Détente adiabatique réversible d’un gaz

Principe :

Utiliser la loi des gaz parfaits \(P_1V_1 = nRT_1\) pour calculer \(T_1\). Il faut choisir la valeur de R cohérente avec les unités de P et V.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(P_1 = 5.00 \, \text{atm}\)
• \(V_1 = 10.0 \, \text{L}\)
• \(n = 1.00 \, \text{mol}\)
• \(R = 0.0821 \, \text{L} \cdot \text{atm} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Calcul :

Principe :

Le coefficient de Laplace \(\gamma\) (aussi appelé indice adiabatique) est le rapport des capacités thermiques molaires à pression constante (\(C_{p,m}\)) et à volume constant (\(C_{v,m}\)) : \(\gamma = \frac{C_{p,m}}{C_{v,m}}\). Pour un gaz parfait, \(C_{p,m} = C_{v,m} + R\).

Données spécifiques :

• \(C_{v,m} = \frac{5}{2}R\) (pour un gaz parfait diatomique)

Calcul de \(C_{p,m}\) :

Calcul de \(\gamma\) :

Principe :

Pour une détente adiabatique réversible d'un gaz parfait, la relation entre température et volume est donnée par la loi de Laplace : \(T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(T_1 \approx 609.01 \, \text{K}\) (de Q1)
• \(V_1 = 10.0 \, \text{L}\)
• \(V_2 = 25.0 \, \text{L}\)
• \(\gamma = 1.40\) (de Q2), donc \(\gamma-1 = 0.40\)

Calcul :

Principe :

On peut utiliser la loi des gaz parfaits \(P_2V_2 = nRT_2\) ou une autre forme de la loi de Laplace, par exemple \(P_1V_1^\gamma = P_2V_2^\gamma\).

Utilisation de la loi des gaz parfaits :

Données spécifiques :

• \(n = 1.00 \, \text{mol}\)
• \(R = 0.0821 \, \text{L} \cdot \text{atm} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
• \(T_2 \approx 424.23 \, \text{K}\) (de Q3)
• \(V_2 = 25.0 \, \text{L}\)

Calcul :

Principe :

Pour une détente adiabatique réversible d'un gaz parfait, le travail effectué par le gaz est donné par \(W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}\) ou, de manière équivalente, \(W = nC_{v,m}(T_2-T_1)\) car pour un processus adiabatique, \(\Delta U = W\). Puisque \(Q=0\), le travail est égal à la variation d'énergie interne.

Formule(s) utilisée(s) (utilisons la seconde forme) :

Données spécifiques :

• \(n = 1.00 \, \text{mol}\)
• \(C_{v,m} = \frac{5}{2}R = \frac{5}{2} \times 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \approx 20.785 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
• \(T_1 \approx 609.01 \, \text{K}\)
• \(T_2 \approx 424.23 \, \text{K}\)

Calcul :

Le signe négatif indique que le travail est effectué par le système (le gaz se détend).

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température : \(\Delta U = nC_{v,m}\Delta T\).

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Ce calcul est identique à celui du travail \(W\) à la question 5, car pour un processus adiabatique \(Q=0\) et donc \(\Delta U = W\).

Principe :

Le premier principe de la thermodynamique stipule que \(\Delta U = Q + W\), où \(\Delta U\) est la variation d'énergie interne, \(Q\) est la chaleur échangée avec l'extérieur, et \(W\) est le travail échangé avec l'extérieur.

Analyse :

Pour un processus adiabatique, par définition, il n'y a pas d'échange de chaleur avec l'extérieur, donc \(Q = 0\).

Le premier principe devient alors \(\Delta U = W\).

D'après nos calculs :

• \(W \approx -3841 \, \text{J}\) (de Q5)
• \(\Delta U \approx -3841 \, \text{J}\) (de Q6)

Nous constatons bien que \(\Delta U = W\), ce qui vérifie le premier principe pour cette transformation adiabatique.