Calcul du Nombre d’Atomes de Cuivre
Contexte : L'atome et la moleL'unité de mesure de la quantité de matière. Une mole contient environ 6.022 x 10²³ entités (atomes, molécules...). en chimie.
En chimie, il est fondamental de pouvoir faire le lien entre le monde que nous voyons (échelle macroscopique, mesurée en grammes) et le monde invisible des atomes (échelle microscopique). Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul pour déterminer combien d'atomes de cuivre, un métal courant dans les fils électriques et la plomberie, sont présents dans un petit échantillon.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler les concepts fondamentaux que sont la quantité de matière (mole), la masse molaire et le nombre d'Avogadro pour résoudre un problème concret et quantitatif.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et utiliser le concept de masse molaire.
- Maîtriser l'utilisation de la constante d'Avogadro.
- Savoir convertir une masse (en g) en une quantité de matière (en mol).
- Être capable de calculer le nombre d'atomes à partir d'une quantité de matière.
Données de l'étude
Fiche Technique de l'Échantillon
Schéma du cylindre de cuivre
| Donnée Fondamentale | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse Molaire du Cuivre | \( M(\text{Cu}) \) | 63.5 | g/mol |
| Constante d'Avogadro | \( N_A \) | \( 6.022 \times 10^{23} \) | mol⁻¹ |
Questions à traiter
- Calculer la quantité de matière (en moles) de cuivre présente dans le cylindre.
- En déduire le nombre total d'atomes de cuivre dans ce même cylindre.
- (Question inverse) Si un échantillon contenait \(1.50 \times 10^{23}\) atomes de cuivre, quelle serait sa masse en grammes ?
- (Application) Un cube de cuivre a une arête de 1.00 cm. Sachant que la masse volumiqueRapport de la masse d'un corps à son volume. Unité : g/cm³ ou kg/m³. du cuivre est de 8.96 g/cm³, déterminez le nombre d'atomes dans ce cube.
Les bases : La mole et le comptage des atomes
En chimie, manipuler des atomes un par un est impossible. On utilise donc un "paquet" pour les compter : la mole. C'est une unité qui représente une quantité gigantesque mais fixe d'entités (atomes, ions, molécules).
1. La Masse Molaire (\(M\))
C'est la masse d'une mole d'une substance. Pour un atome, c'est la masse d'une mole de cet atome. Elle est exprimée en grammes par mole (g/mol) et se trouve généralement dans le tableau périodique des éléments. C'est le lien direct entre la masse et la quantité de matière.
2. La Constante d'Avogadro (\(N_A\))
C'est le nombre d'entités contenues dans une mole. Sa valeur est immense : \( N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1} \). Elle sert de pont entre la quantité de matière (moles) et le nombre réel d'atomes ou de molécules.
Relations Fondamentales :
Pour passer de la masse (\(m\)) à la quantité de matière (\(n\)) :
\[ n = \frac{m}{M} \]
Pour passer de la quantité de matière (\(n\)) au nombre d'entités (\(N\)) :
\[ N = n \times N_A \]
Correction : Calcul du Nombre d’Atomes de Cuivre
Question 1 : Calculer la quantité de matière (en moles)
Principe
Pour trouver le nombre de moles, on doit faire le lien entre la masse de notre échantillon, que l'on peut peser, et la masse d'une mole de cuivre, une valeur fixe appelée masse molaire. En divisant la masse totale par la masse d'une seule mole, on obtient logiquement le nombre de moles.
Mini-Cours
La quantité de matière, notée 'n', est une grandeur fondamentale en chimie. Son unité est la mole (mol). Elle représente un nombre spécifique d'entités (ici, des atomes), défini par la constante d'Avogadro. La masse molaire atomique (\(M\)) est la clé pour passer du monde macroscopique (la masse en grammes) au monde microscopique (la quantité de matière en moles).
Remarque Pédagogique
La stratégie est toujours la même : identifier la grandeur que l'on a (ici, la masse) et celle que l'on cherche (la quantité de matière). Ensuite, on trouve la formule qui relie les deux. C'est une démarche systématique qui fonctionne pour de nombreux problèmes en sciences.
Normes
En chimie, les "normes" sont les conventions établies par l'Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée (UICPA, ou IUPAC en anglais). C'est cet organisme qui standardise les masses molaires des éléments et les valeurs des constantes fondamentales pour garantir que les calculs sont cohérents et reproductibles partout dans le monde.
Formule(s)
La formule clé qui relie la masse (\(m\)), la quantité de matière (\(n\)) et la masse molaire (\(M\)) est la suivante :
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- L'échantillon de cuivre est 100% pur.
- Les valeurs de la masse de l'échantillon et de la masse molaire sont exactes.
Donnée(s)
Nous reprenons les données de l'énoncé nécessaires pour cette question :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du cylindre | \(m\) | 5.00 | g |
| Masse Molaire du Cuivre | \(M(\text{Cu})\) | 63.5 | g/mol |
Astuces
Pour une estimation rapide : 5.00 est un peu moins que 1/10 de 63.5. On s'attend donc à un résultat un peu inférieur à 0.1 mol. Cela permet de vérifier rapidement si le résultat de la calculatrice est plausible.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le résultat de 0.0787 mol est une petite fraction de mole, ce qui est cohérent avec la faible masse de l'échantillon (5 grammes). Si nous avions eu 63.5 grammes de cuivre, nous aurions eu exactement 1 mole.
Points de vigilance
La principale source d'erreur dans ce type de calcul est la gestion des chiffres significatifs. L'énoncé donne une masse de 5.00 g (3 chiffres significatifs) et une masse molaire de 63.5 g/mol (3 chiffres significatifs). Le résultat final doit donc être présenté avec 3 chiffres significatifs.
Points à retenir
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : La quantité de matière (mole) se calcule en divisant la masse de l'échantillon par la masse molaire de l'espèce.
- Formule Essentielle : \( n = m/M \).
- Point de Vigilance Majeur : Cohérence des unités (grammes) et respect des chiffres significatifs.
Le saviez-vous ?
Le concept de mole a été introduit au début du 20ème siècle par le chimiste Wilhelm Ostwald. Le mot "mole" vient de l'allemand "Molekül" (molécule).
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour vérifier votre compréhension, calculez la quantité de matière dans un fil de cuivre de 15.0 g.
Question 2 : En déduire le nombre total d'atomes
Principe
Maintenant que nous savons combien de "paquets" (moles) nous avons, il suffit de multiplier ce nombre par le contenu de chaque paquet (la constante d'Avogadro, \(N_A\)) pour obtenir le nombre total d'atomes.
Mini-Cours
La constante d'Avogadro (\(N_A\)) est l'un des nombres les plus importants en chimie. Elle représente le facteur de conversion entre l'échelle molaire (quantité de matière) et l'échelle atomique (nombre d'entités). Sa définition est "le nombre d'atomes dans 12 grammes de carbone-12", ce qui correspond à environ \(6.022 \times 10^{23}\).
Remarque Pédagogique
Pensez à la constante d'Avogadro comme à une "douzaine" de chimiste. Si vous avez 2 douzaines d'œufs, vous avez 2 x 12 = 24 œufs. Si vous avez 0.0787 mole d'atomes, vous avez 0.0787 x \(N_A\) atomes.
Normes
La valeur de la constante d'Avogadro est fixée par le Comité de données pour la science et la technologie (CODATA) et est reconnue internationalement par l'UICPA.
Formule(s)
La relation entre le nombre d'entités (\(N\)), la quantité de matière (\(n\)) et la constante d'Avogadro (\(N_A\)) est :
Hypothèses
Nous supposons que la valeur de la constante d'Avogadro est une constante universelle et exacte pour ce calcul.
Donnée(s)
Nous utilisons le résultat de la question précédente et la constante d'Avogadro de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Quantité de matière | \(n\) | 0.0787 | mol |
| Constante d'Avogadro | \(N_A\) | \(6.022 \times 10^{23}\) | mol⁻¹ |
Astuces
Le résultat final sera un nombre extrêmement grand. C'est tout à fait normal lorsque l'on compte des atomes ! Assurez-vous de bien gérer la puissance de 10 (notation scientifique) dans votre calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le nombre \(4.74 \times 10^{22}\) est astronomique (quarante-sept mille quatre cent milliards de milliards d'atomes). Cela illustre à quel point les atomes sont petits et nombreux, même dans un objet de la taille d'une petite vis.
Points de vigilance
Attention à bien entrer la notation scientifique dans la calculatrice (en utilisant la touche EXP, EE, ou x10^x). Une erreur de saisie de la puissance de 10 est très fréquente.
Points à retenir
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : On convertit les moles en nombre d'atomes en multipliant par la constante d'Avogadro.
- Formule Essentielle : \( N = n \times N_A \).
- Point de Vigilance Majeur : Manipulation correcte des puissances de 10.
Le saviez-vous ?
Si l'on pouvait empiler \(6.022 \times 10^{23}\) (une mole) de feuilles de papier, la pile atteindrait la Lune et en reviendrait plus de 80 milliards de fois !
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Combien y a-t-il d'atomes dans 2.5 moles de cuivre ?
Question 3 : (Question inverse) Si un échantillon contenait \(1.50 \times 10^{23}\) atomes de cuivre, quelle serait sa masse ?
Principe
Cette fois, nous effectuons le chemin inverse. En partant du nombre d'atomes, nous utilisons la constante d'Avogadro pour trouver le nombre de "paquets" (moles). Ensuite, connaissant le nombre de moles, nous utilisons la masse molaire pour trouver la masse totale correspondante.
Mini-Cours
La maîtrise des conversions est essentielle en sciences. Être capable de réarranger les formules pour isoler la variable désirée est une compétence fondamentale. Ici, nous passons de l'échelle microscopique (nombre d'atomes) à l'échelle macroscopique (masse en grammes) en passant par l'intermédiaire de la mole.
Remarque Pédagogique
Visualisez le chemin : Atomes \(\xrightarrow{\div N_A}\) Moles \(\xrightarrow{\times M}\) Masse. Chaque flèche correspond à une étape de calcul. Décomposer le problème en étapes logiques le rend beaucoup plus facile à résoudre.
Normes
Les mêmes conventions de l'UICPA pour les constantes (\(N_A\)) et les masses molaires (\(M\)) s'appliquent ici.
Formule(s)
Étape 1 : Des atomes aux moles
Étape 2 : Des moles à la masse
Hypothèses
Nous supposons que l'échantillon est pur et que les constantes sont connues avec précision.
Donnée(s)
Les données nécessaires sont le nombre d'atomes fourni et les constantes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre d'atomes | \(N\) | \(1.50 \times 10^{23}\) | atomes |
| Constante d'Avogadro | \(N_A\) | \(6.022 \times 10^{23}\) | mol⁻¹ |
| Masse Molaire du Cuivre | \(M(\text{Cu})\) | 63.5 | g/mol |
Astuces
Estimation : \(1.50 \times 10^{23}\) est environ un quart de \(6.022 \times 10^{23}\). On s'attend donc à avoir environ 0.25 mole. La masse sera donc d'environ un quart de 63.5 g, soit environ 16 g.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la quantité de matière (n)
Étape 2 : Calcul de la masse (m)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le résultat de 15.8 g est tout à fait cohérent avec notre estimation rapide d'environ 16 g. Cela confirme que notre raisonnement et nos calculs sont corrects.
Points de vigilance
L'erreur classique ici est d'inverser les opérations : multiplier au lieu de diviser, et vice-versa. Gardez toujours en tête le sens de la conversion : un grand nombre d'atomes correspond à un plus petit nombre de moles, et un certain nombre de moles correspond à une masse plus grande (en valeur numérique).
Points à retenir
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Le calcul inverse est possible en réarrangeant les formules de base.
- Formules Essentielles : \( n = N/N_A \) et \( m = n \times M \).
- Point de Vigilance Majeur : Ne pas se tromper dans le sens des opérations (division puis multiplication).
Le saviez-vous ?
La détermination précise de la constante d'Avogadro a été un défi majeur de la physique du 20ème siècle. Une des méthodes les plus précises, le projet Avogadro, consiste à compter les atomes dans une sphère de silicium presque parfaite pesant exactement 1 kg.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la masse (en g) de \(3.011 \times 10^{23}\) atomes de cuivre ? (Indice : c'est une demi-mole !)
Question 4 : (Application) Calculer le nombre d'atomes dans un cube de 1.00 cm d'arête.
Principe
C'est un problème en plusieurs étapes qui combine géométrie et chimie. Il faut d'abord calculer le volume du cube, puis utiliser la masse volumique pour trouver sa masse. Une fois la masse connue, on revient au cheminement classique : masse \(\rightarrow\) moles \(\rightarrow\) atomes.
Mini-Cours
La masse volumique (notée \(\rho\)) est une propriété intrinsèque de la matière. Elle indique la masse contenue dans un certain volume. C'est le pont entre les propriétés géométriques d'un objet (son volume) et sa masse. Chaque matériau pur a une masse volumique caractéristique dans des conditions données.
Remarque Pédagogique
Face à un problème à plusieurs étapes, il ne faut pas paniquer. On le décompose en une série de sous-problèmes plus simples que l'on sait résoudre. Ici : 1. Calculer un volume. 2. Utiliser la masse volumique. 3. Appliquer les formules de chimie. La clé est l'organisation.
Normes
Les masses volumiques des matériaux sont des données standardisées, que l'on trouve dans des manuels de référence en physique et en chimie (comme le "CRC Handbook of Chemistry and Physics").
Formule(s)
Formule du volume d'un cube
Formule de la masse volumique
Formules de conversion en chimie
Donnée(s)
Liste des données pour ce problème :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Arête du cube | \(a\) | 1.00 | cm |
| Masse Volumique du Cuivre | \(\rho\) | 8.96 | g/cm³ |
| Masse Molaire du Cuivre | \(M(\text{Cu})\) | 63.5 | g/mol |
| Constante d'Avogadro | \(N_A\) | \(6.022 \times 10^{23}\) | mol⁻¹ |
Astuces
Les unités sont nos amies ! Vérifiez à chaque étape que les unités s'annulent correctement. Par exemple, pour la masse : \( \text{g/cm}^3 \times \text{cm}^3 = \text{g} \). Si les unités ne correspondent pas, c'est le signe d'une erreur dans la formule.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du volume du cube
Étape 2 : Calcul de la masse du cube
Étape 3 : Calcul de la quantité de matière
Étape 4 : Calcul du nombre d'atomes
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Il est intéressant de noter qu'un petit cube de 1 cm³, que l'on peut facilement tenir dans la main, contient presque \(10^{23}\) atomes. Cela donne une idée de l'échelle incroyablement petite du monde atomique.
Points de vigilance
Le piège principal ici serait une erreur d'unité. Si l'arête était donnée en mètres et la masse volumique en g/cm³, il faudrait effectuer une conversion soigneuse avant de calculer la masse. Heureusement, ici les unités étaient déjà cohérentes.
Points à retenir
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : On peut relier les dimensions d'un objet à son nombre d'atomes via la masse volumique.
- Enchaînement Logique : Volume \(\rightarrow\) Masse \(\rightarrow\) Moles \(\rightarrow\) Atomes.
- Point de Vigilance Majeur : Toujours vérifier la cohérence des unités (cm et cm³, etc.).
Le saviez-vous ?
Le cuivre est l'un des rares métaux (avec l'or) à ne pas être de couleur grise ou argentée à l'état pur. Sa couleur rougeâtre est due à sa structure de bande électronique, qui lui fait absorber les lumières bleue et verte et réfléchir le rouge et l'orange.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la masse d'un cube de cuivre de 2.00 cm d'arête ? (\(V = a^3\), \(\rho = 8.96\) g/cm³)
Outil Interactif : Simulateur Cuivre
Utilisez le curseur ci-dessous pour faire varier la masse de l'échantillon de cuivre et observez en temps réel comment la quantité de matière (moles) et le nombre d'atomes évoluent. Le graphique illustre la relation linéaire entre la masse et le nombre d'atomes.
Paramètres d'Entrée
Résultats Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La masse molaire (M) d'un élément représente :
2. Quelle est l'unité de la constante d'Avogadro (\(N_A\)) ?
3. Si vous doublez la masse d'un échantillon de cuivre pur, la quantité de matière (nombre de moles) :
4. Pour trouver le nombre d'atomes dans un objet de forme connue (ex: un cube), quelle information est essentielle en plus de ses dimensions ?
- Mole
- L'unité de mesure de la quantité de matière dans le Système International. Une mole correspond à la quantité de matière d'un système contenant exactement \(6.02214076 \times 10^{23}\) entités élémentaires (atomes, molécules, etc.).
- Masse Molaire
- La masse d'une mole d'une substance donnée. Elle est exprimée en grammes par mole (g/mol) et permet de convertir la masse d'un échantillon en quantité de matière.
- Constante d'Avogadro (\(N_A\))
- Le nombre d'entités (généralement des atomes ou des molécules) par mole. Sa valeur est d'environ \(6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}\).
- Masse Volumique (\(\rho\))
- Le rapport de la masse d'un corps par son volume. C'est une propriété caractéristique d'une substance, souvent exprimée en g/cm³ ou kg/m³.
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