Calcul du nombre d'atomes de cuivre

Contexte : L'atome et la moleL'unité de mesure de la quantité de matière. Une mole contient environ 6.022 x 10²³ entités (atomes, molécules...). en chimie.

En chimie, il est fondamental de pouvoir faire le lien entre le monde que nous voyons (échelle macroscopique, mesurée en grammes) et le monde invisible des atomes (échelle microscopique). Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul pour déterminer combien d'atomes de cuivre, un métal courant dans les fils électriques et la plomberie, sont présents dans un petit échantillon.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler les concepts fondamentaux que sont la quantité de matière (mole), la masse molaire et le nombre d'Avogadro pour résoudre un problème concret et quantitatif.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et utiliser le concept de masse molaire.
Maîtriser l'utilisation de la constante d'Avogadro.
Savoir convertir une masse (en g) en une quantité de matière (en mol).
Être capable de calculer le nombre d'atomes à partir d'une quantité de matière.

Données de l'étude

On dispose d'un petit cylindre de cuivre (Cu) considéré comme pur. L'objectif est de déterminer le nombre exact d'atomes de cuivre qui le composent.

Fiche Technique de l'Échantillon

Schéma du cylindre de cuivre

Donnée Fondamentale	Symbole	Valeur	Unité
Masse Molaire du Cuivre	\( M(\text{Cu}) \)	63.5	g/mol
Constante d'Avogadro	\( N_A \)	\( 6.022 \times 10^{23} \)	mol⁻¹

Questions à traiter

Calculer la quantité de matière (en moles) de cuivre présente dans le cylindre.
En déduire le nombre total d'atomes de cuivre dans ce même cylindre.
(Question inverse) Si un échantillon contenait \(1.50 \times 10^{23}\) atomes de cuivre, quelle serait sa masse en grammes ?
(Application) Un cube de cuivre a une arête de 1.00 cm. Sachant que la masse volumiqueRapport de la masse d'un corps à son volume. Unité : g/cm³ ou kg/m³. du cuivre est de 8.96 g/cm³, déterminez le nombre d'atomes dans ce cube.

Les bases : La mole et le comptage des atomes

En chimie, manipuler des atomes un par un est impossible. On utilise donc un "paquet" pour les compter : la mole. C'est une unité qui représente une quantité gigantesque mais fixe d'entités (atomes, ions, molécules).

1. La Masse Molaire (\(M\))
C'est la masse d'une mole d'une substance. Pour un atome, c'est la masse d'une mole de cet atome. Elle est exprimée en grammes par mole (g/mol) et se trouve généralement dans le tableau périodique des éléments. C'est le lien direct entre la masse et la quantité de matière.

2. La Constante d'Avogadro (\(N_A\))
C'est le nombre d'entités contenues dans une mole. Sa valeur est immense : \( N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1} \). Elle sert de pont entre la quantité de matière (moles) et le nombre réel d'atomes ou de molécules.

Relations Fondamentales :
Pour passer de la masse (\(m\)) à la quantité de matière (\(n\)) : \[ n = \frac{m}{M} \] Pour passer de la quantité de matière (\(n\)) au nombre d'entités (\(N\)) : \[ N = n \times N_A \]

Correction : Calcul du Nombre d’Atomes de Cuivre

Question 1 : Calculer la quantité de matière (en moles)

Principe

Pour trouver le nombre de moles, on doit faire le lien entre la masse de notre échantillon, que l'on peut peser, et la masse d'une mole de cuivre, une valeur fixe appelée masse molaire. En divisant la masse totale par la masse d'une seule mole, on obtient logiquement le nombre de moles.

Mini-Cours

La quantité de matière, notée 'n', est une grandeur fondamentale en chimie. Son unité est la mole (mol). Elle représente un nombre spécifique d'entités (ici, des atomes), défini par la constante d'Avogadro. La masse molaire atomique (\(M\)) est la clé pour passer du monde macroscopique (la masse en grammes) au monde microscopique (la quantité de matière en moles).

Remarque Pédagogique

La stratégie est toujours la même : identifier la grandeur que l'on a (ici, la masse) et celle que l'on cherche (la quantité de matière). Ensuite, on trouve la formule qui relie les deux. C'est une démarche systématique qui fonctionne pour de nombreux problèmes en sciences.

Normes

En chimie, les "normes" sont les conventions établies par l'Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée (UICPA, ou IUPAC en anglais). C'est cet organisme qui standardise les masses molaires des éléments et les valeurs des constantes fondamentales pour garantir que les calculs sont cohérents et reproductibles partout dans le monde.

Formule(s)

La formule clé qui relie la masse (\(m\)), la quantité de matière (\(n\)) et la masse molaire (\(M\)) est la suivante :

n = \frac{m}{M}

Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

L'échantillon de cuivre est 100% pur.
Les valeurs de la masse de l'échantillon et de la masse molaire sont exactes.

Donnée(s)

Nous reprenons les données de l'énoncé nécessaires pour cette question :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse du cylindre	\(m\)	5.00	g
Masse Molaire du Cuivre	\(M(\text{Cu})\)	63.5	g/mol

Astuces

Pour une estimation rapide : 5.00 est un peu moins que 1/10 de 63.5. On s'attend donc à un résultat un peu inférieur à 0.1 mol. Cela permet de vérifier rapidement si le résultat de la calculatrice est plausible.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Application de la formule

\begin{aligned} n &= \frac{m}{M} \\ &= \frac{5.00 \text{ g}}{63.5 \text{ g/mol}} \\ &\approx 0.07874 \text{ mol} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le résultat de 0.0787 mol est une petite fraction de mole, ce qui est cohérent avec la faible masse de l'échantillon (5 grammes). Si nous avions eu 63.5 grammes de cuivre, nous aurions eu exactement 1 mole.

Points de vigilance

La principale source d'erreur dans ce type de calcul est la gestion des chiffres significatifs. L'énoncé donne une masse de 5.00 g (3 chiffres significatifs) et une masse molaire de 63.5 g/mol (3 chiffres significatifs). Le résultat final doit donc être présenté avec 3 chiffres significatifs.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : La quantité de matière (mole) se calcule en divisant la masse de l'échantillon par la masse molaire de l'espèce.
Formule Essentielle : \( n = m/M \).
Point de Vigilance Majeur : Cohérence des unités (grammes) et respect des chiffres significatifs.

Le saviez-vous ?

Le concept de mole a été introduit au début du 20ème siècle par le chimiste Wilhelm Ostwald. Le mot "mole" vient de l'allemand "Molekül" (molécule).

FAQ

Voici quelques questions fréquentes.

Résultat Final

La quantité de matière en cuivre dans le cylindre, en respectant les chiffres significatifs, est de 0.0787 mol.

A vous de jouer

Pour vérifier votre compréhension, calculez la quantité de matière dans un fil de cuivre de 15.0 g.

Question 2 : En déduire le nombre total d'atomes

Principe

Maintenant que nous savons combien de "paquets" (moles) nous avons, il suffit de multiplier ce nombre par le contenu de chaque paquet (la constante d'Avogadro, \(N_A\)) pour obtenir le nombre total d'atomes.

Mini-Cours

La constante d'Avogadro (\(N_A\)) est l'un des nombres les plus importants en chimie. Elle représente le facteur de conversion entre l'échelle molaire (quantité de matière) et l'échelle atomique (nombre d'entités). Sa définition est "le nombre d'atomes dans 12 grammes de carbone-12", ce qui correspond à environ \(6.022 \times 10^{23}\).

Remarque Pédagogique

Pensez à la constante d'Avogadro comme à une "douzaine" de chimiste. Si vous avez 2 douzaines d'œufs, vous avez 2 x 12 = 24 œufs. Si vous avez 0.0787 mole d'atomes, vous avez 0.0787 x \(N_A\) atomes.

Normes

La valeur de la constante d'Avogadro est fixée par le Comité de données pour la science et la technologie (CODATA) et est reconnue internationalement par l'UICPA.

Formule(s)

La relation entre le nombre d'entités (\(N\)), la quantité de matière (\(n\)) et la constante d'Avogadro (\(N_A\)) est :

N = n \times N_A

Hypothèses

Nous supposons que la valeur de la constante d'Avogadro est une constante universelle et exacte pour ce calcul.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la question précédente et la constante d'Avogadro de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	\(n\)	0.0787	mol
Constante d'Avogadro	\(N_A\)	\(6.022 \times 10^{23}\)	mol⁻¹

Astuces

Le résultat final sera un nombre extrêmement grand. C'est tout à fait normal lorsque l'on compte des atomes ! Assurez-vous de bien gérer la puissance de 10 (notation scientifique) dans votre calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Application de la formule

\begin{aligned} N &= n \times N_A \\ &= 0.0787 \text{ mol} \times (6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}) \\ &\approx 4.74 \times 10^{22} \text{ atomes} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le nombre \(4.74 \times 10^{22}\) est astronomique (quarante-sept mille quatre cent milliards de milliards d'atomes). Cela illustre à quel point les atomes sont petits et nombreux, même dans un objet de la taille d'une petite vis.

Points de vigilance

Attention à bien entrer la notation scientifique dans la calculatrice (en utilisant la touche EXP, EE, ou x10^x). Une erreur de saisie de la puissance de 10 est très fréquente.

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : On convertit les moles en nombre d'atomes en multipliant par la constante d'Avogadro.
Formule Essentielle : \( N = n \times N_A \).
Point de Vigilance Majeur : Manipulation correcte des puissances de 10.

Le saviez-vous ?

Si l'on pouvait empiler \(6.022 \times 10^{23}\) (une mole) de feuilles de papier, la pile atteindrait la Lune et en reviendrait plus de 80 milliards de fois !

FAQ

Voici quelques questions fréquentes.

Résultat Final

Le cylindre de cuivre de 5.00 g contient environ \(4.74 \times 10^{22} \text{ atomes}\).

A vous de jouer

Combien y a-t-il d'atomes dans 2.5 moles de cuivre ?

Question 3 : (Question inverse) Si un échantillon contenait \(1.50 \times 10^{23}\) atomes de cuivre, quelle serait sa masse ?

Principe

Cette fois, nous effectuons le chemin inverse. En partant du nombre d'atomes, nous utilisons la constante d'Avogadro pour trouver le nombre de "paquets" (moles). Ensuite, connaissant le nombre de moles, nous utilisons la masse molaire pour trouver la masse totale correspondante.

Mini-Cours

La maîtrise des conversions est essentielle en sciences. Être capable de réarranger les formules pour isoler la variable désirée est une compétence fondamentale. Ici, nous passons de l'échelle microscopique (nombre d'atomes) à l'échelle macroscopique (masse en grammes) en passant par l'intermédiaire de la mole.

Remarque Pédagogique

Visualisez le chemin : Atomes \(\xrightarrow{\div N_A}\) Moles \(\xrightarrow{\times M}\) Masse. Chaque flèche correspond à une étape de calcul. Décomposer le problème en étapes logiques le rend beaucoup plus facile à résoudre.

Normes

Les mêmes conventions de l'UICPA pour les constantes (\(N_A\)) et les masses molaires (\(M\)) s'appliquent ici.

Formule(s)

Étape 1 : Des atomes aux moles

n = \frac{N}{N_A}

Étape 2 : Des moles à la masse

m = n \times M

Hypothèses

Nous supposons que l'échantillon est pur et que les constantes sont connues avec précision.

Donnée(s)

Les données nécessaires sont le nombre d'atomes fourni et les constantes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre d'atomes	\(N\)	\(1.50 \times 10^{23}\)	atomes
Constante d'Avogadro	\(N_A\)	\(6.022 \times 10^{23}\)	mol⁻¹
Masse Molaire du Cuivre	\(M(\text{Cu})\)	63.5	g/mol

Astuces

Estimation : \(1.50 \times 10^{23}\) est environ un quart de \(6.022 \times 10^{23}\). On s'attend donc à avoir environ 0.25 mole. La masse sera donc d'environ un quart de 63.5 g, soit environ 16 g.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la quantité de matière (n)

\begin{aligned} n &= \frac{1.50 \times 10^{23}}{6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}} \\ &\approx 0.249 \text{ mol} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la masse (m)

\begin{aligned} m &= 0.249 \text{ mol} \times 63.5 \text{ g/mol} \\ &\approx 15.8 \text{ g} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le résultat de 15.8 g est tout à fait cohérent avec notre estimation rapide d'environ 16 g. Cela confirme que notre raisonnement et nos calculs sont corrects.

Points de vigilance

L'erreur classique ici est d'inverser les opérations : multiplier au lieu de diviser, et vice-versa. Gardez toujours en tête le sens de la conversion : un grand nombre d'atomes correspond à un plus petit nombre de moles, et un certain nombre de moles correspond à une masse plus grande (en valeur numérique).

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Le calcul inverse est possible en réarrangeant les formules de base.
Formules Essentielles : \( n = N/N_A \) et \( m = n \times M \).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas se tromper dans le sens des opérations (division puis multiplication).

Le saviez-vous ?

La détermination précise de la constante d'Avogadro a été un défi majeur de la physique du 20ème siècle. Une des méthodes les plus précises, le projet Avogadro, consiste à compter les atomes dans une sphère de silicium presque parfaite pesant exactement 1 kg.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes.

Résultat Final

Un échantillon contenant \(1.50 \times 10^{23}\) atomes de cuivre a une masse d'environ 15.8 g.

A vous de jouer

Quelle est la masse (en g) de \(3.011 \times 10^{23}\) atomes de cuivre ? (Indice : c'est une demi-mole !)

Question 4 : (Application) Calculer le nombre d'atomes dans un cube de 1.00 cm d'arête.

Principe

C'est un problème en plusieurs étapes qui combine géométrie et chimie. Il faut d'abord calculer le volume du cube, puis utiliser la masse volumique pour trouver sa masse. Une fois la masse connue, on revient au cheminement classique : masse \(\rightarrow\) moles \(\rightarrow\) atomes.

Mini-Cours

La masse volumique (notée \(\rho\)) est une propriété intrinsèque de la matière. Elle indique la masse contenue dans un certain volume. C'est le pont entre les propriétés géométriques d'un objet (son volume) et sa masse. Chaque matériau pur a une masse volumique caractéristique dans des conditions données.

Remarque Pédagogique

Face à un problème à plusieurs étapes, il ne faut pas paniquer. On le décompose en une série de sous-problèmes plus simples que l'on sait résoudre. Ici : 1. Calculer un volume. 2. Utiliser la masse volumique. 3. Appliquer les formules de chimie. La clé est l'organisation.

Normes

Les masses volumiques des matériaux sont des données standardisées, que l'on trouve dans des manuels de référence en physique et en chimie (comme le "CRC Handbook of Chemistry and Physics").

Formule(s)

Formule du volume d'un cube

V_{\text{cube}} = a^3

Formule de la masse volumique

m = \rho \times V

Formules de conversion en chimie

n = \frac{m}{M}

N = n \times N_A

Donnée(s)

Liste des données pour ce problème :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Arête du cube	\(a\)	1.00	cm
Masse Volumique du Cuivre	\(\rho\)	8.96	g/cm³
Masse Molaire du Cuivre	\(M(\text{Cu})\)	63.5	g/mol
Constante d'Avogadro	\(N_A\)	\(6.022 \times 10^{23}\)	mol⁻¹

Astuces

Les unités sont nos amies ! Vérifiez à chaque étape que les unités s'annulent correctement. Par exemple, pour la masse : \( \text{g/cm}^3 \times \text{cm}^3 = \text{g} \). Si les unités ne correspondent pas, c'est le signe d'une erreur dans la formule.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du volume du cube

\begin{aligned} V &= (1.00 \text{ cm})^3 \\ &= 1.00 \text{ cm}^3 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la masse du cube

\begin{aligned} m &= 8.96 \text{ g/cm}^3 \times 1.00 \text{ cm}^3 \\ &= 8.96 \text{ g} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de la quantité de matière

\begin{aligned} n &= \frac{8.96 \text{ g}}{63.5 \text{ g/mol}} \\ &\approx 0.141 \text{ mol} \end{aligned}

Étape 4 : Calcul du nombre d'atomes

\begin{aligned} N &= 0.141 \text{ mol} \times (6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}) \\ &\approx 8.49 \times 10^{22} \text{ atomes} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Il est intéressant de noter qu'un petit cube de 1 cm³, que l'on peut facilement tenir dans la main, contient presque \(10^{23}\) atomes. Cela donne une idée de l'échelle incroyablement petite du monde atomique.

Points de vigilance

Le piège principal ici serait une erreur d'unité. Si l'arête était donnée en mètres et la masse volumique en g/cm³, il faudrait effectuer une conversion soigneuse avant de calculer la masse. Heureusement, ici les unités étaient déjà cohérentes.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : On peut relier les dimensions d'un objet à son nombre d'atomes via la masse volumique.
Enchaînement Logique : Volume \(\rightarrow\) Masse \(\rightarrow\) Moles \(\rightarrow\) Atomes.
Point de Vigilance Majeur : Toujours vérifier la cohérence des unités (cm et cm³, etc.).

Le saviez-vous ?

Le cuivre est l'un des rares métaux (avec l'or) à ne pas être de couleur grise ou argentée à l'état pur. Sa couleur rougeâtre est due à sa structure de bande électronique, qui lui fait absorber les lumières bleue et verte et réfléchir le rouge et l'orange.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes.

Résultat Final

Le cube de cuivre de 1.00 cm d'arête contient environ \(8.49 \times 10^{22} \text{ atomes}\).

A vous de jouer

Quelle est la masse d'un cube de cuivre de 2.00 cm d'arête ? (\(V = a^3\), \(\rho = 8.96\) g/cm³)

Outil Interactif : Simulateur Cuivre

Utilisez le curseur ci-dessous pour faire varier la masse de l'échantillon de cuivre et observez en temps réel comment la quantité de matière (moles) et le nombre d'atomes évoluent. Le graphique illustre la relation linéaire entre la masse et le nombre d'atomes.

Paramètres d'Entrée

Masse de Cuivre (g) 5.0 g

Résultats Calculés

Quantité de matière (mol) -

Nombre d'atomes -

Mole: L'unité de mesure de la quantité de matière dans le Système International. Une mole correspond à la quantité de matière d'un système contenant exactement \(6.02214076 \times 10^{23}\) entités élémentaires (atomes, molécules, etc.).
Masse Molaire: La masse d'une mole d'une substance donnée. Elle est exprimée en grammes par mole (g/mol) et permet de convertir la masse d'un échantillon en quantité de matière.
Constante d'Avogadro (\(N_A\)): Le nombre d'entités (généralement des atomes ou des molécules) par mole. Sa valeur est d'environ \(6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}\).
Masse Volumique (\(\rho\)): Le rapport de la masse d'un corps par son volume. C'est une propriété caractéristique d'une substance, souvent exprimée en g/cm³ ou kg/m³.

Calcul du nombre d’atomes de cuivre

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique de l'Échantillon

Schéma du cylindre de cuivre

Questions à traiter

Les bases : La mole et le comptage des atomes

Correction : Calcul du Nombre d’Atomes de Cuivre

Question 1 : Calculer la quantité de matière (en moles)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : En déduire le nombre total d'atomes

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : (Question inverse) Si un échantillon contenait \(1.50 \times 10^{23}\) atomes de cuivre, quelle serait sa masse ?

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : (Application) Calculer le nombre d'atomes dans un cube de 1.00 cm d'arête.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?