Calcul de la variation d’entropie
Pour comprendre le Calcul de la variation d’entropie
On considère 1 mole d’un gaz parfait monatomique confiné dans un cylindre équipé d’un piston. Le gaz est initialement à 300 K dans un volume \(V_i = 10\,\mathrm{L}.\)
Une expansion isotherme réversible est réalisée jusqu’à atteindre un volume final
\(V_f = 30\,\mathrm{L}.\)
Les constantes et données sont :
- \( n = 1\,\mathrm{mol} \)
- \( T = 300\,\mathrm{K} \) (température constante)
- \( V_i = 10\,\mathrm{L} \)
- \( V_f = 30\,\mathrm{L} \)
- Constante des gaz parfaits : \( R = 8.314\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} \)
On vous demande de déterminer :
1. Le travail \( W \) effectué par le système.
2. La quantité de chaleur \( Q \) échangée.
3. La variation d’énergie interne \( \Delta U \).
4. La variation d’entropie \( \Delta S \) du gaz.
Correction : Calcul de la variation d’entropie
1. Calcul du travail \( W \)
Pour une transformation isotherme réversible d’un gaz parfait, le travail réalisé par le système lors de l’expansion est donné par l’intégrale de \( P\,dV \), qui se simplifie en une formule logarithmique.
Formule :
\[ W = n R T \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \]
Données :
- Nombre de moles : \( n = 1\,\mathrm{mol} \)
- Constante des gaz parfaits : \( R = 8,314\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} \)
- Température constante : \( T = 300\,\mathrm{K} \)
- Volume initial : \( V_i = 10\,\mathrm{L} \)
- Volume final : \( V_f = 30\,\mathrm{L} \)
Calcul :
- Calcul du rapport des volumes :
\[ \frac{V_f}{V_i} = \frac{30}{10} = 3 \]
- Évaluation du logarithme naturel :
\[ \ln(3) \approx 1,0986 \]
- Substitution dans la formule :
\[ W = 1 \times 8,314 \times 300 \times 1,0986 \] \[ W \approx 2740\,\mathrm{J} \]
2. Calcul de la chaleur échangée \( Q \)
En transformation isotherme d’un gaz parfait, la variation d’énergie interne est nulle. Ainsi, selon la première loi de la thermodynamique, la chaleur absorbée compense intégralement le travail fourni par le système.
Formule :
En choisissant la convention \( \Delta U = Q - W \) et avec \( \Delta U = 0 \), on a \[ Q = W \]
Données :
- Travail calculé précédemment : \( W \approx 2740\,\mathrm{J} \)
Calcul :
\[ Q = 2740\,\mathrm{J} \]
3. Calcul de la variation d’énergie interne \( \Delta U \)
Pour une transformation isotherme d’un gaz parfait, la température restant constante, la variation de l’énergie interne (dépendant uniquement de la température) est nulle.
Formule :
\[ \Delta U = n C_V \Delta T \]
Données :
- \( \Delta T = T_f - T_i = 300\,\mathrm{K} - 300\,\mathrm{K} = 0\,\mathrm{K} \)
Calcul :
\[ \Delta U = n C_V \times 0 = 0\,\mathrm{J} \]
4. Calcul de la variation d’entropie \( \Delta S \)
La variation d’entropie dans une transformation réversible est donnée par le rapport de la chaleur échangée sur la température constante.
Formule :
\[ \Delta S = \frac{Q}{T} \]
Données :
- Chaleur échangée : \( Q = 2740\,\mathrm{J} \)
- Température constante : \( T = 300\,\mathrm{K} \)
Calcul :
\[ \Delta S = \frac{2740\,\mathrm{J}}{300\,\mathrm{K}} \approx 9,13\,\mathrm{J\,K^{-1}} \]
Bilan Final
- Travail effectué par le système : \( W \approx 2740\,\mathrm{J} \)
- Chaleur échangée : \( Q \approx 2740\,\mathrm{J} \)
- Variation d’énergie interne : \( \Delta U = 0\,\mathrm{J} \)
- Variation d’entropie du système : \( \Delta S \approx 9,13\,\mathrm{J\,K^{-1}} \)
Calcul de la variation d’entropie
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