Dopage du silicium (type n) par le phosphore

Contexte : Le dopageIntroduction contrôlée d'impuretés dans un semi-conducteur intrinsèque pour modifier ses propriétés électriques. des semi-conducteursMatériau dont la conductivité électrique se situe entre celle d'un conducteur et d'un isolant (ex: Silicium, Germanium)..

Le silicium (Si) pur est un semi-conducteur dit intrinsèqueSemi-conducteur pur, sans impuretés intentionnelles, où le nombre d'électrons libres est égal au nombre de trous., possédant une conductivité électrique limitée à température ambiante. Pour augmenter cette conductivité et l'adapter aux besoins des composants électroniques (diodes, transistors), on introduit volontairement des impuretés dans le réseau cristallin du silicium : c'est le dopage. L'introduction d'atomes de phosphore (P), qui possèdent 5 électrons de valence (un de plus que le silicium qui en a 4), crée un semi-conducteur de type nSemi-conducteur extrinsèque où les porteurs de charge majoritaires sont les électrons, créé par dopage avec des atomes donneurs., où les électrons sont les porteurs de charge majoritaires. Cet exercice vise à calculer les concentrations des porteurs de charge et la conductivité électrique d'un échantillon de silicium dopé au phosphore.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de comprendre comment le dopage modifie les propriétés électriques fondamentales d'un semi-conducteur et d'appliquer les lois de la physique des semi-conducteurs (loi d'action de masse, calcul de conductivité) dans un cas concret essentiel à l'électronique moderne.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le mécanisme du dopage de type n du silicium par le phosphore.
Calculer les concentrations d'électrons et de trous dans un semi-conducteur dopé à l'équilibre thermique.
Appliquer la loi d'action de masse.
Calculer la conductivité électrique d'un semi-conducteur dopé.
Analyser l'influence de la concentration de dopage sur les propriétés électriques.

Données de l'étude

On considère un échantillon de silicium monocristallin dopé uniformément avec des atomes de phosphore. L'étude est réalisée à température ambiante (\(T = 300 \, \text{K}\)).

Fiche Technique (Silicium à 300 K)

Caractéristique	Symbole	Valeur	Unité
Concentration intrinsèque	\(n_i\)	\(1.0 \times 10^{10}\)	\(\text{cm}^{-3}\)
Mobilité des électrons	\(\mu_n\)	1350	\(\text{cm}^{2}/(\text{V} \cdot \text{s})\)
Mobilité des trous	\(\mu_p\)	450	\(\text{cm}^{2}/(\text{V} \cdot \text{s})\)
Charge élémentaire	\(q\)	\(1.602 \times 10^{-19}\)	\(\text{C}\)
Constante de Boltzmann	\(k_B\)	\(8.617 \times 10^{-5}\)	\(\text{eV/K}\)

Réseau de Silicium dopé au Phosphore (Type n)

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Concentration des atomes donneurs (Phosphore)	\(N_D\)	\(10^{16}\)	\(\text{cm}^{-3}\)
Température	\(T\)	300	\(\text{K}\)

Questions à traiter

Quelle est la concentration d'électrons libres (\(n\)) dans cet échantillon de silicium dopé à 300 K ? On supposera une ionisation complète des donneurs.
En utilisant la loi d'action de masse, quelle est la concentration de trous (\(p\)) dans cet échantillon ?
Comparer les concentrations \(n\) et \(p\). Quels sont les porteurs majoritaires et minoritaires ? Pourquoi qualifie-t-on ce semi-conducteur de type n ?
Calculer la conductivité électrique (\(\sigma\)) de cet échantillon de silicium dopé.
Si la concentration de dopage \(N_D\) était augmentée à \(10^{18} \, \text{cm}^{-3}\), comment évoluerait qualitativement la conductivité ? Expliquer brièvement.

Les bases sur le Dopage des Semi-conducteurs

Le dopage consiste à introduire des impuretés dans un semi-conducteur intrinsèque pour en contrôler les propriétés électriques. Pour obtenir un semi-conducteur de type n, on utilise des atomes donneursAtome d'impureté ayant plus d'électrons de valence que l'atome du semi-conducteur hôte (ex: P dans Si), capable de fournir un électron libre à la bande de conduction..

1. Semi-conducteur intrinsèque et extrinsèque
Dans le Si intrinsèque, la concentration d'électrons (\(n\)) est égale à celle des trous (\(p\)), et cette valeur commune est \(n_i\). \(n = p = n_i\). Après dopage, le matériau devient extrinsèqueSemi-conducteur dont les propriétés électriques sont dominées par les impuretés (dopants) introduites., et les concentrations \(n\) et \(p\) ne sont plus égales.

2. Dopage de Type n (avec donneurs)
Le phosphore (P), colonne V, a 5 électrons de valence. Introduit dans Si (colonne IV, 4 électrons de valence), 4 électrons participent aux liaisons covalentes, le 5ème est faiblement lié. À température ambiante, cet électron est facilement libéré dans la bande de conductionBande d'énergie où les électrons peuvent se déplacer librement, contribuant à la conduction électrique., augmentant la concentration d'électrons \(n\). L'atome P devient un ion positif \(P^+\). Si l'ionisation est complète (courant à T=300K pour des dopages modérés), la concentration d'électrons \(n\) est approximativement égale à la concentration des atomes donneurs \(N_D\). \[ n \approx N_D \]

3. Loi d'action de masse
Même dans un semi-conducteur dopé, à l'équilibre thermique, le produit des concentrations d'électrons et de trous reste constant et égal au carré de la concentration intrinsèque : \[ n \cdot p = n_i^2 \] Cette loi permet de calculer la concentration des porteurs minoritaires une fois celle des majoritaires connue.

4. Conductivité électrique (\(\sigma\))
La conductivité dépend de la concentration et de la mobilitéFacilité avec laquelle les porteurs de charge (électrons ou trous) se déplacent dans le matériau sous l'effet d'un champ électrique. des électrons et des trous : \[ \sigma = q (n \mu_n + p \mu_p) \] où \(q\) est la charge élémentaire, \(\mu_n\) la mobilité des électrons, et \(\mu_p\) la mobilité des trous. Dans un semi-conducteur de type n fortement dopé, \(n \gg p\), donc la conductivité est dominée par les électrons : \(\sigma \approx q n \mu_n\).

Correction : Dopage du Silicium (Type n) par le Phosphore

Question 1 : Concentration d'électrons libres (\(n\))

Principe

Dans un dopage de type n avec des atomes donneurs comme le phosphore, chaque atome donneur libère un électron dans la bande de conduction. Si l'ionisation est complète, la concentration d'électrons libres est essentiellement égale à la concentration des atomes donneurs introduits.

Mini-Cours

Le phosphore (groupe V) est un donneur pour le silicium (groupe IV). À 300 K, l'énergie thermique (\(k_B T \approx 26\,\text{meV}\)) est suffisante pour ioniser la quasi-totalité des atomes de phosphore, dont l'énergie d'ionisation dans Si est faible (environ 45 meV). L'ionisation complète signifie que chaque atome \(P\) a cédé son 5ème électron à la bande de conduction. La concentration d'électrons (\(n\)) est donc approximée par la concentration de donneurs (\(N_D\)).

Remarque Pédagogique

L'hypothèse d'ionisation complète est cruciale et généralement valide à température ambiante pour les dopants courants (P, As, B dans Si). À très basse température, certains donneurs pourraient ne pas être ionisés (phénomène de "gel des porteurs").

Normes

Pas de norme réglementaire directe ici, mais les calculs reposent sur les principes fondamentaux de la physique des semi-conducteurs établis dans la littérature scientifique (ex: livres de S. M. Sze, Neamen).

Formule(s)

Approximation de \(n\) pour type n (ionisation complète, \(N_D \gg n_i\))

n \approx N_D

Hypothèses

On suppose l'ionisation complète des atomes de phosphore à T = 300 K. On néglige la contribution des électrons générés par l'excitation thermique (intrinsèque) car \(N_D \gg n_i\).

Ionisation complète des donneurs (\(N_D^+ \approx N_D\)).
Neutralité électrique globale (\(n = p + N_D^+\)).
\(N_D \gg n_i\).

Donnée(s)

La concentration des atomes donneurs est la donnée principale pour cette question.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Concentration des donneurs (P)	\(N_D\)	\(10^{16}\)	\(\text{cm}^{-3}\)

Astuces

Pour vérifier si l'approximation \(n \approx N_D\) est valable, comparez \(N_D\) (\(10^{16}\)) à \(n_i\) (\(10^{10}\)). Comme \(10^{16}\) est un million de fois plus grand que \(10^{10}\), l'approximation est excellente.

Schéma (Avant les calculs)

Réseau Cristallin Si avec Donneur Phosphore

Calcul(s)

Concentration d'électrons \(n\)

\begin{aligned} n &\approx N_D \\ &= 10^{16} \, \text{cm}^{-3} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Bandes Simplifié (Type n)

Réflexions

La concentration d'électrons est directement fixée par le niveau de dopage. Elle est très supérieure à la concentration intrinsèque \(n_i\) (\(10^{10} \, \text{cm}^{-3}\)), confirmant que le dopage domine la génération de porteurs libres.

Points de vigilance

Ne pas confondre la concentration de dopants \(N_D\) avec la concentration intrinsèque \(n_i\). L'approximation \(n \approx N_D\) n'est pas toujours valide (ex: très faible dopage où \(N_D \sim n_i\), ou très haute température où \(n_i\) devient grand).

Points à retenir

Pour un dopage de type n (donneurs) avec ionisation complète et \(N_D \gg n_i\) : \(n \approx N_D\).

Le saviez-vous ?

Le contrôle précis des concentrations de dopage (parfois à des niveaux de 1 atome pour 100 millions d'atomes de Si) est l'un des exploits technologiques majeurs permettant la fabrication des circuits intégrés modernes. Des techniques comme l'implantation ionique sont utilisées.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La concentration d'électrons libres est \(n \approx 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\).

A vous de jouer

Quelle serait la concentration d'électrons \(n\) si la concentration de phosphore était \(N_D = 5 \times 10^{15} \, \text{cm}^{-3}\) ?

Question 2 : Concentration de trous (\(p\))

Principe

Même si les électrons sont devenus majoritaires à cause du dopage, des trous existent toujours (minoritairement) du fait de la génération thermique de paires électron-trou. Leur concentration est liée à celle des électrons et à la concentration intrinsèque par la loi d'action de masse, qui reste valide à l'équilibre thermique.

Mini-Cours

La loi d'action de masse stipule que, pour un semi-conducteur à l'équilibre thermique, le produit des concentrations d'électrons et de trous est constant et égal au carré de la concentration intrinsèque \(n_i\), quelle que soit la concentration de dopage : \(n \cdot p = n_i^2\). Elle découle de l'équilibre dynamique entre la génération thermique de paires électron-trou et leur recombinaison.

Remarque Pédagogique

Retenez que si le dopage augmente fortement la concentration d'un type de porteur (ici, \(n\)), il diminue nécessairement la concentration de l'autre type (\(p\)) pour maintenir le produit \(n \cdot p\) constant (égal à \(n_i^2\)). C'est un effet de "suppression" des porteurs minoritaires.

Normes

Ce calcul est basé sur les lois fondamentales de la physique statistique appliquées aux semi-conducteurs à l'équilibre thermique.

Formule(s)

Loi d'action de masse

n \cdot p = n_i^2

Expression de \(p\)

p = \frac{n_i^2}{n}

Hypothèses

L'échantillon est à l'équilibre thermique (pas d'injection externe de porteurs). La température est constante (300 K ici), ce qui fixe la valeur de \(n_i\). La concentration \(n\) calculée à la question 1 est correcte.

Donnée(s)

On utilise la concentration intrinsèque \(n_i\) et la concentration d'électrons \(n\) calculée à la question précédente.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Concentration intrinsèque	\(n_i\)	\(1.0 \times 10^{10}\)	\(\text{cm}^{-3}\)
Concentration d'électrons (calculée)	\(n\)	\(10^{16}\)	\(\text{cm}^{-3}\)

Astuces

Faites attention aux puissances de 10 : \((10^{10})^2 = 10^{20}\), et \(10^{20} / 10^{16} = 10^{20-16} = 10^4\). Une erreur fréquente est d'oublier d'élever \(n_i\) au carré.

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme de Bandes (Type n) - Focus sur p faible

Calcul(s)

Calcul de \(p\)

\begin{aligned} p &= \frac{n_i^2}{n} \\ &= \frac{(1.0 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3})^2}{10^{16} \, \text{cm}^{-3}} \\ &= \frac{10^{20} \, \text{cm}^{-6}}{10^{16} \, \text{cm}^{-3}} \\ &= 10^{4} \, \text{cm}^{-3} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Concentrations (Échelle Logarithmique)

Réflexions

La concentration de trous (\(p = 10^4 \, \text{cm}^{-3}\)) est extrêmement faible par rapport à la concentration d'électrons (\(n = 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\)) et même par rapport à la concentration intrinsèque (\(n_i = 10^{10} \, \text{cm}^{-3}\)). Le dopage de type n a massivement augmenté \(n\) et, par conséquent via la loi d'action de masse, a considérablement réduit \(p\).

Points de vigilance

Attention aux unités lors du calcul. Ici, tout est en \(\text{cm}^{-3}\), le calcul est direct. Vérifier que \(n_i^2\) est bien calculé \((10^{10})^2 = 10^{20}\). La loi d'action de masse n'est valide qu'à l'équilibre thermique.

Points à retenir

La loi d'action de masse \(n \cdot p = n_i^2\) est fondamentale et relie les concentrations des deux types de porteurs à l'équilibre thermique dans un semi-conducteur, qu'il soit intrinsèque ou extrinsèque.

Le saviez-vous ?

La concentration intrinsèque \(n_i\) est très sensible à la température. Pour le silicium, elle augmente exponentiellement avec la température. Par exemple, à 600 K (environ 327 °C), \(n_i\) atteint environ \(10^{16} \, \text{cm}^{-3}\). À cette température, un dopage de \(10^{16} \, \text{cm}^{-3}\) ne rendrait plus le matériau fortement extrinsèque.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La concentration de trous est \(p = 10^4 \, \text{cm}^{-3}\).

A vous de jouer

Si \(n_i\) était de \(2 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}\) (à une température plus élevée) et \(n\) restait \(10^{16} \, \text{cm}^{-3}\), quelle serait la concentration \(p\) ?

Question 3 : Porteurs majoritaires/minoritaires et type n

Principe

La comparaison directe des concentrations \(n\) et \(p\) permet d'identifier les porteurs qui dominent la conduction (majoritaires) et ceux qui y contribuent peu (minoritaires). Le type du semi-conducteur (n ou p) est défini par la nature des porteurs majoritaires.

Mini-Cours

La conductivité électrique \(\sigma = q (n \mu_n + p \mu_p)\). Les porteurs dont le produit (concentration \(\times\) mobilité) est le plus élevé dominent la conductivité et sont appelés majoritaires. Dans le cas du dopage par donneurs (type n), \(n\) augmente fortement tandis que \(p\) diminue. Comme \(\mu_n\) et \(\mu_p\) sont du même ordre de grandeur (dans Si, \(\mu_n \approx 3 \mu_p\)), l'augmentation de \(n\) le rend largement majoritaire. La désignation "type n" vient du fait que les porteurs majoritaires (électrons) ont une charge négative.

Remarque Pédagogique

La distinction majoritaire/minoritaire est essentielle pour comprendre le fonctionnement des composants comme les diodes (jonction p-n) et les transistors bipolaires ou MOS, où le comportement et le contrôle des porteurs minoritaires (leur injection, diffusion, recombinaison) sont souvent au cœur du fonctionnement du dispositif.

Normes

La terminologie (majoritaire, minoritaire, type n, type p) est standard et universellement adoptée en physique et ingénierie des semi-conducteurs.

Formule(s)

Pas de formule de calcul ici, mais une comparaison directe des concentrations.

Hypothèses

Les concentrations \(n\) et \(p\) calculées précédemment sont correctes et représentent la situation à l'équilibre thermique.

Donnée(s)

Résultats des questions précédentes utilisés pour la comparaison.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Concentration d'électrons	\(n\)	\(10^{16}\)	\(\text{cm}^{-3}\)
Concentration de trous	\(p\)	\(10^4\)	\(\text{cm}^{-3}\)

Astuces

Une différence de plusieurs ordres de grandeur entre \(n\) et \(p\) (ici, \(10^{12}\)) rend l'identification évidente. Si \(n\) et \(p\) étaient proches (ce qui arrive près de la compensation exacte ou à très haute température où \(n_i\) domine), la distinction serait moins marquée et le matériau se comporterait de manière quasi-intrinsèque.

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme de Bandes (Type n) - Position de EF

Calcul(s)

Comparaison \(n\) vs \(p\)

n = 10^{16} \, \text{cm}^{-3} \quad \text{vs} \quad p = 10^4 \, \text{cm}^{-3}

Rapport \(n/p\)

\frac{n}{p} = \frac{10^{16}}{10^4} = 10^{12}

On constate que \(n \gg p\).

Schéma (Après les calculs)

Populations Relatives des Porteurs (Type n)

Réflexions

Comme \(n \gg p\), les électrons sont les porteurs majoritaires et les trous sont les porteurs minoritaires. Un semi-conducteur où les électrons (charges négatives) sont majoritaires est qualifié de type n (n pour négatif).

Points de vigilance

Ne pas inverser les rôles. Dopage par donneurs (colonne V dans IV, comme P dans Si) \(\Rightarrow\) Type n \(\Rightarrow\) électrons majoritaires. Dopage par accepteurs (colonne III dans IV, comme B dans Si) \(\Rightarrow\) Type p \(\Rightarrow\) trous majoritaires.

Points à retenir

Type n : \(n > p\) (électrons majoritaires). Dopage par donneurs.
Type p : \(p > n\) (trous majoritaires). Dopage par accepteurs.

Le saviez-vous ?

Le concept de "trou" comme porteur de charge positive mobile, bien que contre-intuitif au début, est fondamental en physique des semi-conducteurs. Il représente l'absence d'un électron dans la bande de valence, et se déplace lorsque les électrons voisins comblent cette absence, donnant l'illusion d'une charge positive qui bouge.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Les électrons (\(n=10^{16} \, \text{cm}^{-3}\)) sont les porteurs majoritaires, les trous (\(p=10^4 \, \text{cm}^{-3}\)) sont minoritaires. Le semi-conducteur est donc de type n.

A vous de jouer

Si l'on avait dopé avec du Bore (accepteur) à \(N_A = 10^{17} \, \text{cm}^{-3}\), quels seraient les porteurs majoritaires ? (Répondez 'électrons' ou 'trous')

Question 4 : Calcul de la conductivité électrique (\(\sigma\))

Principe

La conductivité électrique mesure la capacité d'un matériau à laisser passer le courant électrique sous l'effet d'un champ électrique. Elle dépend de la quantité de porteurs de charge mobiles disponibles (concentrations \(n\) et \(p\)) et de leur facilité à se déplacer sous l'effet de ce champ (mobilités \(\mu_n\) et \(\mu_p\)).

Mini-Cours

Le courant de dérive dans un semi-conducteur est dû au mouvement des électrons et des trous sous l'effet d'un champ électrique \(\vec{E}\). La vitesse de dérive moyenne est \(\vec{v}_n = -\mu_n \vec{E}\) pour les électrons et \(\vec{v}_p = \mu_p \vec{E}\) pour les trous. La densité de courant totale est \(\vec{J} = \vec{J}_n + \vec{J}_p = (q n \mu_n + q p \mu_p) \vec{E}\). Par définition, \(\vec{J} = \sigma \vec{E}\), d'où l'expression de la conductivité \(\sigma = q (n \mu_n + p \mu_p)\).

Remarque Pédagogique

La conductivité est l'inverse de la résistivité (\(\rho = 1/\sigma\)). Connaître la conductivité permet de calculer la résistance \(R\) d'un échantillon de longueur \(L\) et de section \(A\) : \(R = \rho L / A = L / (\sigma A)\). C'est une propriété matérielle essentielle pour la conception de composants.

Normes

Les unités standard du Système International pour la conductivité sont les Siemens par mètre (S/m). Cependant, dans le domaine des semi-conducteurs, le S/cm est très couramment utilisé en raison des dimensions typiques et des valeurs rencontrées.

Formule(s)

Formule générale de la conductivité

\sigma = q (n \mu_n + p \mu_p)

Approximation pour type n fortement dopé (\(n \gg p \frac{\mu_p}{\mu_n}\))

\sigma \approx q n \mu_n

Hypothèses

Les valeurs de mobilité fournies (\(\mu_n=1350\), \(\mu_p=450 \, \text{cm}^2/(\text{V}\cdot\text{s})\)) sont considérées comme valides pour la concentration de dopage \(N_D=10^{16} \, \text{cm}^{-3}\) et la température T=300K. (En réalité, \(\mu_n\) diminue légèrement même à ce dopage). Le champ électrique appliqué est suffisamment faible pour rester dans le régime ohmique où la vitesse de dérive est proportionnelle au champ.

Donnée(s)

On utilise les concentrations calculées et les mobilités fournies dans l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge élémentaire	\(q\)	\(1.602 \times 10^{-19}\)	\(\text{C}\)
Concentration d'électrons	\(n\)	\(10^{16}\)	\(\text{cm}^{-3}\)
Mobilité des électrons	\(\mu_n\)	1350	\(\text{cm}^{2}/(\text{V} \cdot \text{s})\)
Concentration de trous	\(p\)	\(10^4\)	\(\text{cm}^{-3}\)
Mobilité des trous	\(\mu_p\)	450	\(\text{cm}^{2}/(\text{V} \cdot \text{s})\)

Astuces

Vérifier la cohérence des unités. \(q\) (C), \(n\) (\(\text{cm}^{-3}\)), \(\mu\) (\(\text{cm}^{2}/(\text{V} \cdot \text{s})\)). Le produit \(q n \mu\) donne des \(\text{C} \cdot \text{cm}^{-3} \cdot \text{cm}^{2} \cdot \text{V}^{-1} \cdot \text{s}^{-1} = (\text{C/s}) \cdot \text{cm}^{-1} \cdot \text{V}^{-1} = \text{A} \cdot \text{cm}^{-1} \cdot \text{V}^{-1} = (\text{A/V}) \cdot \text{cm}^{-1} = \text{S} \cdot \text{cm}^{-1}\). L'unité finale est donc bien S/cm (Siemens par centimètre).

Schéma (Avant les calculs)

Courant de Dérive dans Si Type n

Calcul(s)

Contribution des électrons (\(\sigma_n\))

\begin{aligned} \sigma_n &= q n \mu_n \\ &= (1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (10^{16} \, \text{cm}^{-3}) \times (1350 \, \text{cm}^2 \text{V}^{-1} \text{s}^{-1}) \end{aligned}

\begin{aligned} \sigma_n &\approx 1.602 \times 1.350 \times 10^{-19+16+3} \, \text{S/cm} \\ &\approx 2.1627 \times 10^{0} \, \text{S/cm} \\ &\approx 2.163 \, \text{S/cm} \end{aligned}

Contribution des trous (\(\sigma_p\))

\begin{aligned} \sigma_p &= q p \mu_p \\ &= (1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (10^{4} \, \text{cm}^{-3}) \times (450 \, \text{cm}^2 \text{V}^{-1} \text{s}^{-1}) \end{aligned}

\begin{aligned} \sigma_p &\approx 1.602 \times 0.450 \times 10^{-19+4+3} \, \text{S/cm} \\ &\approx 0.7209 \times 10^{-12} \, \text{S/cm} \\ &\approx 7.21 \times 10^{-13} \, \text{S/cm} \end{aligned}

Conductivité totale (\(\sigma\))

\begin{aligned} \sigma &= \sigma_n + \sigma_p \\ &\approx 2.163 \, \text{S/cm} + 7.21 \times 10^{-13} \, \text{S/cm} \\ &\approx 2.163 \, \text{S/cm} \end{aligned}

La contribution des trous est \( \approx 10^{12}\) fois plus faible que celle des électrons et est donc totalement négligeable. L'approximation \(\sigma \approx q n \mu_n\) est excellente ici.

Schéma (Après les calculs)

Contributions à la Conductivité (Échelle Log)

Réflexions

La conductivité \(\sigma \approx 2.16 \, \text{S/cm}\) est beaucoup plus élevée que celle du silicium intrinsèque (qui est de l'ordre de \(4 \times 10^{-6} \, \text{S/cm}\) à 300K, en utilisant \(n_i\) et les mobilités données). Le dopage a augmenté la conductivité d'un facteur d'environ \(5 \times 10^5\) (cinq cent mille fois). Cela montre l'efficacité du dopage pour transformer un matériau peu conducteur en un conducteur modéré.

Points de vigilance

Assurer la cohérence des unités (ici \(\text{cm}^{-3}\), \(\text{cm}^{2}/(\text{V} \cdot \text{s})\) donne S/cm). Ne pas oublier la charge élémentaire \(q\). Ne pas négliger la contribution des minoritaires si le dopage est faible ou si \(n\) et \(p\) sont du même ordre de grandeur (par exemple, proche de la compensation \(N_D \approx N_A\) ou à très haute température).

Points à retenir

La conductivité est donnée par \(\sigma = q (n \mu_n + p \mu_p)\). Pour le type n, elle est dominée par les électrons : \(\sigma \approx q n \mu_n\). Pour le type p, elle est dominée par les trous : \(\sigma \approx q p \mu_p\).

Le saviez-vous ?

La mesure de la conductivité (ou résistivité) est une technique standard pour déterminer la concentration de dopage dans un échantillon de semi-conducteur, en utilisant des courbes de calibration \(\sigma\) vs \(N_D\) (qui tiennent compte de la variation de \(\mu\) avec \(N_D\)). La méthode de mesure à quatre pointes est couramment employée pour cela.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La conductivité électrique de l'échantillon est \(\sigma \approx 2.16 \, \text{S/cm}\).

A vous de jouer

Recalculer la conductivité si \(N_D\) était \(5 \times 10^{15} \, \text{cm}^{-3}\) (en utilisant l'approximation \(\sigma \approx q n \mu_n\) et \(\mu_n=1350\)).

Question 5 : Influence d'une augmentation de \(N_D\)

Principe

La conductivité \(\sigma \approx q n \mu_n \approx q N_D \mu_n\). Augmenter le dopage \(N_D\) augmente directement le nombre de porteurs \(n\), ce qui tend à augmenter \(\sigma\). Cependant, une concentration plus élevée d'impuretés ionisées augmente la diffusion des porteurs et réduit leur mobilité \(\mu_n\), ce qui tend à diminuer \(\sigma\). L'effet net dépend de la balance entre ces deux phénomènes.

Mini-Cours

Lorsque la concentration de dopants (\(N_D\)) augmente :

La concentration des porteurs majoritaires (\(n\)) augmente approximativement linéairement (\(n \approx N_D\)). Cela favorise une augmentation de \(\sigma\).
La mobilité (\(\mu_n\)) diminue en raison de la diffusion accrue sur les impuretés ionisées. Cet effet devient de plus en plus important lorsque \(N_D\) dépasse environ \(10^{16}-10^{17} \, \text{cm}^{-3}\). Cette diminution de \(\mu_n\) freine l'augmentation de \(\sigma\).

Pour le silicium à 300 K, l'augmentation de \(n\) domine généralement la diminution de \(\mu_n\), donc \(\sigma\) continue d'augmenter avec \(N_D\) jusqu'à des niveaux de dopage très élevés (proches de la limite de solubilité), mais l'augmentation devient sous-linéaire.

Formule(s)

Approximation de la conductivité (type n)

\sigma \approx q n \mu_n \approx q N_D \mu_n(N_D)

On note \(\mu_n(N_D)\) pour souligner que la mobilité dépend de la concentration de dopage.

Analyse Qualitative

Si \(N_D\) passe de \(10^{16} \, \text{cm}^{-3}\) à \(10^{18} \, \text{cm}^{-3}\) :

\(n\) est multiplié par 100 (\(n \approx N_D\)).
\(\mu_n\) va diminuer. À \(N_D = 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\), \(\mu_n \approx 1350 \, \text{cm}^2/(\text{V}\cdot\text{s})\). À \(N_D = 10^{18} \, \text{cm}^{-3}\), la mobilité \(\mu_n\) chute à environ \(500-700 \, \text{cm}^2/(\text{V}\cdot\text{s})\) (valeur indicative).
La conductivité \(\sigma \approx q N_D \mu_n\). Le produit \(N_D \mu_n\) passe de \(\approx 10^{16} \times 1350\) à \(\approx 10^{18} \times (500 \text{ à } 700)\).
Le facteur d'augmentation de \(\sigma\) sera donc d'environ \((10^{18} \times 600) / (10^{16} \times 1350) = 100 \times (600/1350) \approx 100 \times 0.44 \approx 44\).

La conductivité \(\sigma\) va donc globalement augmenter significativement (par un facteur d'environ 40-50), mais bien moins que le facteur 100 d'augmentation de \(N_D\), à cause de la réduction de mobilité.

Réflexions

Il existe un compromis entre augmenter le nombre de porteurs et maintenir une bonne mobilité. Pour des applications nécessitant une très haute conductivité (faible résistance), comme les contacts ohmiques ou les régions d'émetteur de transistors bipolaires, on utilise des dopages très élevés (\(N_D > 10^{19} \, \text{cm}^{-3}\)). Pour des applications où la vitesse de déplacement des porteurs est cruciale (transistors rapides), on peut préférer un dopage plus modéré pour conserver une mobilité élevée.

Points de vigilance

Ne pas oublier que la mobilité \(\mu_n\) diminue lorsque \(N_D\) augmente fortement. L'approximation \(\sigma \propto N_D\) n'est valable qu'à faible dopage. À très fort dopage, des effets supplémentaires peuvent apparaître (bandes d'impuretés, dopage dégénéré) qui rendent les modèles simples moins précis.

Points à retenir

La mobilité des porteurs diminue lorsque la concentration de dopage augmente (principalement à cause de la diffusion par les impuretés ionisées). La conductivité augmente avec le dopage, mais de manière sous-linéaire à forte concentration.

Résultat Final

La conductivité augmentera car l'augmentation de la concentration d'électrons (\(n \approx N_D\)) l'emporte sur la diminution de leur mobilité (\(\mu_n\)). L'augmentation ne sera cependant pas proportionnelle à \(N_D\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Concept : Effet du dopage sur \(n\) et \(\mu_n\).
Tendance : Augmentation de \(N_D \Rightarrow\) Augmentation de \(n\), Diminution de \(\mu_n\).
Résultat : \(\sigma\) augmente (effet de \(n\) dominant), mais moins que proportionnellement à \(N_D\).

Outil Interactif : Simulateur de Conductivité

Explorez comment la concentration de dopage (N_D) et la température (T) influencent les concentrations de porteurs et la conductivité du silicium dopé au phosphore.

Paramètres d'Entrée

Log₁₀(Concentration Dopage N_D) (atomes/cm³) 10¹⁶ cm⁻³

Température T (K) 300 K

Résultats Clés (Approximations)

Concentration intrinsèque n_i (cm⁻³) -

Concentration électrons n (cm⁻³) -

Concentration trous p (cm⁻³) -

Conductivité σ (S/cm) -

Glossaire

Bande de conduction: Bande d'énergie dans un solide où les électrons peuvent se déplacer librement et contribuer à la conduction électrique.
Bande de valence: Bande d'énergie la plus élevée contenant des électrons à T=0K. Les électrons doivent la quitter pour participer à la conduction.
Conductivité électrique (\(\sigma\)): Mesure de la capacité d'un matériau à conduire le courant électrique. Unité : Siemens par mètre (S/m) ou S/cm.
Dopage: Introduction intentionnelle d'impuretés dans un semi-conducteur pur pour modifier ses propriétés électriques.
Donneur: Atome d'impureté (ex: P dans Si) qui fournit un électron supplémentaire à la bande de conduction, créant un semi-conducteur de type n.
Loi d'action de masse: À l'équilibre thermique, le produit des concentrations d'électrons et de trous est constant : \(n \cdot p = n_i^2\).
Mobilité (\(\mu\)): Facilité avec laquelle les porteurs de charge (électrons ou trous) se déplacent dans le matériau sous l'effet d'un champ électrique. Unité : cm²/(V·s).
Porteurs majoritaires/minoritaires: Dans un semi-conducteur dopé, les porteurs de charge dont la concentration est la plus élevée (majoritaires) ou la plus faible (minoritaires).
Semi-conducteur: Matériau (ex: Si, Ge) dont la conductivité électrique est intermédiaire entre celle d'un conducteur et d'un isolant, et qui peut être contrôlée par dopage ou température.
Semi-conducteur extrinsèque: Semi-conducteur dont les propriétés électriques sont déterminées par les dopants introduits (type n ou p).
Semi-conducteur intrinsèque: Semi-conducteur pur où la concentration d'électrons est égale à la concentration de trous (\(n=p=n_i\)).
Type n / Type p: Type de semi-conducteur extrinsèque où les porteurs majoritaires sont respectivement les électrons (négatifs, type n) ou les trous (positifs, type p).

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique (Silicium à 300 K)

Réseau de Silicium dopé au Phosphore (Type n)

Questions à traiter

Les bases sur le Dopage des Semi-conducteurs

Correction : Dopage du Silicium (Type n) par le Phosphore

Question 1 : Concentration d'électrons libres (\(n\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Réseau Cristallin Si avec Donneur Phosphore

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Bandes Simplifié (Type n)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Concentration de trous (\(p\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme de Bandes (Type n) - Focus sur p faible

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Concentrations (Échelle Logarithmique)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Porteurs majoritaires/minoritaires et type n

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme de Bandes (Type n) - Position de EF

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Populations Relatives des Porteurs (Type n)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : Calcul de la conductivité électrique (\(\sigma\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces