Calcul de la Variation d’Entropie \(\Delta S\)
Contexte : L'EntropieEn thermodynamique, l'entropie (S) est une fonction d'état qui mesure le degré de désordre ou d'agitation moléculaire d'un système..
L'entropie est une notion centrale en chimie physique, incarnant le deuxième principe de la thermodynamique. Elle quantifie le désordre d'un système. Comprendre comment calculer sa variation, notée \(\Delta S\), est essentiel pour prédire la spontanéité d'une transformation. Cet exercice vous guidera à travers le calcul du \(\Delta S\) pour un processus en plusieurs étapes : le chauffage d'un glaçon, sa fusion, puis le chauffage de l'eau liquide résultante.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe en étapes simples et à appliquer les formules correctes pour les changements de température et les transitions de phase, deux cas fondamentaux en thermodynamique.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la variation d'entropie lors d'un changement de température à pression constante.
- Calculer la variation d'entropie lors d'une transition de phase (fusion).
- Calculer la variation d'entropie totale pour un processus multi-étapes.
- Maîtriser les conversions d'unités (Celsius en Kelvin, kJ en J).
Données de l'étude
Schéma du Processus
Données Numériques
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de la glace | \(m\) | 50 | g |
| Capacité thermique massique de la glace | \(c_{p, \text{glace}}\) | 2.09 | J·g⁻¹·K⁻¹ |
| Enthalpie molaire de fusion de l'eau | \(\Delta H_{\text{fus}}\) | 6.01 | kJ·mol⁻¹ |
| Capacité thermique massique de l'eau liquide | \(c_{p, \text{eau}}\) | 4.18 | J·g⁻¹·K⁻¹ |
| Masse molaire de l'eau (\(H_2O\)) | \(M\) | 18.02 | g·mol⁻¹ |
Questions à traiter
- Calculer la variation d’entropie \(\Delta S_1\) correspondant au chauffage de la glace de -10 °C à 0 °C.
- Calculer la variation d’entropie \(\Delta S_2\) correspondant à la fusion complète de la glace à 0 °C.
- Calculer la variation d’entropie \(\Delta S_3\) correspondant au chauffage de l'eau liquide de 0 °C à 25 °C.
- Calculer la variation d’entropie totale \(\Delta S_{\text{total}}\) pour l'ensemble du processus.
Les bases sur la Variation d'Entropie
Pour un processus réversible, la variation infinitésimale d'entropie \(dS\) est définie comme \(dS = \delta Q_{\text{rev}} / T\). L'intégration de cette formule dépend de la nature de la transformation.
1. Variation d'entropie avec la température (pression constante)
Lorsque l'on chauffe une substance sans changement de phase, la quantité de chaleur échangée est liée à la capacité thermique. La variation d'entropie se calcule par l'intégrale :
\[ \Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{n \cdot C_p}{T} dT = n \cdot C_p \cdot \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right) \]
Où \(n\) est le nombre de moles et \(C_p\) la capacité thermique molaire. Si les données sont massiques, on utilise la masse \(m\) et la capacité thermique massique \(c_p\).
2. Variation d'entropie d'une transition de phase
Lors d'un changement d'état (fusion, vaporisation...), la température reste constante. La variation d'entropie est alors simplement le rapport de l'enthalpie de transition sur la température de transition (en Kelvin).
\[ \Delta S_{\text{trans}} = \frac{\Delta H_{\text{trans}}}{T_{\text{trans}}} \]
Correction : Calcul de la Variation d’Entropie \(\Delta S\)
Question 1 : Chauffage de la glace de -10 °C à 0 °C
Principe
La première étape consiste à chauffer la glace de sa température initiale à son point de fusion. Comme la température change, l'agitation thermique des molécules d'eau dans le réseau cristallin augmente, ce qui accroît le désordre du système. Nous devons quantifier cette augmentation d'entropie.
Mini-Cours
La chaleur fournie à un système pour augmenter sa température est appelée chaleur sensible. Pour un processus réversible à pression constante, \(\delta Q_{\text{rev}} = m \cdot c_p \cdot dT\). En substituant cela dans la définition de l'entropie, \(dS = (m \cdot c_p \cdot dT)/T\), on obtient par intégration la formule utilisée ici. Elle montre que l'entropie augmente de façon logarithmique avec la température.
Remarque Pédagogique
La clé est de toujours identifier la nature de la transformation. Ici, c'est un simple chauffage (la température varie, la phase reste solide). Cela nous oriente directement vers la formule impliquant le logarithme des températures.
Normes
Ce calcul ne fait pas appel à une norme d'ingénierie spécifique (comme un Eurocode), mais repose sur les principes fondamentaux de la thermodynamique classique, notamment la définition de l'entropie et de la capacité thermique.
Formule(s)
Formule de la variation d'entropie lors d'un chauffage
Hypothèses
Pour appliquer cette formule simple, nous posons les hypothèses suivantes :
- La transformation est réversible (chauffage lent).
- La pression est constante tout au long du processus.
- La capacité thermique massique de la glace, \(c_{p, \text{glace}}\), est constante sur l'intervalle de température [-10 °C ; 0 °C].
Calculs Préliminaires : Conversion des Températures
La thermodynamique utilise la température absolue (en Kelvin). La première étape est donc de convertir nos températures de degrés Celsius en Kelvin en utilisant la formule \( T(\text{K}) = T(\text{°C}) + 273.15 \).
Conversion de la température initiale (Tᵢ)
Conversion de la température finale (Tբ)
Donnée(s)
Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé et les conversions que nous venons de calculer.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | 50 | g |
| Capacité thermique (glace) | \(c_{p, \text{glace}}\) | 2.09 | J·g⁻¹·K⁻¹ |
| Température initiale | \(T_i\) | -10 °C = 263.15 | K |
| Température finale | \(T_f\) | 0 °C = 273.15 | K |
Astuces
Pour vérifier rapidement la cohérence, souvenez-vous qu'un chauffage (\(\Delta T > 0\)) doit toujours correspondre à une augmentation d'entropie (\(\Delta S > 0\)). Le logarithme d'un nombre supérieur à 1 (ici \(T_f/T_i > 1\)) est toujours positif, ce qui garantit un \(\Delta S\) positif.
Schéma (Avant les calculs)
Étape 1 : Chauffage de la glace
Calcul(s)
Calcul de la variation d'entropie ΔS₁
Schéma (Après les calculs)
Diagramme Température-Entropie (T-S) pour l'étape 1
La courbe montre l'augmentation de S lorsque T augmente.
Réflexions
Le résultat, 3.89 J·K⁻¹, est une valeur positive mais relativement faible. Cela est logique car l'intervalle de température est petit (10 K) et la glace reste dans un état très ordonné. Cette valeur servira de base pour la comparaison avec les autres étapes.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les températures de Celsius en Kelvin. Toutes les formules fondamentales de la thermodynamique utilisent la température absolue (en K). Une autre erreur serait d'utiliser la mauvaise capacité thermique (celle de l'eau liquide au lieu de la glace).
Points à retenir
Pour un chauffage/refroidissement sans changement de phase, la variation d'entropie dépend de la masse (ou n), de la capacité thermique, et du logarithme du rapport des températures finales et initiales (en K).
Le saviez-vous ?
Le concept d'entropie a été introduit par Rudolf Clausius en 1865. Il a choisi ce nom du mot grec "trope" (τροπή), signifiant "transformation" ou "changement", pour créer un parallèle avec le mot "énergie".
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le \(\Delta S_1\) si la température initiale de la glace était de -20 °C (253.15 K). La masse reste 50 g.
Question 2 : Fusion de la glace à 0 °C
Principe
À 0 °C, la glace fond pour devenir de l'eau liquide. Pendant cette transition de phase, la température reste constante, mais le désordre du système augmente considérablement car les molécules passent d'une structure cristalline ordonnée à un état liquide désordonné où elles peuvent se déplacer plus librement.
Mini-Cours
L'énergie fournie pendant un changement de phase, appelée chaleur latente (ici, enthalpie de fusion), ne sert pas à augmenter l'agitation thermique (la température) mais à briser les liaisons intermoléculaires qui maintiennent la structure solide. Cette rupture libère les molécules, augmentant drastiquement le nombre de micro-états accessibles, et donc l'entropie.
Remarque Pédagogique
Identifiez toujours la température de transition de phase (ici, \(T_{\text{fus}} = 273.15\) K). Pour ce type de calcul, il n'y a pas de logarithme, juste un simple rapport. C'est le deuxième cas de figure fondamental du calcul de \(\Delta S\).
Normes
Les valeurs comme l'enthalpie de fusion sont des données thermodynamiques standards, déterminées expérimentalement et tabulées. Elles sont considérées comme des constantes physiques dans des conditions de pression standard (1 bar).
Formule(s)
Formule du nombre de moles
Formule de la variation d'entropie lors d'une transition de phase
Hypothèses
Nous supposons que :
- La fusion se produit à une température constante et bien définie de 0 °C (273.15 K).
- Le processus est mené de façon réversible.
- La pression reste constante à 1 bar.
Donnée(s)
Nous devons utiliser la masse, la masse molaire, l'enthalpie molaire de fusion et la température de fusion.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | 50 | g |
| Masse Molaire (eau) | \(M\) | 18.02 | g·mol⁻¹ |
| Enthalpie molaire de fusion | \(\Delta H_{\text{fus}}\) | 6.01 kJ·mol⁻¹ = 6010 | J·mol⁻¹ |
| Température de fusion | \(T_{\text{fus}}\) | 0 °C = 273.15 | K |
Astuces
Les transitions de phase (solide \(\rightarrow\) liquide \(\rightarrow\) gaz) impliquent une forte augmentation du désordre. Attendez-vous à ce que le \(\Delta S\) d'une fusion ou d'une vaporisation soit significativement plus grand que celui d'un simple chauffage sur quelques dizaines de degrés.
Schéma (Avant les calculs)
Étape 2 : Fusion à température constante
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du nombre de moles (n)
Étape 2 : Calcul de \(\Delta S_2\)
Schéma (Après les calculs)
Diagramme Température-Entropie (T-S) pour l'étape 2
La fusion est un processus isotherme (T=constante), représenté par un segment horizontal.
Réflexions
Notez que la variation d'entropie durant la fusion (61.06 J·K⁻¹) est bien plus grande que celle du chauffage de la glace (3.89 J·K⁻¹). Cela illustre que le passage de l'état solide ordonné à l'état liquide désordonné représente une augmentation majeure du désordre du système.
Points de vigilance
Attention aux unités de l'enthalpie ! Elle est souvent donnée en kJ·mol⁻¹ et doit être convertie en J·mol⁻¹ pour obtenir un résultat final en J·K⁻¹. Vérifiez également si les données sont molaires ou massiques pour utiliser la bonne formule (avec n ou m).
Points à retenir
La variation d'entropie d'une transition de phase à température \(T_{\text{trans}}\) est simplement le rapport de l'enthalpie de transition sur cette température absolue : \(\Delta S = \Delta H / T_{\text{trans}}\).
Le saviez-vous ?
L'eau est une substance inhabituelle car sa forme solide (glace) est moins dense que sa forme liquide. C'est pourquoi les glaçons flottent ! Cette propriété est due aux liaisons hydrogène qui organisent les molécules d'eau en un réseau cristallin ouvert dans la glace.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le \(\Delta S_2\) si on faisait fondre seulement 25 g de glace à 0°C.
Question 3 : Chauffage de l'eau liquide de 0 °C à 25 °C
Principe
Une fois toute la glace fondue, nous avons de l'eau liquide à 0 °C. Cette dernière étape consiste à chauffer cette eau jusqu'à la température finale de 25 °C. L'agitation thermique des molécules d'eau augmente, leur mouvement devient plus rapide et chaotique, et donc l'entropie du système continue de croître.
Mini-Cours
Le principe est identique à celui du chauffage de la glace. Cependant, la valeur de la capacité thermique change. La capacité thermique de l'eau liquide (4.18 J·g⁻¹·K⁻¹) est environ deux fois plus élevée que celle de la glace (2.09 J·g⁻¹·K⁻¹). Cela signifie qu'il faut fournir deux fois plus d'énergie pour élever la température de 1g d'eau liquide de 1K par rapport à 1g de glace.
Remarque Pédagogique
Soyez méthodique. C'est une nouvelle étape de chauffage, donc on réutilise la même méthode que pour la question 1, mais en veillant à bien utiliser les valeurs correspondant à l'état liquide (températures et capacité thermique).
Normes
La valeur de la capacité thermique de l'eau liquide (environ 4.18 J·g⁻¹·K⁻¹) est une constante physique standard, souvent utilisée comme référence. La calorie était historiquement définie à partir de cette valeur.
Formule(s)
Formule de la variation d'entropie lors d'un chauffage
Hypothèses
Nous supposons que :
- La transformation est réversible (chauffage lent).
- La pression est constante.
- La capacité thermique massique de l'eau liquide, \(c_{p, \text{eau}}\), est constante sur l'intervalle [0 °C ; 25 °C].
Donnée(s)
Les températures doivent à nouveau être en Kelvin.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | 50 | g |
| Capacité thermique (eau) | \(c_{p, \text{eau}}\) | 4.18 | J·g⁻¹·K⁻¹ |
| Température initiale | \(T_i\) | 0 °C = 273.15 | K |
| Température finale | \(T_f\) | 25 °C = 298.15 | K |
Astuces
Comme l'intervalle de température (25 K) est plus grand que pour l'étape 1 (10 K) et que la capacité thermique de l'eau est double de celle de la glace, on peut s'attendre à ce que \(\Delta S_3\) soit nettement supérieur à \(\Delta S_1\). C'est une bonne manière d'anticiper l'ordre de grandeur du résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Étape 3 : Chauffage de l'eau liquide
Calcul(s)
Calcul de la variation d'entropie ΔS₃
Schéma (Après les calculs)
Diagramme Température-Entropie (T-S) pour l'étape 3
La pente de la courbe est plus faible que pour la glace, car cₚ(eau) > cₚ(glace).
Réflexions
Comme attendu, la valeur de \(\Delta S_3\) (18.31 J·K⁻¹) est bien supérieure à celle de \(\Delta S_1\) (3.89 J·K⁻¹), en raison de la plus grande capacité thermique de l'eau liquide et de l'intervalle de température plus large.
Points de vigilance
Veillez à ne pas réutiliser la capacité thermique de la glace par erreur. Chaque phase d'une substance a ses propres propriétés thermodynamiques. C'est une erreur fréquente lorsque les calculs s'enchaînent.
Points à retenir
La méthode de calcul de \(\Delta S\) pour un chauffage est toujours la même, mais il est crucial d'utiliser la capacité thermique (\(c_p\)) qui correspond à la phase (solide, liquide, gaz) de la substance dans l'intervalle de température considéré.
Le saviez-vous ?
La haute capacité thermique de l'eau est fondamentale pour la vie sur Terre. Les océans peuvent stocker une immense quantité de chaleur, ce qui modère les climats de la planète en évitant des variations de température extrêmes entre le jour et la nuit ou entre les saisons.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le \(\Delta S_3\) si on chauffait l'eau liquide de 0 °C jusqu'à 50 °C (323.15 K).
Question 4 : Calcul de la variation d'entropie totale
Principe
L'entropie est une fonction d'état. Cela signifie que sa variation totale pour un processus ne dépend que de l'état initial (glace à -10°C) et de l'état final (eau à 25°C), et non du chemin parcouru. Pour un processus décomposé en étapes successives, la variation d'entropie totale est donc simplement la somme des variations d'entropie de chaque étape.
Mini-Cours
Une fonction d'état (comme l'entropie, l'enthalpie, l'énergie interne) caractérise l'état d'un système thermodynamique indépendamment de la façon dont il y est parvenu. À l'inverse, le travail (W) et la chaleur (Q) sont des fonctions de chemin ; leurs valeurs dépendent du processus suivi. L'additivité de \(\Delta S\) est une propriété directe de son statut de fonction d'état.
Remarque Pédagogique
C'est l'étape de synthèse. Il suffit d'être rigoureux et d'additionner les résultats intermédiaires. Assurez-vous qu'ils sont tous dans la même unité (ici, J·K⁻¹) avant de les sommer.
Normes
Pas de norme applicable. Il s'agit de l'application du principe mathématique d'additivité pour une fonction d'état.
Formule(s)
Formule de l'additivité de l'entropie
Hypothèses
Nous supposons que le processus global est la succession des trois étapes étudiées et que les états intermédiaires sont bien définis. Aucune autre transformation n'a lieu.
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats finaux des trois questions précédentes.
| Contribution | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Chauffage glace | \(\Delta S_1\) | 3.89 | J·K⁻¹ |
| Fusion glace | \(\Delta S_2\) | 61.06 | J·K⁻¹ |
| Chauffage eau | \(\Delta S_3\) | 18.31 | J·K⁻¹ |
Astuces
Aucune astuce particulière pour une simple addition.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme T-S complet du processus
Calcul(s)
Somme des variations d'entropie
Schéma (Après les calculs)
Diagramme T-S complet du processus
Ce schéma illustre la trajectoire complète du système sur le diagramme T-S.
Réflexions
Le résultat final est positif (\(\Delta S_{\text{total}} > 0\)), ce qui est cohérent avec une transformation qui mène à un état globalement plus désordonné (eau liquide chaude) à partir d'un état plus ordonné (glace froide). Ce processus est spontané si de la chaleur est fournie par l'environnement.
Points de vigilance
Une erreur d'arrondi sur les calculs intermédiaires peut légèrement affecter le résultat final. Il est conseillé de garder plus de chiffres significatifs pendant les calculs et de n'arrondir qu'à la toute fin.
Points à retenir
La propriété la plus importante de l'entropie (et de toute fonction d'état) est l'additivité. Pour tout processus complexe décomposable en étapes simples, le \(\Delta S\) total est la somme des \(\Delta S\) de chaque étape.
Le saviez-vous ?
Le deuxième principe de la thermodynamique stipule que l'entropie de l'univers (un système isolé) ne peut qu'augmenter. C'est ce qui donne une "flèche" au temps : les processus macroscopiques ne sont pas réversibles (un verre brisé ne se reconstitue pas spontanément).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant les résultats précédents, quelle serait la variation d'entropie pour le processus inverse (refroidir 50g d'eau de 25°C en glace à -10°C) ?
Outil Interactif : Simulateur d'Entropie
Utilisez cet outil pour voir comment la masse de glace et la température finale de l'eau influencent la variation d'entropie totale. Le processus est le même que dans l'exercice (glace à -10°C chauffée et fondue, puis eau chauffée).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Selon le deuxième principe de la thermodynamique, l'entropie d'un système isolé...
2. Lors de la congélation de l'eau liquide en glace, la variation d'entropie du système (\(\Delta S_{\text{syst}}\)) est :
3. Quelle unité n'est PAS une unité d'entropie ?
4. Si on double la masse de substance dans l'exercice, que deviendra la variation d'entropie totale ?
5. La formule \(\Delta S = \Delta H / T\) est utilisée pour :
- Entropie (S)
- Une fonction d'état thermodynamique qui est une mesure du nombre de façons dont un système peut être arrangé, souvent interprétée comme une mesure du désordre ou de l'incertitude.
- Enthalpie de fusion (\(\Delta H_{\text{fus}}\))
- La quantité d'énergie (chaleur) nécessaire pour faire passer une mole d'une substance de l'état solide à l'état liquide à pression constante.
- Capacité thermique massique (\(c_p\))
- La quantité de chaleur qu'il faut fournir à un gramme d'une substance pour élever sa température d'un Kelvin (ou d'un degré Celsius) à pression constante.
- Processus réversible
- Un processus thermodynamique idéal qui peut être inversé à tout moment en modifiant infinitésimalement les conditions, sans causer de changement dans l'entropie totale de l'univers.
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