Variation de la Densité et Pression de Vapeur de l'Éthanol
Contexte : L'étude des propriétés thermodynamiquesEnsemble des grandeurs physiques qui décrivent l'état d'un système, comme la température, la pression, le volume ou la densité. des liquides.
La densité et la pression de vapeur sont deux propriétés fondamentales des liquides qui varient de manière significative avec la température. Comprendre ces variations est crucial dans de nombreux domaines, de la conception de procédés chimiques à la sécurité en laboratoire. Cet exercice se concentre sur l'éthanol, un solvant couramment utilisé, pour illustrer comment calculer ces propriétés à une température donnée et interpréter les résultats.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser le comportement d'un liquide réel en utilisant des équations empiriques et des lois fondamentales comme la loi des gaz parfaits pour sa phase vapeur.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la variation de la densité d'un liquide avec la température.
- Appliquer l'équation d'Antoine pour déterminer la pression de vapeur saturante.
- Utiliser la loi des gaz parfaits pour calculer la densité de la phase vapeur.
- Comparer les ordres de grandeur des densités liquide et vapeur.
Données de l'étude
Fiche Technique de l'Éthanol
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Masse molaire | \( M \) | 46.07 g/mol |
| Densité à 20 °C | \( \rho_0 \) | 789 kg/m³ |
| Coefficient de dilatation volumique | \( \beta \) | 1.12 x 10⁻³ K⁻¹ |
Chauffage de l'éthanol en contenant fermé
| Constante | Description ou Formule | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Constantes d'Antoine (Éthanol) | \( \log_{10}(P) = A - \frac{B}{C+T} \) | A=8.204, B=1642.89, C=230.3 | P en mmHg, T en °C |
| Constante des gaz parfaits | \( R \) | 8.314 | J/(mol·K) |
Questions à traiter
- Calculer la nouvelle densité de l'éthanol liquide à 50 °C.
- Déterminer la pression de vapeur saturante de l'éthanol à 50 °C en Pascals (Pa).
- Calculer la densité de la vapeur d'éthanol à 50 °C, en supposant qu'elle se comporte comme un gaz parfait.
- Comparer la densité du liquide et de la vapeur. Quel est le rapport \( \rho_{\text{liq}} / \rho_{\text{vap}} \)? Conclure.
Les bases sur la Thermodynamique des Fluides
Pour résoudre cet exercice, trois concepts clés sont nécessaires : la dilatation thermique des liquides, la pression de vapeur et la loi des gaz parfaits.
1. Dilatation Thermique des Liquides
Lorsqu'un liquide est chauffé, son volume augmente et sa densité diminue. Pour des variations de température modérées, cette relation peut être approximée par la formule linéaire suivante, où \( \rho_0 \) est la densité à la température de référence \( T_0 \).
\[ \rho(T) = \frac{\rho_0}{1 + \beta \cdot (T - T_0)} \]
2. Pression de Vapeur et Équation d'Antoine
La pression de vapeur est la pression exercée par la vapeur d'un liquide en équilibre avec sa phase liquide à une température donnée. L'équation d'Antoine est une formule empirique très utilisée pour la décrire.
\[ \log_{10}(P) = A - \frac{B}{C+T} \]
3. Loi des Gaz Parfaits
Pour décrire le comportement de la phase vapeur à des pressions relativement basses, on peut utiliser la loi des gaz parfaits. Elle relie la pression (\( P \)), le volume (\( V \)), la quantité de matière (\( n \)), la constante des gaz parfaits (\( R \)) et la température absolue (\( T \)). On peut en dériver une expression pour la densité de la vapeur \( \rho_{\text{vap}} \).
\[ PV = nRT \Rightarrow \rho_{\text{vap}} = \frac{m}{V} = \frac{P \cdot M}{R \cdot T} \]
Correction : Variation de la Densité et Pression de Vapeur de l'Éthanol
Question 1 : Calculer la nouvelle densité de l'éthanol liquide à 50 °C.
Principe
Le principe physique ici est la dilatation thermique. Lorsqu'un fluide est chauffé, l'agitation thermique de ses molécules augmente. Elles s'écartent les unes des autres, ce qui provoque une augmentation du volume global pour une même masse. Par conséquent, la masse volumique (densité) du liquide diminue.
Mini-Cours
La plupart des corps (solides, liquides, gaz) se dilatent sous l'effet de la chaleur. Pour les liquides, on caractérise cette dilatation par le coefficient de dilatation volumique, noté \( \beta \). Il représente l'augmentation relative de volume par unité de variation de température. Pour de faibles écarts de température, on peut considérer \( \beta \) comme constant, ce qui mène à une relation simple entre la densité finale et la densité initiale.
Remarque Pédagogique
L'approche la plus sûre est de toujours identifier la formule de base, puis de lister les données disponibles avec leurs unités. Avant de faire l'application numérique, assurez-vous que toutes les unités sont cohérentes. Ici, le coefficient \( \beta \) est en K⁻¹, donc la différence de température doit être en Kelvin (même si la valeur numérique est la même qu'en Celsius).
Normes
Les valeurs utilisées pour les constantes physiques comme la masse molaire, la densité de référence ou le coefficient de dilatation sont issues de bases de données standardisées et reconnues internationalement, comme celles de l'IUPAC (Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée) ou du NIST (National Institute of Standards and Technology).
Formule(s)
La relation qui lie la densité à la température via le coefficient de dilatation volumique est :
Hypothèses
Pour que notre calcul soit valide, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le coefficient de dilatation volumique \( \beta \) de l'éthanol est considéré comme constant sur la plage de température étudiée (20 °C à 50 °C).
- La pression ambiante n'a pas d'influence significative sur la densité du liquide.
Donnée(s)
Nous extrayons les données pertinentes de l'énoncé :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Densité à 20 °C | \( \rho_0 \) | 789 | kg/m³ |
| Coefficient de dilatation | \( \beta \) | 1.12 x 10⁻³ | K⁻¹ |
| Température initiale | \( T_0 \) | 20 | °C |
| Température finale | \( T \) | 50 | °C |
Astuces
Une différence de température \( \Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{initial}} \) a la même valeur numérique qu'elle soit exprimée en degrés Celsius ou en Kelvin. Inutile de convertir chaque température en Kelvin avant de faire la soustraction, vous pouvez directement calculer \( 50 - 20 = 30 \) et considérer le résultat comme 30 K.
Schéma (Avant les calculs)
Illustration de la Dilatation Thermique
Calcul(s)
Étape 1.1 : Pose du calcul de la différence de température
Étape 1.2 : Résultat de la différence de température
Étape 2.1 : Application de la formule de densité
Étape 2.2 : Calcul du terme de correction
Étape 2.3 : Simplification du dénominateur
Étape 2.4 : Résultat final de la densité
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Densités
Réflexions
La densité a diminué de 789 kg/m³ à 763.4 kg/m³, soit une baisse d'environ 3.25%. Bien que cela puisse paraître faible, cette variation est primordiale dans des applications comme le transfert de chaleur par convection naturelle ou le dimensionnement de réservoirs de stockage qui subissent des variations de température.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier le "1 +" au dénominateur et de multiplier directement la densité initiale par le terme de correction. Assurez-vous de bien appliquer la formule \( \rho_0 / (1 + ...) \) et non \( \rho_0 \times (1 - ...) \), qui est une approximation parfois utilisée mais moins précise.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez trois points : 1. La chaleur dilate les liquides, donc leur densité diminue. 2. La formule \( \rho(T) = \rho_0 / (1 + \beta \Delta T) \) modélise bien ce phénomène pour de faibles \( \Delta T \). 3. La cohérence des unités est essentielle, notamment pour \( \beta \) et \( \Delta T \).
Le saviez-vous ?
L'eau est une exception notable à la règle de la dilatation thermique continue. Sa densité est maximale non pas au point de congélation (0 °C), mais à 4 °C. C'est pourquoi la glace flotte et les lacs gèlent par la surface, ce qui permet à la vie aquatique de survivre en dessous.
FAQ
Voici les questions fréquemment posées sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour vérifier votre compréhension, calculez la densité de l'éthanol à une température de 10 °C. Quelle valeur obtenez-vous (en kg/m³)?
Question 2 : Déterminer la pression de vapeur saturante à 50 °C en Pascals (Pa).
Principe
Le principe est l'équilibre liquide-vapeur. À une température donnée, les molécules d'un liquide ont une certaine énergie cinétique. Certaines, à la surface, ont assez d'énergie pour s'échapper dans la phase gazeuse (vaporisation). Simultanément, des molécules de la phase gazeuse peuvent être recapturées par le liquide (condensation). La pression de vapeur est la pression atteinte lorsque ces deux processus s'équilibrent.
Mini-Cours
La pression de vapeur dépend très fortement de la température. Plus la température est élevée, plus l'énergie cinétique des molécules est grande, et plus elles peuvent s'échapper, augmentant ainsi la pression de vapeur. Cette relation n'est pas linéaire mais exponentielle. L'équation d'Antoine est un modèle mathématique (une corrélation) qui permet de décrire cette courbe de manière précise pour une substance donnée sur une plage de température définie.
Remarque Pédagogique
L'équation d'Antoine utilise un logarithme en base 10. N'oubliez pas, après avoir calculé le membre de droite (A - B/(C+T)), de prendre l'antilogarithme (c'est-à-dire 10 puissance le résultat) pour trouver la pression P. C'est une erreur d'inattention fréquente.
Normes
Les constantes d'Antoine (A, B, C) sont déterminées expérimentalement et sont tabulées dans des manuels de référence en génie chimique et en chimie, comme le "Perry's Chemical Engineers' Handbook" ou les bases de données du NIST. Il est crucial de toujours utiliser le jeu de constantes correspondant aux unités spécifiées (par exemple, T en °C et P en mmHg).
Formule(s)
Équation d'Antoine
Conversion de Pression
Hypothèses
L'utilisation de l'équation d'Antoine suppose que l'éthanol est pur et que le système est à l'équilibre thermodynamique liquide-vapeur.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Constante d'Antoine A | A | 8.204 |
| Constante d'Antoine B | B | 1642.89 |
| Constante d'Antoine C | C | 230.3 |
| Température | T | 50 °C |
Astuces
Pour une vérification rapide, gardez en tête que le point d'ébullition normal d'une substance est la température à laquelle sa pression de vapeur égale la pression atmosphérique (~760 mmHg). Pour l'éthanol, c'est ~78 °C. Donc, à 50 °C, la pression de vapeur doit être significativement inférieure à 760 mmHg.
Schéma (Avant les calculs)
Équilibre Liquide-Vapeur
Calcul(s)
Étape 1.1 : Application numérique dans l'équation d'Antoine
Étape 1.2 : Simplification du dénominateur
Étape 1.3 : Calcul de la fraction
Étape 1.4 : Résultat du logarithme
Étape 2.1 : Calcul de la pression par l'antilogarithme
Étape 2.2 : Résultat de la pression en mmHg
Étape 3.1 : Pose de la conversion en Pascals
Étape 3.2 : Résultat de la pression en Pascals
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Pression de Vapeur
Réflexions
Une pression de 29.4 kPa représente environ 0.29 atmosphères. Cela signifie qu'à 50 °C, l'éthanol est encore loin de son point d'ébullition à pression atmosphérique standard, mais il est déjà suffisamment volatil pour générer une pression de vapeur non négligeable. C'est pourquoi les solvants comme l'éthanol doivent être stockés dans des contenants fermés.
Points de vigilance
Les constantes d'Antoine sont spécifiques à un jeu d'unités. Utiliser la température en Kelvin ou s'attendre à un résultat en Pascals directement mènerait à une erreur grossière. Vérifiez toujours la source de vos constantes.
Points à retenir
1. La pression de vapeur augmente de façon non-linéaire (exponentielle) avec la température. 2. L'équation d'Antoine est un outil puissant pour modéliser cette relation. 3. Soyez méticuleux avec les unités des constantes d'Antoine et n'oubliez pas l'opération \(10^x\) pour isoler P.
Le saviez-vous ?
Le principe de la cuisson sous pression (autocuiseur) repose sur cette relation. En augmentant la pression à l'intérieur de la cocotte, on augmente la température d'ébullition de l'eau au-delà de 100 °C, ce qui permet de cuire les aliments beaucoup plus rapidement.
FAQ
Voici les questions fréquemment posées sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la pression de vapeur de l'éthanol à 78.3 °C (son point d'ébullition normal). Quelle valeur devriez-vous trouver approximativement en mmHg ?
Question 3 : Calculer la densité de la vapeur d'éthanol à 50 °C.
Principe
On modélise la vapeur d'éthanol comme un gaz parfait. La loi des gaz parfaits (PV=nRT) établit une relation entre pression, volume, quantité de matière et température. En la réarrangeant, on peut exprimer la densité (masse/volume) en fonction de la pression, de la température et de la masse molaire du gaz.
Mini-Cours
La loi des gaz parfaits est une excellente approximation pour les gaz réels à des pressions basses et des températures élevées. La densité d'un gaz, contrairement à un liquide, est très sensible à la fois à la pression et à la température. Une augmentation de pression à température constante augmente la densité, tandis qu'une augmentation de température à pression constante la diminue.
Remarque Pédagogique
La principale difficulté ici est la gestion des unités. La constante R (8.314 J/(mol·K)) est donnée en unités du Système International (SI). Vous devez donc impérativement convertir toutes vos autres données en unités SI de base avant le calcul : pression en Pascals (Pa), masse molaire en kg/mol, et température en Kelvin (K).
Normes
L'utilisation du Kelvin comme unité de température absolue est une convention fondamentale du Système International d'unités (SI), indispensable pour toutes les lois thermodynamiques impliquant la température (gaz parfaits, loi de Stefan-Boltzmann, etc.).
Formule(s)
La loi des gaz parfaits réarrangée pour la densité :
Hypothèses
- La vapeur d'éthanol se comporte comme un gaz parfait dans les conditions de température (50 °C) et de pression (29.4 kPa) de l'étude. Cette hypothèse est raisonnable car la pression est bien inférieure à la pression critique de l'éthanol.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression de vapeur | \( P \) | 29371 | Pa |
| Masse molaire | \( M \) | 46.07 | g/mol |
| Constante des gaz parfaits | \( R \) | 8.314 | J/(mol·K) |
| Température | \( T \) | 50 | °C |
Astuces
Pour éviter les erreurs, convertissez toujours la masse molaire de g/mol en kg/mol en divisant par 1000. Cela garantira que votre densité finale soit en kg/m³, l'unité SI standard, ce qui facilitera la comparaison avec la densité du liquide.
Schéma (Avant les calculs)
Molécules en phase gazeuse
Calcul(s)
Étape 1.1 : Conversion de la température en Kelvin
Étape 1.2 : Conversion de la masse molaire en kg/mol
Étape 2.1 : Application de la formule de densité
Étape 2.2 : Calcul du numérateur et du dénominateur
Étape 2.3 : Résultat final de la densité de la vapeur
Schéma (Après les calculs)
Comparaison de la Densité de la Vapeur d'Éthanol et de l'Air
Réflexions
La densité de la vapeur (0.504 kg/m³) est très faible, comme attendu pour un gaz dans des conditions proches de la pression atmosphérique. À titre de comparaison, la densité de l'air est d'environ 1.2 kg/m³. La vapeur d'éthanol est donc un peu moins dense que l'air à cette température.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir UNE SEULE des unités en SI, typiquement la température (laisser en °C) ou la masse molaire (laisser en g/mol). Cela fausse complètement le résultat. Faites une checklist de vos unités avant de calculer.
Points à retenir
1. La loi des gaz parfaits est un outil essentiel pour les gaz à basse pression. 2. Sa forme \( \rho = PM/RT \) est très pratique pour calculer la densité. 3. La conversion en unités SI (Pascals, Kelvin, kg/mol) n'est pas optionnelle, elle est obligatoire pour utiliser R = 8.314.
Le saviez-vous ?
L'unité "Joule" (J) dans la constante R est une unité d'énergie, équivalente à un Newton-mètre (N·m). Le Pascal est un N/m². L'équation est donc bien homogène : \( \frac{(\text{N}/\text{m}^2) \cdot (\text{kg}/\text{mol})}{(\text{N}\cdot\text{m}/\text{mol}\cdot\text{K}) \cdot \text{K}} \) se simplifie bien en kg/m³.
FAQ
Voici les questions fréquemment posées sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la pression de vapeur était de 101325 Pa (1 atm), quelle serait la densité de la vapeur d'éthanol à cette même température de 50°C (en kg/m³)?
Question 4 : Comparer les densités et conclure.
Principe
Cette question vise à quantifier la différence fondamentale entre l'état liquide et l'état gazeux. En calculant le rapport des densités, on met en évidence à quel point les molécules sont plus compactées dans la phase liquide que dans la phase vapeur pour une même substance.
Mini-Cours
Les états de la matière (solide, liquide, gaz) se distinguent principalement par la distance intermoléculaire et l'énergie cinétique des molécules. Dans un liquide, les molécules sont en contact quasi-permanent mais peuvent glisser les unes sur les autres. Dans un gaz, elles sont très éloignées et se déplacent librement avec peu d'interactions. Ce grand écart de distance explique l'énorme différence de densité.
Remarque Pédagogique
Lors d'une comparaison par un rapport, assurez-vous que les deux valeurs sont dans la même unité. C'est le cas ici (kg/m³). Le résultat sera un nombre sans dimension qui est facile à interpréter : "le liquide est X fois plus dense que le gaz".
Normes
Pas de norme applicable ici, il s'agit d'une simple analyse de résultats.
Formule(s)
Hypothèses
Nous nous basons sur la validité des calculs précédents.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Densité du liquide | \( \rho_{\text{liq}} \) | 763.4 | kg/m³ |
| Densité de la vapeur | \( \rho_{\text{vap}} \) | 0.504 | kg/m³ |
Astuces
Un rapport de densité liquide/vapeur pour des substances simples près des conditions ambiantes est presque toujours de l'ordre de 1000. Si vous trouvez un rapport de 10 ou 100 000, il y a probablement une erreur dans l'un de vos calculs de densité précédents.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des phases
Calcul(s)
Calcul du rapport des densités
Schéma (Après les calculs)
Rapport de Volume Liquide/Vapeur
Réflexions
Le résultat montre que, à 50 °C, l'éthanol liquide est plus de 1500 fois plus dense que sa vapeur. Cela illustre la grande différence d'espacement entre les molécules dans les phases liquide et gazeuse. Dans un liquide, les molécules sont proches et en contact, tandis que dans un gaz, elles sont très éloignées les unes des autres.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser le rapport. On compare généralement le plus dense au moins dense pour obtenir un nombre supérieur à 1, qui est plus facile à interpréter. Un rapport de 0.00066 est mathématiquement correct mais moins intuitif que "1515 fois plus dense".
Points à retenir
La conclusion fondamentale est l'énorme différence de densité entre la phase liquide et la phase vapeur d'une même substance, typiquement d'un facteur 100 à 10000 selon les conditions. C'est un concept central en thermodynamique et en génie des procédés.
Le saviez-vous ?
Cette grande différence de densité est la raison pour laquelle 1 mL d'eau liquide se transforme en environ 1.7 L de vapeur à pression atmosphérique. C'est le principe de fonctionnement des machines à vapeur qui ont alimenté la révolution industrielle.
FAQ
Voici les questions fréquemment posées sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant les résultats précédents, quel volume (en m³) occuperait la vapeur produite par la vaporisation complète de 1 m³ d'éthanol liquide à 50 °C ?
Outil Interactif : Pression de Vapeur de l'Éthanol
Utilisez le curseur ci-dessous pour faire varier la température de l'éthanol et observer en temps réel l'évolution de sa pression de vapeur saturante, calculée avec l'équation d'Antoine. Le graphique montre cette relation non-linéaire.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que se passe-t-il généralement pour la densité d'un liquide lorsque la température augmente ?
2. Selon l'équation d'Antoine, comment la pression de vapeur d'un liquide évolue-t-elle avec la température ?
3. Quelle unité de température DOIT être utilisée dans la loi des gaz parfaits (PV=nRT) ?
4. Pourquoi la densité de la vapeur est-elle beaucoup plus faible que celle du liquide ?
- Densité (Masse Volumique)
- Rapport de la masse d'un corps à son volume. Elle est généralement exprimée en kg/m³ ou en g/cm³.
- Pression de Vapeur Saturante
- Pression à laquelle la phase gazeuse d'une substance est en équilibre avec sa phase liquide ou solide à une température donnée.
- Équation d'Antoine
- Relation semi-empirique décrivant la relation entre la pression de vapeur et la température pour les substances pures.
- Loi des Gaz Parfaits
- Équation d'état thermodynamique qui décrit le comportement des gaz à basse pression. Elle relie la pression, le volume, la température et la quantité de matière.
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