Calcul de la Masse Critique d'Uranium-235

Contexte : La Masse CritiqueLa masse minimale d'un matériau fissile nécessaire pour déclencher et entretenir une réaction nucléaire en chaîne..

En chimie nucléaire, la masse critique est un concept fondamental qui régit les réactions en chaîne. Pour qu'une réaction de fission nucléaireProcessus au cours duquel le noyau d'un atome lourd est scindé en plusieurs noyaux plus légers, libérant une grande quantité d'énergie et des neutrons. s'entretienne d'elle-même, il faut qu'au moins un des neutronsParticule subatomique de charge neutre, composant du noyau atomique, dont l'impact sur un noyau fissile peut provoquer la fission. libérés par une fission provoque une nouvelle fission. Si trop de neutrons s'échappent du matériau ou sont absorbés sans provoquer de fission, la réaction s'arrête. Cet exercice vise à estimer, via un modèle simplifié, la masse critique d'une sphère d'Uranium-235 pur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer des concepts de physique nucléaire et de mathématiques pour quantifier une condition essentielle au fonctionnement des réacteurs nucléaires et des armes nucléaires.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le concept de masse critique et de réaction en chaîne.
Identifier les paramètres physiques qui influencent la masse critique.
Appliquer une formule issue de la théorie de la diffusion pour calculer un rayon critique.
Convertir des unités microscopiques (barns) en propriétés macroscopiques.
Calculer la masse à partir de la densité et du volume critique.

Données de l'étude

On cherche à déterminer la masse critique d'une sphère ("boule") d'Uranium-235 pur, non entourée par un réflecteur de neutrons (configuration dite "nue" ou "bare sphere" en anglais).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Élément	Uranium-235 (\(^{235}\text{U}\))
Type	Isotope fissile par neutrons thermiques et rapides
Application Principale	Combustible pour réacteurs, matière pour armes nucléaires

Bilan des Neutrons dans une Masse Fissile

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse molaire de \(^{235}\text{U}\)	\(M\)	235.04	g/mol
Densité de l'Uranium	\(\rho\)	19.1	g/cm³
Nombre d'Avogadro	\(N_A\)	\(6.022 \times 10^{23}\)	atomes/mol
Section efficace de fission	\(\sigma_f\)	585	barnsUnité de surface utilisée en physique nucléaire pour quantifier la probabilité d'interaction (section efficace). 1 barn = 10⁻²⁴ cm².
Section efficace de diffusion	\(\sigma_s\)	17.6	barns
Nombre de neutrons émis par fission	\(\nu\)	2.42	(sans unité)

Questions à traiter

Calculer la concentration atomique \(N\) de l'Uranium-235 (nombre d'atomes par cm³).
Calculer les sections efficaces macroscopiques de fission (\(\Sigma_f\)) et de transport (\(\Sigma_{tr}\)).
Déterminer le rayon critique \(R_c\) (en cm) de la sphère d'Uranium-235.
Calculer le volume critique \(V_c\) (en cm³) correspondant.
En déduire la masse critique \(m_c\) en kilogrammes.

Les bases sur la Masse Critique

La criticité d'un assemblage de matière fissile est déterminée par le bilan des neutrons. Pour qu'une réaction en chaîne soit auto-entretenue (état critique), le taux de production de neutrons par fission doit être exactement égal au taux de perte (par fuite hors du matériau et par capture non-fissile).

1. Sections Efficaces (Microscopique et Macroscopique)
La section efficaceReprésente la probabilité d'interaction d'une particule (comme un neutron) avec une cible (un noyau). Elle a la dimension d'une surface. microscopique (\(\sigma\), en barns) est une propriété du noyau. Pour obtenir une mesure à l'échelle du matériau, on la multiplie par la concentration atomique \(N\) pour obtenir la section efficace macroscopique \(\Sigma\) (en cm⁻¹), qui représente la probabilité d'interaction par unité de longueur. \[ \Sigma = N \cdot \sigma \]

2. Théorie de la Diffusion et Rayon Critique
Une approximation courante pour modéliser le comportement des neutrons est la théorie de la diffusion. Pour une sphère nue (sans réflecteur), cette théorie aboutit à une formule reliant le rayon critique \(R_c\) aux propriétés du matériau. La condition de criticité est atteinte lorsque le "laplacien géométrique" (\(B_g^2\)) est égal au "laplacien matière" (\(B_m^2\)). Pour une sphère, \(B_g^2 = (\pi/R_c)^2\). La formule simplifiée qui en découle est : \[ R_c^2 = \frac{\pi^2}{3(\nu-1)\Sigma_f \Sigma_{tr}} \] où \(\Sigma_{tr} = \Sigma_f + \Sigma_s\) est la section efficace macroscopique de transport.

Correction : Calcul de la Masse Critique d'Uranium-235

Question 1 : Calculer la concentration atomique \(N\)

Principe

La concentration atomique \(N\) est le nombre de noyaux d'Uranium-235 contenus dans un centimètre cube de matière. C'est le pont entre l'échelle macroscopique (densité en g/cm³) et l'échelle microscopique (les atomes).

Mini-Cours

Toute matière est composée d'atomes. La masse d'une mole d'atomes est donnée par la masse molaire (\(M\)). Le nombre d'atomes dans une mole est une constante universelle : le nombre d'Avogadro (\(N_A\)). En combinant ces informations avec la densité (\(\rho\)), qui est la masse par unité de volume, on peut déterminer combien d'atomes sont "tassés" dans un volume donné.

Remarque Pédagogique

L'analyse dimensionnelle est votre meilleure amie. Avant de calculer, vérifiez que les unités s'annulent correctement pour donner le résultat attendu (ici, des atomes/cm³). \(\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \times \frac{\text{atomes}}{\text{mol}} \div \frac{\text{g}}{\text{mol}} \Rightarrow \frac{\text{atomes}}{\text{cm}^3}\).

Normes

Il n'y a pas de "norme" d'ingénierie pour ce calcul de base, mais les valeurs utilisées, comme le nombre d'Avogadro, sont des constantes physiques fondamentales dont la valeur est périodiquement mise à jour par des comités scientifiques internationaux comme le CODATA (Committee on Data for Science and Technology).

Formule(s)

Formule de la concentration atomique

N = \frac{\rho \cdot N_A}{M}

Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

Le matériau est composé à 100% de l'isotope \(^{235}\text{U}\).
La densité est uniforme dans tout le volume du matériau.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Densité	\(\rho\)	19.1	g/cm³
Nombre d'Avogadro	\(N_A\)	\(6.022 \times 10^{23}\)	atomes/mol
Masse Molaire	\(M\)	235.04	g/mol

Astuces

Pour une estimation rapide, on peut approximer la masse molaire de l'U-235 à 235 g/mol et le nombre d'Avogadro à \(6 \times 10^{23}\). Le calcul devient \((19 \times 6) / 235 \times 10^{23}\), ce qui donne environ \(0.5 \times 10^{23}\) ou \(5 \times 10^{22}\), un ordre de grandeur correct.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la Concentration Atomique

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} N &= \frac{19.1 \text{ g/cm³} \cdot 6.022 \times 10^{23} \text{ atomes/mol}}{235.04 \text{ g/mol}} \\ &\approx 4.89 \times 10^{22} \text{ atomes/cm³} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Ce nombre, près de 49 mille milliards de milliards d'atomes dans un dé à coudre d'uranium, est colossal. Il illustre pourquoi même des probabilités d'interaction très faibles à l'échelle d'un noyau (les barns) peuvent devenir significatives sur quelques centimètres de matériau.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre la masse molaire (\(M\)) de l'isotope \(^{235}\text{U}\) avec la masse molaire moyenne de l'uranium naturel (environ 238.03 g/mol), qui contient majoritairement de l'\(^{238}\text{U}\). L'utilisation de la mauvaise masse molaire est une erreur fréquente.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : La concentration atomique \(N\) fait le lien entre les propriétés macroscopiques (\(\rho\)) et microscopiques (\(M, N_A\)).
Formule Essentielle : \(N = (\rho \cdot N_A) / M\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser la masse molaire de l'isotope concerné, pas celle de l'élément naturel.

Le saviez-vous ?

Le concept de "mole" et la constante d'Avogadro ont été développés pour compter des entités invisibles à l'œil nu. Une mole de centimètres cubes (environ \(6.022 \times 10^{23}\) cm³) occuperait un cube de plus de 800 km de côté !

FAQ

Résultat Final

La concentration atomique de l'Uranium-235 est d'environ \(4.89 \times 10^{22} \text{ atomes/cm³}\).

A vous de jouer

Calculez la concentration atomique \(N\) pour du Plutonium-239, sachant que \(\rho \approx 19.8\) g/cm³ et \(M \approx 239.05\) g/mol.

Question 2 : Calculer les sections efficaces macroscopiques \(\Sigma_f\) et \(\Sigma_{tr}\)

Principe

Le concept physique est de passer d'une probabilité d'interaction par atome (section efficace microscopique, \(\sigma\)) à une probabilité d'interaction par centimètre de parcours du neutron dans le matériau (section efficace macroscopique, \(\Sigma\)).

Mini-Cours

Imaginez un neutron traversant 1 cm de matière. Sur son chemin, il "voit" un certain nombre de noyaux cibles. La section efficace macroscopique \(\Sigma\) est la surface totale de cible "vue" par le neutron sur ce centimètre. Si \(\Sigma = 0.1\) cm⁻¹, cela signifie que le neutron a une probabilité de 10% d'interagir sur 1 cm. L'inverse, \(1/\Sigma\), est appelé le "libre parcours moyen", c'est-à-dire la distance moyenne que parcourt un neutron avant une interaction.

Remarque Pédagogique

Pensez à \(\Sigma\) comme à une "densité de probabilité d'interaction". Plus le matériau est dense (grand \(N\)) ou plus les noyaux interagissent facilement (grand \(\sigma\)), plus \(\Sigma\) sera grand, et plus le neutron aura de chances d'interagir rapidement.

Normes

Les valeurs des sections efficaces microscopiques (\(\sigma\)) ne sont pas des normes réglementaires, mais des données expérimentales compilées dans des bibliothèques de données nucléaires internationales (comme ENDF/B, JEFF, JENDL). Ces bibliothèques sont la référence pour tous les calculs de neutronique.

Formule(s)

Formule de la section efficace macroscopique

\Sigma_x = N \cdot \sigma_x \quad (\text{où } x \text{ peut être } f, s, \text{ etc.})

Formule de la section efficace de transport

\Sigma_{\text{tr}} = \Sigma_f + \Sigma_s

Hypothèses

Nous supposons que les sections efficaces données sont des valeurs moyennes, constantes pour tous les neutrons, quelle que soit leur énergie. C'est une simplification majeure (modèle "un groupe").

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Concentration atomique	\(N\)	\(4.89 \times 10^{22}\)	atomes/cm³
Section efficace de fission	\(\sigma_f\)	585	barns
Section efficace de diffusion	\(\sigma_s\)	17.6	barns

Astuces

Comme \(N\) est de l'ordre de \(10^{22}\) et la conversion du barn est de \(10^{-24}\), le produit \(N \times \sigma_{\text{en barns}}\) sera de l'ordre de \(10^{-2}\). Pour \(\sigma_f = 585\) barns, on s'attend à un \(\Sigma_f\) de l'ordre de \(5.85\), notre calcul de 0.286 est donc du bon ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

De \(\sigma\) (micro) à \(\Sigma\) (macro)

Calcul(s)

Conversion de la section efficace de fission (\(\sigma_f\))

\begin{aligned} \sigma_f &= 585 \text{ barns} \\ &= 585 \times 10^{-24} \text{ cm}^2 \\ &= 5.85 \times 10^{-22} \text{ cm}^2 \end{aligned}

Conversion de la section efficace de diffusion (\(\sigma_s\))

\begin{aligned} \sigma_s &= 17.6 \text{ barns} \\ &= 17.6 \times 10^{-24} \text{ cm}^2 \\ &= 1.76 \times 10^{-23} \text{ cm}^2 \end{aligned}

Calcul de \(\Sigma_f\)

\begin{aligned} \Sigma_f &= N \cdot \sigma_f \\ &= (4.89 \times 10^{22} \text{ atomes/cm³}) \cdot (5.85 \times 10^{-22} \text{ cm}^2) \\ &\approx 0.286 \text{ cm}^{-1} \end{aligned}

Calcul de \(\Sigma_s\)

\begin{aligned} \Sigma_s &= N \cdot \sigma_s \\ &= (4.89 \times 10^{22} \text{ atomes/cm³}) \cdot (1.76 \times 10^{-23} \text{ cm}^2) \\ &\approx 0.086 \text{ cm}^{-1} \end{aligned}

Calcul de \(\Sigma_{tr}\)

\begin{aligned} \Sigma_{\text{tr}} &= \Sigma_f + \Sigma_s \\ &= 0.286 \text{ cm}^{-1} + 0.086 \text{ cm}^{-1} \\ &= 0.372 \text{ cm}^{-1} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Libres Parcours Moyens

Réflexions

Un neutron parcourt en moyenne 2.7 cm avant d'interagir (fission ou diffusion) et 3.5 cm avant de provoquer une fission. Ces faibles distances expliquent pourquoi une réaction en chaîne peut se développer si rapidement dans un volume compact.

Points de vigilance

La conversion des barns en cm² (\(10^{-24}\)) est la principale source d'erreur. Une erreur d'un facteur 1000 ici (en utilisant \(10^{-21}\) par exemple) fausserait complètement le résultat final.

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : \(\Sigma\) traduit la probabilité d'interaction \(\sigma\) à l'échelle du matériau.
Formule Essentielle : \(\Sigma = N \cdot \sigma\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier la conversion \(1 \text{ barn} = 10^{-24} \text{ cm}^2\).

Le saviez-vous ?

Le "barn" a été nommé ainsi par des physiciens du projet Manhattan. Ils trouvaient que la section efficace du noyau d'uranium était "aussi grande qu'une porte de grange" ("as big as a barn door"), et le nom est resté.

FAQ

Résultat Final

Les sections efficaces macroscopiques sont \(\Sigma_f \approx 0.286 \text{ cm}^{-1}\) et \(\Sigma_{\text{tr}} \approx 0.372 \text{ cm}^{-1}\).

A vous de jouer

Si on utilisait un matériau 2 fois moins dense, que deviendrait la valeur de \(\Sigma_f\) ?

Question 3 : Déterminer le rayon critique \(R_c\)

Principe

Le rayon critique est la taille minimale pour laquelle la production de neutrons à l'intérieur du volume compense exactement les fuites de neutrons à travers la surface. Pour une sphère, le rapport surface/volume est minimal, ce qui en fait la forme la plus efficace pour contenir les neutrons.

Mini-Cours

La formule du rayon critique provient de l'équation de la diffusion des neutrons, qui est une équation différentielle décrivant le flux de neutrons dans un milieu. La condition de criticité impose une relation entre les propriétés du matériau (le "laplacien matière", \(B_m^2\)) et la géométrie (le "laplacien géométrique", \(B_g^2\)). Pour une sphère, \(B_g^2 = (\pi/R)^2\). La formule utilisée est la solution de l'équation \(B_m^2 = B_g^2\) dans un cas simplifié.

Remarque Pédagogique

Analysez la formule : le rayon critique diminue si la production de neutrons (\(\nu-1\)) ou les probabilités d'interaction (\(\Sigma_f, \Sigma_{tr}\)) augmentent. C'est logique : un matériau plus "efficace" a besoin d'être moins grand pour devenir critique.

Normes

Le calcul de criticité est un domaine hautement réglementé dans l'industrie nucléaire. Les calculs réels ne se basent pas sur cette formule simple mais sur des codes de calcul complexes (simulation Monte-Carlo comme MCNP, ou déterministe comme APOLLO) qui ont été validés par rapport à des expériences critiques et sont soumis à des normes de l'AIEA et des autorités de sûreté nationales.

Formule(s)

Formule du rayon critique pour une sphère nue

R_c = \sqrt{\frac{\pi^2}{3(\nu-1)\Sigma_f \Sigma_{\text{tr}}}}

Hypothèses

Ce modèle suppose une sphère nue, homogène, et un comportement des neutrons décrit par la théorie de la diffusion à un seul groupe d'énergie.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre de neutrons par fission	\(\nu\)	2.42	-
Section efficace macro. de fission	\(\Sigma_f\)	0.286	cm⁻¹
Section efficace macro. de transport	\(\Sigma_{\text{tr}}\)	0.372	cm⁻¹

Astuces

Puisque \(\pi^2 \approx 9.87\), on peut l'arrondir à 10 pour une estimation rapide. Le dénominateur est environ \(3 \times 1.4 \times 0.3 \times 0.4 \approx 0.5\). \(R_c^2 \approx 10 / 0.5 = 20\), donc \(R_c\) sera un peu plus grand que 4, ce qui est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des Neutrons dans la Sphère Critique

Calcul(s)

Calcul du carré du rayon critique

\begin{aligned} R_c^2 &= \frac{\pi^2}{3 \cdot (2.42 - 1) \cdot (0.286 \text{ cm}^{-1}) \cdot (0.372 \text{ cm}^{-1})} \\ &= \frac{9.8696}{3 \cdot 1.42 \cdot 0.106392 \text{ cm}^{-2}} \\ &\approx \frac{9.8696}{0.453 \text{ cm}^{-2}} \\ &\approx 21.78 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Calcul du rayon critique

\begin{aligned} R_c &\approx \sqrt{21.78 \text{ cm}^2} \\ &\approx 4.67 \text{ cm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Dimension du Rayon Critique

Réflexions

Un rayon critique de moins de 5 cm (un diamètre de moins de 10 cm, la taille d'un pamplemousse) peut sembler petit, mais il illustre l'extraordinaire densité de l'uranium et l'efficacité de la réaction en chaîne avec des neutrons rapides.

Points de vigilance

Ne pas oublier le terme \((\nu-1)\) : c'est le gain net de neutrons par fission (un neutron est consommé pour en produire \(\nu\)). Oublier le "-1" est une erreur conceptuelle majeure.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Le rayon critique est la taille où la production de neutrons équilibre les fuites.
Formule Essentielle : \(R_c^2 \propto 1 / ((\nu-1)\Sigma_f \Sigma_{tr})\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser le gain net de neutrons \((\nu-1)\), pas \(\nu\).

Le saviez-vous ?

La première réaction en chaîne auto-entretenue contrôlée a été réalisée par l'équipe d'Enrico Fermi en 1942 à Chicago, non pas avec une sphère de métal pur, mais avec un empilement (une "pile") de 45 tonnes de blocs d'uranium et de graphite.

FAQ

Résultat Final

Le rayon critique de la sphère d'Uranium-235 est d'environ 4.67 cm.

A vous de jouer

Si on utilisait un matériau fictif qui produit 4 neutrons par fission (\(\nu=4\)), quel serait le nouveau rayon critique (en gardant les mêmes \(\Sigma\)) ?

Question 4 : Calculer le volume critique \(V_c\)

Principe

Le volume d'une sphère se calcule simplement à partir de son rayon. Ayant trouvé le rayon critique, nous pouvons maintenant déterminer le volume critique correspondant, c'est-à-dire le volume minimal pour atteindre la criticité.

Mini-Cours

La formule du volume d'une sphère, \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\), est un résultat fondamental de la géométrie euclidienne. Elle montre que le volume croît très rapidement avec le rayon (comme le cube du rayon). Un petit changement de rayon critique a donc un impact important sur le volume et la masse critiques.

Remarque Pédagogique

Faites attention à bien utiliser le rayon et non le diamètre dans la formule. C'est une erreur d'inattention classique. Pensez aussi à mettre le rayon au cube, pas au carré.

Normes

Pas de normes applicables, il s'agit d'une application directe d'une formule géométrique standard.

Formule(s)

Formule du volume d'une sphère

V_c = \frac{4}{3} \pi R_c^3

Hypothèses

La seule hypothèse est que la géométrie est une sphère parfaite.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rayon critique	\(R_c\)	4.67	cm

Astuces

Pour une estimation, \(4/3 \times \pi \approx 4.2\). Le rayon est d'environ 4.7 cm. \(4.7^3 \approx 4.5^3 = (9/2)^3 = 729/8 \approx 90\). Le volume sera donc de l'ordre de \(4.2 \times 90 \approx 380\) cm³, ce qui est proche du résultat calculé.

Schéma (Avant les calculs)

Du Rayon au Volume

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} V_c &= \frac{4}{3} \pi (4.67 \text{ cm})^3 \\ &\approx \frac{4}{3} \pi (101.8 \text{ cm}^3) \\ &\approx 426.4 \text{ cm}^3 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison du Volume Critique

Réflexions

Un volume de 426 cm³ (moins d'un demi-litre) est remarquablement petit pour contenir la masse nécessaire à une réaction nucléaire auto-entretenue. Cela souligne à nouveau l'extrême densité de l'uranium.

Points de vigilance

L'erreur la plus courante est d'oublier de mettre le rayon au cube. Une autre erreur est d'utiliser le diamètre. Vérifiez toujours la formule et les données que vous y insérez.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Le volume critique dépend fortement du rayon critique (\(V \propto R^3\)).
Formule Essentielle : \(V_{\text{sphère}} = \frac{4}{3} \pi R^3\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser le rayon, et le mettre à la puissance 3.

Le saviez-vous ?

La forme sphérique est celle qui minimise la surface pour un volume donné. C'est pourquoi les fuites de neutrons sont minimales pour une sphère, ce qui en fait la géométrie ayant la plus faible masse critique. Toute autre forme (cube, cylindre) aura une masse critique plus élevée.

FAQ

Résultat Final

Le volume critique correspondant est d'environ 426.4 cm³.

A vous de jouer

Quel serait le volume critique si le rayon critique était de 10 cm ?

Question 5 : En déduire la masse critique \(m_c\)

Principe

La masse est la quantité de matière contenue dans un certain volume. C'est la propriété la plus fondamentale d'un objet. Elle se calcule simplement en multipliant le volume de l'objet par sa densité (masse par unité de volume).

Mini-Cours

La densité (\(\rho\)) est une propriété intrinsèque d'un matériau. Elle nous dit à quel point la matière est "compactée". L'uranium est l'un des éléments naturels les plus denses (\(19.1\) g/cm³), presque deux fois plus que le plomb (\(\approx 11.3\) g/cm³) et 19 fois plus que l'eau. C'est cette haute densité qui permet de concentrer un grand nombre de noyaux dans un petit volume.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape finale où tous les calculs précédents convergent. Une petite erreur dans les premières étapes (sur \(N\) ou \(R_c\)) aura un effet amplifié sur le résultat final de la masse, car elle dépend du cube du rayon. Soyez donc méticuleux à chaque étape.

Normes

La gestion des matières nucléaires est strictement encadrée par des normes internationales de l'AIEA pour des raisons de non-prolifération, de sûreté et de sécurité. Les quantités, localisations et déplacements de matières fissiles comme l'Uranium-235 sont suivis avec une extrême rigueur.

Formule(s)

Formule de la masse

m_c = \rho \cdot V_c

Hypothèses

Nous continuons de supposer que la densité est de 19.1 g/cm³ sur l'ensemble du volume calculé.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Densité	\(\rho\)	19.1	g/cm³
Volume critique	\(V_c\)	426.4	cm³

Astuces

Pour l'ordre de grandeur : \(\rho \approx 20\) g/cm³ et \(V_c \approx 430\) cm³. La masse sera donc d'environ \(20 \times 430 = 8600\) g, soit 8.6 kg. C'est très proche du résultat précis.

Schéma (Avant les calculs)

Du Volume à la Masse

Calcul(s)

Calcul de la masse critique en grammes

\begin{aligned} m_c &= 19.1 \text{ g/cm³} \cdot 426.4 \text{ cm}^3 \\ &\approx 8144.2 \text{ g} \end{aligned}

Conversion de la masse critique en kilogrammes

m_c \approx 8.14 \text{ kg}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Masse Critique

Réflexions

Notre calcul simplifié donne une masse critique d'environ 8.1 kg. La valeur communément acceptée pour une sphère nue de U-235 est d'environ 52 kg. L'écart s'explique par les nombreuses simplifications de notre modèle (théorie de la diffusion à un groupe d'énergie, sections efficaces constantes, etc.). Cependant, notre résultat donne un ordre de grandeur correct et illustre bien la méthode de calcul.

Points de vigilance

La dernière étape est la conversion des grammes en kilogrammes. N'oubliez pas de diviser par 1000. Une erreur ici donnerait un résultat absurde (8144 kg ou 0.0081 kg).

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : La masse est le produit du volume et de la densité.
Formule Essentielle : \(m = \rho \cdot V\).
Point de Vigilance Majeur : Assurer la cohérence des unités et la conversion finale en kg.

Le saviez-vous ?

La bombe "Little Boy" larguée sur Hiroshima utilisait environ 64 kg d'uranium enrichi. La conception n'était pas une sphère mais un assemblage de type "canon" où un projectile d'uranium était tiré sur une cible d'uranium pour former une masse supercritique.

FAQ

Résultat Final

Selon notre modèle, la masse critique de la sphère d'Uranium-235 est d'environ 8.14 kg.

A vous de jouer

Si le volume critique d'un autre matériau était de 1000 cm³ avec une densité de 15 g/cm³, quelle serait sa masse critique en kg ?

Outil Interactif : Simulateur de Masse Critique

Explorez comment la densité et l'enrichissement (pureté en isotope fissile) influencent la masse critique. La masse critique est inversement proportionnelle au carré de la densité (\(m_c \propto 1/\rho^2\)).

Paramètres d'Entrée

Densité du matériau (\(\rho\)) 19.1 g/cm³

Facteur d'enrichissement (efficacité) 1.0 (100% \(^{235}\text{U}\))

Résultats Clés

Masse Critique Estimée (\(m_c\)) - kg

Rayon Critique Correspondant (\(R_c\)) - cm

Masse Critique: La masse minimale d'un matériau fissile nécessaire pour déclencher et entretenir une réaction nucléaire en chaîne auto-entretenue.
Fission Nucléaire: Processus au cours duquel le noyau d'un atome lourd (comme l'Uranium-235) est scindé en plusieurs noyaux plus légers, libérant une grande quantité d'énergie et plusieurs neutrons.
Section Efficace (\(\sigma\)): Mesure de la probabilité d'interaction entre une particule incidente (un neutron) et un noyau cible. Elle a la dimension d'une surface et est souvent mesurée en barns.
Barn: Unité de surface utilisée en physique nucléaire pour quantifier les sections efficaces. 1 barn = \(10^{-24}\) cm².
Réflecteur de Neutrons: Matériau qui entoure une masse fissile et qui a la propriété de renvoyer une partie des neutrons qui tentent de s'échapper, réduisant ainsi les fuites et diminuant la masse critique nécessaire.

Calcul de la Masse Critique d’Uranium-235

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Bilan des Neutrons dans une Masse Fissile

Questions à traiter

Les bases sur la Masse Critique

Correction : Calcul de la Masse Critique d'Uranium-235

Question 1 : Calculer la concentration atomique \(N\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la Concentration Atomique

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Calculer les sections efficaces macroscopiques \(\Sigma_f\) et \(\Sigma_{tr}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

De \(\sigma\) (micro) à \(\Sigma\) (macro)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Libres Parcours Moyens

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Déterminer le rayon critique \(R_c\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des Neutrons dans la Sphère Critique

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Dimension du Rayon Critique

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : Calculer le volume critique \(V_c\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)