Analyse des Niveaux Énergétiques d’un Électron

Comprendre l’Analyse des Niveaux Énergétiques d’un Électron

En mécanique quantique, le modèle du puits de potentiel infini (aussi appelé « boîte quantique ») est un cas fondamental pour comprendre le comportement des particules quantiques confinées.

Nous allons calculer l’énergie d’un électron confiné dans un puits de potentiel unidimensionnel de largeur \( L \).

Objectifs de l’exercice:

1. Calculer les énergies permises pour un électron dans un puits de potentiel.

2. Comprendre l’impact des dimensions du puits sur les niveaux d’énergie quantiques.

Données fournies:

• Masse de l’électron (\( m \)): \( 9.109 \times 10^{-31} \) kg
• Constante de Planck réduite (\( \hbar \)): \( 1.0545718 \times 10^{-34} \) J\(\cdot\)s
• Largeur du puits (\( L \)): \( 1 \times 10^{-9} \) m (1 nanomètre)

Question:

Calculez les trois premiers niveaux d’énergie (\( E_n \)) de l’électron confiné dans ce puits de potentiel infini.

Correction : Analyse des Niveaux Énergétiques d’un Électron

Formule Générale pour l’Énergie:

L’énergie d’un électron dans un puits de potentiel infini est donnée par la formule :

\[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} \]

où :

• \(n\) est le nombre quantique principal (1, 2, 3, \ldots)
• \(\hbar\) est la constante de Planck réduite (\(1.0545718 \times 10^{-34}\) J\(\cdot\)s)
• \(m\) est la masse de l’électron (\(9.109 \times 10^{-31}\) kg)
• \(L\) est la largeur du puits (\(1 \times 10^{-9}\) m)

1. Calcul du Premier Niveau d’Énergie (\(E_1\))

Données:

• \(n = 1\)

Calcul:

\[ E_1 = \frac{1^2 \cdot \pi^2 \cdot (1.0545718 \times 10^{-34})^2}{2 \cdot 9.109 \times 10^{-31} \cdot (1 \times 10^{-9})^2} \] \[ E_1 = \frac{\pi^2 \cdot 1.1119393 \times 10^{-68}}{1.8279 \times 10^{-48}} \] \[ E_1 = 6.0249 \times 10^{-20} \, \text{J} \]

Conversion en électron-volts:

Le facteur de conversion entre l’énergie en joules (J) et l’énergie en électron-volts (eV) est donné par :

\[ 1 \, \text{eV} = 1.60218 \times 10^{-19} \, \text{J} \]

\[ E_1 \approx \frac{6.0249 \times 10^{-20}}{1.60218 \times 10^{-19}} \] \[ E_1 \approx 0.376 \, \text{eV} \]

2. Calcul du Deuxième Niveau d’Énergie (\(E_2\))

Données:

• \(n = 2\)

Calcul:

\[ E_2 = \frac{2^2 \cdot \pi^2 \cdot (1.0545718 \times 10^{-34})^2}{2 \cdot 9.109 \times 10^{-31} \cdot (1 \times 10^{-9})^2} \] \[ E_2 = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot 1.1119393 \times 10^{-68}}{1.8279 \times 10^{-48}} \] \[ E_2 = 2.4099684 \times 10^{-19} \, \text{J} \]

Conversion en électron-volts:

\[ E_2 \approx \frac{2.4099684 \times 10^{-19}}{1.60218 \times 10^{-19}} \] \[ E_2 \approx 1.504 \, \text{eV} \]

3. Calcul du Troisième Niveau d’Énergie (\(E_3\))

Données:

• \(n = 3\)

Calcul:

\[ E_3 = \frac{3^2 \cdot \pi^2 \cdot (1.0545718 \times 10^{-34})^2}{2 \cdot 9.109 \times 10^{-31} \cdot (1 \times 10^{-9})^2} \] \[ E_3 = \frac{9 \cdot \pi^2 \cdot 1.1119393 \times 10^{-68}}{1.8279 \times 10^{-48}} \] \[ E_3 = 5.4224289 \times 10^{-19} \, \text{J} \]

Conversion en électron-volts:

\[ E_3 \approx \frac{5.4224289 \times 10^{-19}}{1.60218 \times 10^{-19}} \] \[ E_3 \approx 3.384 \, \text{eV} \]

Conclusion

Ces calculs montrent que l’énergie quantique dans un puits de potentiel infini augmente de façon quadratique avec le nombre quantique \($n\backslash )$, reflétant la nature discrète et quantisée de l’énergie dans les systèmes microscopiques.

Analyse des Niveaux Énergétiques d’un Électron

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