Etude de Chimie

Analyse des Niveaux Énergétiques d’un Électron

Analyse des Niveaux Énergétiques d’un Électron

Analyse des Niveaux Énergétiques d’un Électron

Comprendre les Niveaux Énergétiques de l'Atome d'Hydrogène

Le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, bien que simplifié par rapport à la mécanique quantique moderne, a été une étape cruciale dans la compréhension de la structure atomique. Il postule que les électrons orbitent autour du noyau sur des orbites circulaires spécifiques, chacune correspondant à un niveau d'énergie quantifié. Un électron ne peut exister qu'à ces niveaux d'énergie discrets et ne rayonne pas d'énergie tant qu'il reste sur une orbite permise. Les transitions électroniques entre ces niveaux se font par absorption ou émission d'un photon dont l'énergie correspond exactement à la différence d'énergie entre les deux niveaux. L'énergie d'un électron dans l'atome d'hydrogène est donnée par la formule de Bohr : \(E_n = - \frac{E_0}{n^2}\), où \(E_0\) est l'énergie d'ionisation de l'hydrogène (\(13.6 \, \text{eV}\)) et \(n\) est le nombre quantique principal (\(n = 1, 2, 3, \dots\)).

Données de l'étude

On considère un atome d'hydrogène.

Constantes et informations :

  • Énergie d'ionisation de l'hydrogène à l'état fondamental (\(E_0\)) : \(13.6 \, \text{eV}\)
  • Nombre quantique principal : \(n\) (entier positif)
  • Formule de l'énergie des niveaux : \(E_n = - \frac{E_0}{n^2}\)
  • Constante de Planck (\(h\)) : \(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Conversion d'énergie : \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)
Schéma : Modèle de Bohr et Niveaux d'Énergie de l'Hydrogène
{/* Noyau */} p+ {/* Orbites/Niveaux d'énergie */} n=1 n=2 n=3 {/* Électron sur n=1 */} e⁻ {/* Flèche de transition (exemple émission n=3 -> n=1) */} Photon émis Niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène

Représentation simplifiée des niveaux d'énergie et d'une transition électronique.

Questions à traiter

  1. Calculer l'énergie (en eV) de l'électron de l'atome d'hydrogène à l'état fondamental (\(n=1\)).
  2. Calculer l'énergie (en eV) de l'électron de l'atome d'hydrogène au premier état excité (\(n=2\)).
  3. Calculer l'énergie (en eV) de l'électron de l'atome d'hydrogène au deuxième état excité (\(n=3\)).
  4. Quelle est l'énergie (en eV) requise pour ioniser complètement un atome d'hydrogène qui se trouve initialement à son état fondamental ? Expliquer.
  5. Un électron dans un atome d'hydrogène effectue une transition du niveau \(n=3\) au niveau \(n=1\).
    1. L'électron absorbe-t-il ou émet-il de l'énergie lors de cette transition ? Justifier.
    2. Calculer l'énergie (en eV et en Joules) du photon associé à cette transition.
    3. Calculer la longueur d'onde (en nanomètres) de ce photon. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situe cette longueur d'onde ?

Correction : Analyse des Niveaux Énergétiques d’un Électron

Question 1 : Énergie à l'État Fondamental (\(n=1\))

Principe :

L'état fondamental correspond au niveau d'énergie le plus bas, c'est-à-dire lorsque le nombre quantique principal \(n=1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_n = - \frac{E_0}{n^2}\]
Données spécifiques :
  • \(E_0 = 13.6 \, \text{eV}\)
  • \(n = 1\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_1 &= - \frac{13.6 \, \text{eV}}{1^2} \\ &= - \frac{13.6 \, \text{eV}}{1} \\ &= -13.6 \, \text{eV} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'énergie de l'électron à l'état fondamental (\(n=1\)) est \(E_1 = -13.6 \, \text{eV}\).

Question 2 : Énergie au Premier État Excité (\(n=2\))

Principe :

Le premier état excité correspond au niveau d'énergie immédiatement supérieur à l'état fondamental, soit \(n=2\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} E_2 &= - \frac{13.6 \, \text{eV}}{2^2} \\ &= - \frac{13.6 \, \text{eV}}{4} \\ &= -3.40 \, \text{eV} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'énergie de l'électron au premier état excité (\(n=2\)) est \(E_2 = -3.40 \, \text{eV}\).

Question 3 : Énergie au Deuxième État Excité (\(n=3\))

Principe :

Le deuxième état excité correspond au niveau \(n=3\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} E_3 &= - \frac{13.6 \, \text{eV}}{3^2} \\ &= - \frac{13.6 \, \text{eV}}{9} \\ &\approx -1.511 \, \text{eV} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'énergie de l'électron au deuxième état excité (\(n=3\)) est \(E_3 \approx -1.51 \, \text{eV}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Que signifie une énergie négative pour un électron dans un atome selon le modèle de Bohr ?

Question 4 : Énergie d'Ionisation à partir de l'État Fondamental

Principe :

L'ionisation correspond à l'arrachement complet de l'électron de l'atome. Cela signifie que l'électron passe du niveau initial (ici, l'état fondamental \(n=1\)) à un niveau d'énergie où il n'est plus lié au noyau, ce qui correspond à \(n \rightarrow \infty\). L'énergie de l'électron à \(n=\infty\) est \(E_{\infty} = - \frac{E_0}{\infty^2} = 0 \, \text{eV}\).

L'énergie requise pour l'ionisation est la différence entre l'énergie finale (\(E_{\infty}\)) et l'énergie initiale (\(E_1\)).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta E_{\text{ionisation}} &= E_{\infty} - E_1 \\ &= 0 \, \text{eV} - (-13.6 \, \text{eV}) \\ &= 13.6 \, \text{eV} \end{aligned} \]

Ceci correspond à la définition de \(E_0\), l'énergie d'ionisation.

Résultat Question 4 : L'énergie requise pour ioniser un atome d'hydrogène à l'état fondamental est de \(13.6 \, \text{eV}\).

Question 5 : Transition Électronique de \(n=3\) à \(n=1\)

a. Absorption ou Émission d'Énergie ?

L'électron passe d'un niveau d'énergie supérieur (\(n=3\), \(E_3 \approx -1.51 \, \text{eV}\)) à un niveau d'énergie inférieur (\(n=1\), \(E_1 = -13.6 \, \text{eV}\)). Pour passer à un niveau d'énergie plus bas (plus négatif, donc plus stable), l'électron doit perdre de l'énergie. Cette énergie est émise sous forme d'un photon.

b. Calcul de l'Énergie du Photon (\(\Delta E\))

L'énergie du photon émis est égale à la différence d'énergie entre le niveau initial (\(n_i=3\)) et le niveau final (\(n_f=1\)).

\[ \begin{aligned} \Delta E &= E_i - E_f \\ &= E_3 - E_1 \\ &= (-1.51 \, \text{eV}) - (-13.6 \, \text{eV}) \\ &= -1.51 \, \text{eV} + 13.6 \, \text{eV} \\ &= 12.09 \, \text{eV} \end{aligned} \]

L'énergie du photon est positive, car c'est l'énergie emportée.

Conversion en Joules :

\[ \begin{aligned} \Delta E_{\text{Joules}} &= 12.09 \, \text{eV} \times (1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}) \\ &\approx 1.9368 \times 10^{-18} \, \text{J} \end{aligned} \]
c. Calcul de la Longueur d'Onde (\(\lambda\)) du Photon

L'énergie d'un photon est liée à sa longueur d'onde par la relation \(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\), où \(h\) est la constante de Planck et \(c\) est la vitesse de la lumière. Donc \(\lambda = \frac{hc}{E}\).

\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{hc}{\Delta E_{\text{Joules}}} \\ &= \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \times (3.00 \times 10^8 \, \text{m/s})}{1.9368 \times 10^{-18} \, \text{J}} \\ &\approx \frac{1.9878 \times 10^{-25}}{1.9368 \times 10^{-18}} \, \text{m} \\ &\approx 1.0263 \times 10^{-7} \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en nanomètres (\(1 \, \text{nm} = 10^{-9} \, \text{m}\)) :

\[ \lambda \approx 1.0263 \times 10^{-7} \, \text{m} \times \frac{10^9 \, \text{nm}}{1 \, \text{m}} \approx 102.6 \, \text{nm} \]

Cette longueur d'onde se situe dans le domaine de l'ultraviolet (UV) lointain. Les transitions vers le niveau \(n=1\) dans l'atome d'hydrogène constituent la série de Lyman, qui se trouve dans l'UV.

Résultat Question 5 : a) L'électron émet de l'énergie. b) L'énergie du photon est \(\Delta E \approx 12.09 \, \text{eV} \approx 1.937 \times 10^{-18} \, \text{J}\). c) La longueur d'onde du photon est \(\lambda \approx 102.6 \, \text{nm}\), ce qui correspond au domaine ultraviolet.

Quiz Intermédiaire 2 : Si un électron absorbe un photon, il passe à :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Selon le modèle de Bohr, l'énergie d'un électron dans un atome d'hydrogène :

2. L'état fondamental d'un atome d'hydrogène correspond à :

3. Lorsqu'un électron passe d'un niveau d'énergie \(E_i\) à un niveau d'énergie inférieur \(E_f\), l'énergie du photon émis est :

Glossaire

Modèle de Bohr
Modèle atomique proposé par Niels Bohr pour l'atome d'hydrogène, postulant des orbites électroniques quantifiées et des transitions entre niveaux d'énergie par absorption ou émission de photons.
Niveau Énergétique
État d'énergie discret qu'un électron peut occuper dans un atome ou une molécule. Dans le modèle de Bohr, ces niveaux sont caractérisés par le nombre quantique principal \(n\).
État Fondamental
Niveau d'énergie le plus bas et le plus stable d'un atome, d'une molécule ou d'un ion. Pour l'hydrogène, cela correspond à \(n=1\).
État Excité
Tout niveau d'énergie d'un atome, d'une molécule ou d'un ion qui est supérieur à son état fondamental.
Nombre Quantique Principal (\(n\))
Nombre entier positif (\(1, 2, 3, \dots\)) qui caractérise la taille et l'énergie principale d'une orbitale électronique dans un atome.
Énergie d'Ionisation
Énergie minimale requise pour arracher un électron d'un atome ou d'un ion à l'état gazeux, le faisant passer de son état fondamental à \(n=\infty\) (électron libre).
Photon
Particule élémentaire (quantum) du champ électromagnétique, porteuse de l'énergie lumineuse. Son énergie est \(E = h\nu = hc/\lambda\).
Transition Électronique
Passage d'un électron d'un niveau d'énergie à un autre dans un atome ou une molécule, accompagné de l'absorption ou de l'émission d'un photon.
Spectre d'Émission/Absorption
Ensemble des fréquences (ou longueurs d'onde) de rayonnement électromagnétique émises ou absorbées par une substance lors de transitions électroniques.
Analyse des Niveaux Énergétiques d’un Électron - Exercice d'Application

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