datation, et les applications médicales des radio-isotopes.

Données du Problème

Un échantillon d'Iode-131 (\(^{131}\text{I}\)), utilisé en médecine pour le traitement de troubles thyroïdiens, est préparé.

  • Activité initiale de \(^{131}\text{I}\) (\(A_0\)) : \(200 \, \text{MBq}\) (MégaBecquerels)
  • Demi-vie de \(^{131}\text{I}\) (\(t_{1/2}\)) : \(8.02 \, \text{jours}\)
  • Temps écoulé depuis la préparation (\(t\)) : \(24.06 \, \text{jours}\)

Conversions utiles :

  • \(1 \, \text{MBq} = 10^6 \, \text{Bq}\)
  • \(1 \, \text{Bq} = 1 \, \text{désintégration par seconde (dps)}\)
  • \(1 \, \text{minute} = 60 \, \text{secondes}\)
Schéma : Décroissance de l'Activité Radioactive
Temps Activité (A) A₀ A₀/2 t1/2 A₀/4 2t1/2 t A(t)

Décroissance exponentielle de l'activité d'un radionucléide en fonction du temps.

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de désintégration radioactive (\(\lambda\)) de l'Iode-131 en \(\text{jour}^{-1}\).
  2. Calculer l'activité résiduelle (\(A_t\)) de l'échantillon d'Iode-131 après \(24.06 \, \text{jours}\), en MBq.
  3. Convertir l'activité résiduelle (\(A_t\)) calculée en Becquerels (Bq).
  4. Calculer le nombre de désintégrations par seconde (dps) correspondant à cette activité résiduelle.
  5. Calculer le nombre de désintégrations par minute (dpm) correspondant à cette activité résiduelle.
  6. Combien de demi-vies se sont écoulées pendant ces \(24.06 \, \text{jours}\) ? Utiliser ce nombre pour recalculer l'activité résiduelle \(A_t\) en MBq et vérifier la cohérence avec le résultat de la question 2.

Correction : Calcul de l’Activité Résiduelle d’un Radionucléide

Question 1 : Constante de désintégration radioactive (\(\lambda\))

Principe :

La constante de désintégration (\(\lambda\)) est reliée à la demi-vie (\(t_{1/2}\)) par la formule \(\lambda = \ln(2) / t_{1/2}\).

Formule :
\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} \]

Où \(\ln(2) \approx 0.6931\).

Données spécifiques :
  • \(t_{1/2} = 8.02 \, \text{jours}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{0.6931}{8.02 \, \text{jours}} \\ &\approx 0.086421 \, \text{jour}^{-1} \end{aligned} \]

On arrondit à \(\lambda \approx 0.0864 \, \text{jour}^{-1}\).

Résultat Question 1 : La constante de désintégration est \(\lambda \approx 0.0864 \, \text{jour}^{-1}\).

Question 2 : Activité résiduelle (\(A_t\)) après \(24.06 \, \text{jours}\)

Principe :

L'activité résiduelle (\(A_t\)) est donnée par la loi de décroissance radioactive : \(A_t = A_0 e^{-\lambda t}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_t = A_0 e^{-\lambda t} \]
Données spécifiques :
  • \(A_0 = 200 \, \text{MBq}\)
  • \(\lambda \approx 0.086421 \, \text{jour}^{-1}\) (valeur non arrondie pour plus de précision)
  • \(t = 24.06 \, \text{jours}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda t &\approx 0.086421 \, \text{jour}^{-1} \times 24.06 \, \text{jours} \\ &\approx 2.0793 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_t &= 200 \, \text{MBq} \times e^{-2.0793} \\ &\approx 200 \, \text{MBq} \times 0.1250 \\ &\approx 25.00 \, \text{MBq} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'activité résiduelle après \(24.06 \, \text{jours}\) est d'environ \(25.0 \, \text{MBq}\).

Question 3 : Conversion de l'activité résiduelle en Becquerels (Bq)

Principe :

\(1 \, \text{MBq} = 10^6 \, \text{Bq}\).

Données spécifiques :
  • \(A_t \approx 25.0 \, \text{MBq}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_t (\text{Bq}) &= 25.0 \, \text{MBq} \times 10^6 \, \text{Bq/MBq} \\ &= 25.0 \times 10^6 \, \text{Bq} \\ &= 2.50 \times 10^7 \, \text{Bq} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'activité résiduelle est de \(2.50 \times 10^7 \, \text{Bq}\).

Question 4 : Nombre de désintégrations par seconde (dps)

Principe :

Par définition, \(1 \, \text{Bq} = 1 \, \text{dps}\).

Données spécifiques :
  • \(A_t (\text{Bq}) = 2.50 \times 10^7 \, \text{Bq}\)
Calcul :
\[ A_t (\text{dps}) = 2.50 \times 10^7 \, \text{dps} \]
Résultat Question 4 : Le nombre de désintégrations par seconde est de \(2.50 \times 10^7 \, \text{dps}\).

Question 5 : Nombre de désintégrations par minute (dpm)

Principe :

Il y a 60 secondes dans une minute, donc \(1 \, \text{dps} = 60 \, \text{dpm}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_t (\text{dpm}) = A_t (\text{dps}) \times 60 \, \text{s/min} \]
Données spécifiques :
  • \(A_t (\text{dps}) = 2.50 \times 10^7 \, \text{dps}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_t (\text{dpm}) &= (2.50 \times 10^7 \, \text{dps}) \times (60 \, \text{s/min}) \\ &= 150 \times 10^7 \, \text{dpm} \\ &= 1.50 \times 10^9 \, \text{dpm} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le nombre de désintégrations par minute est de \(1.50 \times 10^9 \, \text{dpm}\).

Question 6 : Nombre de demi-vies écoulées et vérification de \(A_t\)

Principe :

Le nombre de demi-vies (\(N\)) est \(t / t_{1/2}\). L'activité résiduelle est \(A_t = A_0 / 2^N\).

Données spécifiques :
  • \(t = 24.06 \, \text{jours}\)
  • \(t_{1/2} = 8.02 \, \text{jours}\)
  • \(A_0 = 200 \, \text{MBq}\)
Calcul :

Nombre de demi-vies (\(N\)) :

\[ N = \frac{24.06 \, \text{jours}}{8.02 \, \text{jours}} = 3.00 \]

Activité résiduelle (\(A_t\)) :

\[ \begin{aligned} A_t &= \frac{A_0}{2^N} \\ &= \frac{200 \, \text{MBq}}{2^3} \\ &= \frac{200 \, \text{MBq}}{8} \\ &= 25.0 \, \text{MBq} \end{aligned} \]

Ce résultat est cohérent avec celui obtenu à la question 2 (\(25.0 \, \text{MBq}\)).

Résultat Question 6 : \(3.0\) demi-vies se sont écoulées. L'activité résiduelle recalculée est de \(25.0 \, \text{MBq}\), ce qui confirme le calcul précédent.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'activité d'un radionucléide est mesurée en :

2. Si la demi-vie d'un isotope est de 10 jours, après 20 jours, la fraction de l'activité initiale restante sera :

3. La constante de désintégration (\(\lambda\)) est reliée à la demi-vie (\(t_{1/2}\)) par :

4. Une activité de 120 dpm (désintégrations par minute) équivaut à :

Glossaire

Radionucléide (Radio-isotope)
Atome dont le noyau est instable et qui se transforme spontanément (désintégration radioactive) en émettant des rayonnements.
Activité Radioactive (\(A\))
Nombre de désintégrations nucléaires par unité de temps au sein d'un échantillon radioactif. Unité SI : Becquerel (Bq).
Becquerel (Bq)
Unité d'activité radioactive équivalant à une désintégration par seconde (dps).
Curie (Ci)
Ancienne unité d'activité, \(1 \, \text{Ci} = 3.7 \times 10^{10} \, \text{Bq}\).
Désintégration par Minute (dpm)
Unité d'activité exprimant le nombre de désintégrations nucléaires se produisant en une minute.
Demi-vie (\(t_{1/2}\))
Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent, ou pour que l'activité de l'échantillon soit réduite de moitié.
Constante de Désintégration (\(\lambda\))
Probabilité par unité de temps qu'un noyau radioactif se désintègre. Elle est inversement proportionnelle à la demi-vie.
Loi de Décroissance Radioactive
Loi exponentielle décrivant la diminution de l'activité ou du nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps : \(A_t = A_0 e^{-\lambda t}\).
Iode-131 (\(^{131}\text{I}\))
Radio-isotope de l'iode utilisé en médecine nucléaire pour le diagnostic et le traitement des affections thyroïdiennes.
Cinétique de Premier Ordre
Type de cinétique où la vitesse de la réaction (ou de la désintégration) est directement proportionnelle à la concentration (ou à la quantité) d'un seul réactif (ou du radionucléide).
Calcul de l’Activité Résiduelle d’un Radionucléide - Exercice d'Application

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