Détente adiabatique réversible d’un gaz

On considère 2 moles d'un gaz parfait diatomique (par exemple, l'azote \( \mathrm{N_2} \)). Pour un gaz diatomique, on prendra :

\[ \gamma = \frac{C_p}{C_V} = 1,4. \]

L'état initial est défini par :

• Pression : \( P_1 = 2\,\mathrm{atm} \).
• Volume : \( V_1 = 5\,\mathrm{L} \).
• Température : \( T_1 = 300\,\mathrm{K} \).

Le gaz subit une détente adiabatique réversible jusqu'à atteindre un volume final :

\[ V_2 = 15\,\mathrm{L}. \]

Objectifs

1. Déterminer la température finale \( T_2 \).
2. Déterminer la pression finale \( P_2 \).
3. Calculer le travail \( W \) effectué par le gaz lors de la détente.

Conversions et relations utiles

• \( 1\,\mathrm{atm} = 101325\,\mathrm{Pa} \).
• \( 1\,\mathrm{L} = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m^3} \).

On utilisera l'équation adiabatique pour un gaz parfait :

\[ T\,V^{\gamma-1} = \text{constante} \quad \text{et} \quad P\,V^{\gamma} = \text{constante}. \]

1. Calcul de la température finale \(\,T_2\,\)

Pour une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait, le produit \(\,T \, V^{\gamma-1}\,\) reste constant. On utilise cette relation pour déterminer la température finale.

Formule :

\[ T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma -1} \]

Données :

Température initiale : \( T_1 = 300\ \mathrm{K} \).

Volume initial : \( V_1 = 5\ \mathrm{L} \).

Volume final : \( V_2 = 15\ \mathrm{L} \).

Exposant adiabatique : \( \gamma = 1,4 \) donc \( \gamma - 1 = 0,4 \).

Calcul :

1. Calcul du rapport des volumes :
\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0,3333 \]

2. Évaluation de la puissance :
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{0,4} = \exp\left(0,4 \times \ln\left(\frac{1}{3}\right)\right) \]
Sachant que \(\, \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln(3) \) et \(\, \ln(3) \approx 1,0986 \),
\[ 0,4 \times (-1,0986) \approx -0,43944 \quad \Rightarrow \quad \exp(-0,43944) \approx 0,644 \]

3. Multiplication par \( T_1 \) :
\[ T_2 = 300\ \mathrm{K} \times 0,644 \] \[ T_2 \approx 193,2\ \mathrm{K} \]

Résultat :
\( T_2 \approx 193\ \mathrm{K} \).

2. Calcul de la pression finale \(\,P_2\,\)

En transformation adiabatique réversible, le produit \(\,P \, V^{\gamma}\,\) est constant. On peut ainsi déterminer la pression finale à l'aide de la relation.

Formule :

\[ P_2 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma} \]

Données :

Pression initiale : \( P_1 = 2\ \mathrm{atm} \).

Volume initial : \( V_1 = 5\ \mathrm{L} \).

Volume final : \( V_2 = 15\ \mathrm{L} \).

Exposant adiabatique : \( \gamma = 1,4 \).

Calcul :

1. Calcul du rapport des volumes :
\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0,3333 \]

2. Évaluation de la puissance :
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{1,4} = \exp\left(1,4 \times \ln\left(\frac{1}{3}\right)\right) = \exp\left(1,4 \times (-\ln 3)\right) \]
Avec \(\, \ln(3) \approx 1,0986 \),
\[ 1,4 \times (-1,0986) \approx -1,53804 \quad \Rightarrow \quad \exp(-1,53804) \approx 0,215 \]

3. Multiplication par \( P_1 \) :
\[ P_2 = 2\ \mathrm{atm} \times 0,215 \] \[ P_2 \approx 0,43\ \mathrm{atm} \]

4. Conversion en unités SI (optionnelle) :
Sachant que \( 1\ \mathrm{atm} = 101325\ \mathrm{Pa} \),
\[ P_2 \approx 0,43 \times 101325 \] \[ P_2 \approx 43567\ \mathrm{Pa} \quad (\text{soit environ } 43,6\ \mathrm{kPa}) \]

Résultat :
\( P_2 \approx 0,43\ \mathrm{atm} \) ou environ \( 43,6\ \mathrm{kPa} \).

3. Calcul du travail \(\,W\,\) lors de la détente adiabatique

Pour une transformation adiabatique réversible, il n’y a pas d’échange de chaleur (\( Q = 0 \)). La première loi de la thermodynamique s'écrit :
\[ \Delta U = Q - W \quad \text{donc ici} \quad W = -\Delta U \]
L'énergie interne d’un gaz parfait varie selon :
\[ \Delta U = n \, C_V \, \Delta T \quad \text{où} \quad \Delta T = T_2 - T_1 \]
Pour un gaz diatomique (à température ambiante sans contribution vibrationnelle), on utilise généralement :
\[ C_V = \frac{5}{2}R \].

Formule :

\[ \Delta U = n \, C_V \, (T_2 - T_1) \quad \text{et} \quad W = -\Delta U \]

Données :

Nombre de moles : \( n = 2\ \mathrm{mol} \).

Constante des gaz parfaits : \( R = 8,314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} \).

Température initiale : \( T_1 = 300\ \mathrm{K} \).

Température finale : \( T_2 \approx 193,2\ \mathrm{K} \).

Capacité molaire à volume constant pour un gaz diatomique : \( C_V = \frac{5}{2}R \).

Calcul :

1. Calcul de la variation de température :
\[ \Delta T = T_2 - T_1 \] \[ \Delta T = 193,2\ \mathrm{K} - 300\ \mathrm{K} \] \[ \Delta T = -106,8\ \mathrm{K} \]

2. Calcul de la variation de l'énergie interne :
\[ \Delta U = n \, C_V \, \Delta T = 2 \times \frac{5}{2} R \times (-106,8\ \mathrm{K}) \]
Simplification :
\[ \frac{5}{2} \times 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad \Delta U = 5 \, R \times (-106,8\ \mathrm{K}) \]
En substituant \( R = 8,314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} \) :
\[ \Delta U = 5 \times 8,314 \times (-106,8) \] \[ \Delta U \approx -4440\ \mathrm{J} \]

3. Calcul du travail :
\[ W = -\Delta U = -(-4440\ \mathrm{J}) = 4440\ \mathrm{J} \]

Résultat :
\( W \approx 4440\ \mathrm{J} \) (travail effectué par le gaz sur l'environnement).

Conclusion

Température finale : \( T_2 \approx 193\ \mathrm{K} \).

Pression finale : \( P_2 \approx 0,43\ \mathrm{atm} \) ou environ \( 43,6\ \mathrm{kPa} \).

Travail réalisé lors de la détente adiabatique : \( W \approx 4440\ \mathrm{J} \).