Analyse Atomique de l’Andalousite
Contexte : Du minéral à l'atome, le cœur de la chimie du solide.
L'andalousite, de formule \(\text{Al}_2\text{SiO}_5\), est un minéral silicaté d'aluminium important en géologie comme indicateur des conditions de pression et de température, et en industrie pour la fabrication de matériaux réfractaires. La chimie du solide nous permet de relier les propriétés macroscopiques d'un matériau, comme sa densité, à son arrangement atomique à l'échelle microscopique. Cet exercice propose de décomposer l'andalousite pour en extraire des informations fondamentales : sa composition élémentaire, sa masse molaire, et les caractéristiques de sa maille élémentaireLa maille élémentaire est le plus petit motif géométrique qui, par répétition périodique dans les trois dimensions, permet de reconstituer l'ensemble du cristal., le "bloc de construction" du cristal.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application des concepts de base de la stœchiométrie et de la cristallographie. Nous allons partir d'une simple formule chimique pour calculer des propriétés quantitatives (masse molaire, pourcentages massiques) et des caractéristiques de la structure cristalline (nombre d'atomes par maille, densité théorique). C'est une démarche essentielle pour tout chimiste ou ingénieur des matériaux qui cherche à comprendre et à prédire le comportement d'un solide.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la masse molaire d'un composé à partir de sa formule chimique.
- Déterminer la composition centésimale massique d'un minéral.
- Comprendre la relation entre la formule chimique et le contenu d'une maille élémentaire.
- Calculer la densité théorique d'un cristal à partir des données de sa maille.
- Manipuler le nombre d'Avogadro et les unités de la cristallographie (g/mol, cm³, etc.).
Données de l'étude
Représentation schématique d'une maille élémentaire
| Constante / Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse molaire de l'Aluminium | \(M(\text{Al})\) | 26.98 | \(\text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\) |
| Masse molaire du Silicium | \(M(\text{Si})\) | 28.09 | \(\text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\) |
| Masse molaire de l'Oxygène | \(M(\text{O})\) | 16.00 | \(\text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\) |
| Nombre d'Avogadro | \(N_A\) | \(6.022 \times 10^{23}\) | \(\text{mol}^{-1}\) |
Questions à traiter
- Calculer la masse molaire de l'andalousite (\(\text{Al}_2\text{SiO}_5\)).
- Déterminer la composition centésimale massique (ou pourcentage en masse) de chaque élément (Al, Si, O) dans l'andalousite.
- Calculer le nombre d'atomes de chaque élément (Al, Si, O) contenus dans une maille élémentaire.
- Calculer la masse volumique (densité) théorique \(\rho\) de l'andalousite en \(\text{g} \cdot \text{cm}^{-3}\).
Les bases de la Chimie du Solide
Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés.
1. La Masse Molaire d'un Composé :
La masse molaire (\(M\)) d'un composé est la somme des masses molaires de tous les atomes présents dans sa formule chimique, chacune multipliée par son indice stœchiométrique. C'est la masse d'une mole de ce composé.
2. La Composition Centésimale Massique :
Le pourcentage en masse d'un élément X dans un composé est le rapport de la masse totale de cet élément dans une mole du composé sur la masse molaire totale du composé, le tout multiplié par 100.
\[ \% \text{X} = \frac{n \times M(\text{X})}{M(\text{composé})} \times 100 \]
où \(n\) est le nombre d'atomes de X dans la formule.
3. La Densité Théorique d'un Cristal :
La densité (\(\rho\)) est la masse par unité de volume. Pour un cristal, on peut la calculer en considérant le volume de la maille élémentaire (\(V\)) et la masse qu'elle contient. Cette masse est celle des \(Z\) motifs \(\text{Al}_2\text{SiO}_5\) présents dans la maille. La formule est :
\[ \rho = \frac{\text{masse de la maille}}{\text{volume de la maille}} = \frac{Z \times M}{V \times N_A} \]
Correction : Analyse Atomique de l’Andalousite
Question 1 : Calculer la masse molaire de l'andalousite
Principe (le concept chimique)
La masse molaire d'une substance est une propriété intrinsèque qui représente la masse d'une mole (soit \(6.022 \times 10^{23}\) unités) de cette substance. Pour un composé chimique, on la calcule en additionnant les masses molaires de chaque atome constituant, en tenant compte de leur nombre respectif indiqué par les indices dans la formule chimique.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La loi de la conservation de la masse stipule que la masse totale d'un système fermé reste constante. À l'échelle moléculaire, cela signifie que la masse d'une molécule (ou d'une unité formulaire) est simplement la somme des masses de ses atomes. En passant à l'échelle molaire via le nombre d'Avogadro, ce principe s'applique directement au calcul des masses molaires.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est le calcul le plus fondamental en chimie. Assurez-vous de bien lire la formule chimique. Une erreur sur un indice (par exemple, lire \(\text{AlSiO}_5\) au lieu de \(\text{Al}_2\text{SiO}_5\)) est une source d'erreur courante qui se répercutera sur toutes les questions suivantes. Prenez l'habitude de lister chaque élément et son indice avant de commencer le calcul.
Normes (la référence réglementaire)
Les masses molaires atomiques des éléments sont des valeurs standardisées internationalement par l'IUPAC, basées sur la masse de l'isotope Carbone-12. Elles sont périodiquement révisées pour une précision accrue et sont disponibles dans le Tableau Périodique des Éléments.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour un composé de formule \(\text{A}_a\text{B}_b\text{C}_c\), la masse molaire \(M\) est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise les masses molaires atomiques fournies dans l'énoncé, qui sont des moyennes pondérées des masses des isotopes naturels de chaque élément.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Formule : \(\text{Al}_2\text{SiO}_5\)
- \(M(\text{Al}) = 26.98 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\)
- \(M(\text{Si}) = 28.09 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\)
- \(M(\text{O}) = 16.00 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour éviter les erreurs de calcul, commencez par calculer la contribution de chaque élément séparément avant de faire la somme finale. Par exemple : (2 × 26.98) puis (1 × 28.09) puis (5 × 16.00). Ensuite, additionnez ces trois résultats.
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la Formule
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule en sommant les contributions de chaque élément.
Schéma (Après les calculs)
Masse Molaire Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une mole d'andalousite, soit \(6.022 \times 10^{23}\) unités de \(\text{Al}_2\text{SiO}_5\), a une masse de 162.05 grammes. Cette valeur est la pierre angulaire pour tous les calculs stœchiométriques ultérieurs, notamment pour convertir des masses en quantités de matière (moles) et vice-versa.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est une faute de frappe sur la calculatrice ou une mauvaise lecture des indices. Vérifiez toujours que vous avez bien pris en compte tous les atomes (ici 2 Al, 1 Si, 5 O, soit 8 atomes au total par unité formulaire).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La masse molaire d'un composé est la somme des masses molaires de ses atomes.
- Les indices stœchiométriques de la formule chimique sont cruciaux.
- L'unité est le gramme par mole (\(\text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'andalousite, la sillimanite et la kyanite (ou disthène) sont des polymorphes : ils ont tous la même formule chimique \(\text{Al}_2\text{SiO}_5\) et donc la même masse molaire, mais leurs atomes sont arrangés différemment dans l'espace. Cette différence de structure cristalline leur confère des densités et des propriétés physiques très différentes.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez la masse molaire du zircon, \(\text{ZrSiO}_4\), sachant que \(M(\text{Zr}) = 91.22 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\).
Question 2 : Déterminer la composition centésimale massique
Principe (le concept chimique)
La composition centésimale massique exprime la proportion, en masse, de chaque élément au sein d'un composé. Elle est calculée en rapportant la masse totale de chaque élément dans une mole du composé à la masse molaire totale du composé. La somme des pourcentages massiques de tous les éléments doit être égale à 100%.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Ce concept découle directement de la loi des proportions définies de Proust, qui stipule qu'un composé chimique pur contient toujours les mêmes éléments dans les mêmes proportions en masse. Cette composition est indépendante de la source du composé. Ainsi, 100 grammes d'andalousite contiendront toujours la même masse d'aluminium, de silicium et d'oxygène.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est un excellent moyen de vérifier votre calcul de masse molaire de la question précédente. Si, après avoir calculé tous les pourcentages, leur somme n'est pas très proche de 100% (par exemple, 99.9% à 100.1% en raison des arrondis), il y a probablement une erreur soit dans le calcul de la masse molaire, soit dans l'un des calculs de pourcentage.
Normes (la référence réglementaire)
En chimie analytique, la détermination expérimentale de la composition centésimale est une étape fondamentale pour identifier un composé inconnu. Des techniques comme l'analyse élémentaire par combustion ou la spectrométrie de masse permettent de mesurer ces pourcentages, qui sont ensuite comparés aux valeurs théoriques calculées à partir de formules chimiques possibles.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour un élément X dans un composé :
où \(n\) est l'indice stœchiométrique de l'élément X.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le composé est pur et que sa formule stœchiométrique \(\text{Al}_2\text{SiO}_5\) est exacte.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Masse molaire de l'andalousite : \(162.05 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\) (calcul Q1)
- Contribution de l'Aluminium (2 atomes) : \(53.96 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\)
- Contribution du Silicium (1 atome) : \(28.09 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\)
- Contribution de l'Oxygène (5 atomes) : \(80.00 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Comme vous avez déjà calculé les contributions de chaque élément pour la masse molaire, vous n'avez plus qu'à diviser chacune de ces contributions par la masse molaire totale et multiplier par 100. Cela vous évite de refaire les multiplications.
Schéma (Avant les calculs)
Répartition de la Masse Molaire
Calcul(s) (l'application numérique)
Pour l'Aluminium :
Pour le Silicium :
Pour l'Oxygène :
Vérification : \(33.30 + 17.33 + 49.37 = 100.00 \, \%\)
Schéma (Après les calculs)
Composition Massique
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'andalousite est composée, en masse, d'environ un tiers d'aluminium et la moitié d'oxygène, le reste étant du silicium. Cette information est capitale en métallurgie extractive (pour savoir combien de minerai traiter pour obtenir une tonne d'aluminium) ou en science des matériaux (pour formuler des céramiques avec des rapports Al/Si/O précis).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
N'oubliez pas de multiplier la masse molaire de l'élément par son indice stœchiométrique dans le numérateur. Une erreur fréquente est de ne prendre que la masse d'un seul atome (par exemple, utiliser 26.98 au lieu de 53.96 pour l'aluminium). Assurez-vous également de diviser par la masse molaire totale du composé, et non par une autre valeur.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le pourcentage massique est le rapport de la masse d'un élément sur la masse totale.
- La somme de tous les pourcentages doit faire 100%.
- Ce calcul permet de passer de la formule atomique à la composition macroscopique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En géochimie, les compositions des roches et des minéraux sont presque toujours exprimées en pourcentages massiques d'oxydes (ex: % \(\text{Al}_2\text{O}_3\), % \(\text{SiO}_2\)) plutôt qu'en pourcentages d'éléments. C'est un héritage des anciennes méthodes d'analyse chimique par voie humide.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel est le pourcentage massique de fer (Fe) dans l'hématite, \(\text{Fe}_2\text{O}_3\) ? (\(M(\text{Fe}) = 55.85 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\))
Question 3 : Calculer le nombre d'atomes dans une maille
Principe (le concept chimique)
La maille élémentaire est le motif de base qui se répète pour former tout le cristal. Son contenu atomique doit donc respecter la stœchiométrie globale du composé. Si une maille contient \(Z\) unités formulaires (ou motifs) d'un composé, alors le nombre total d'un atome spécifique dans cette maille est égal à \(Z\) multiplié par le nombre de cet atome dans la formule chimique.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le nombre de motifs par maille, \(Z\), dépend du type de réseau cristallin. Pour un réseau cubique simple, \(Z=1\). Pour un cubique centré, \(Z=2\), et pour un cubique à faces centrées, \(Z=4\). La valeur de \(Z\) est déterminée expérimentalement par diffraction des rayons X. Connaître \(Z\) et la formule chimique permet de "compter" les atomes dans la brique de base du cristal.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ne confondez pas le nombre d'atomes dans la formule chimique (\(\text{Al}_2\text{SiO}_5\)) avec le nombre d'atomes dans la maille. La maille est une "boîte" qui peut contenir plusieurs de ces unités formulaires. La variable \(Z\) est le facteur multiplicatif qui fait le lien entre les deux échelles.
Normes (la référence réglementaire)
Les données cristallographiques, y compris la valeur de Z et les dimensions de la maille, sont répertoriées dans des bases de données internationales comme l'Inorganic Crystal Structure Database (ICSD). Ces données sont essentielles pour la modélisation des matériaux et la compréhension de leurs propriétés.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour un atome X dans un composé de formule \(\text{A}_a\text{B}_b\text{X}_n\dots\):
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la structure cristalline est parfaite, sans défauts ni lacunes, et que les données fournies (\(Z=4\)) sont exactes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Formule : \(\text{Al}_2\text{SiO}_5\)
- Nombre de motifs par maille, \(Z = 4\)
Astuces(Pour aller plus vite)
C'est un calcul direct. Il suffit de multiplier chaque indice de la formule chimique par Z. C'est une simple mise à l'échelle de la formule moléculaire vers la maille cristalline.
Schéma (Avant les calculs)
De la Formule à la Maille
Calcul(s) (l'application numérique)
Nombre d'atomes d'Aluminium :
Nombre d'atomes de Silicium :
Nombre d'atomes d'Oxygène :
Schéma (Après les calculs)
Contenu de la Maille
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Chaque "brique" élémentaire du cristal d'andalousite contient exactement 8 atomes d'aluminium, 4 de silicium et 20 d'oxygène. Ces nombres entiers sont fondamentaux. Ils ne représentent pas nécessairement des atomes entiers situés *à l'intérieur* de la boîte (certains peuvent être sur les faces ou les sommets et partagés avec les mailles voisines), mais la somme de toutes ces fractions d'atomes équivaut à ces nombres entiers.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre \(Z\), le nombre de motifs par maille, avec le nombre d'atomes. \(Z\) est un nombre sans unité qui indique combien de fois la formule chimique "tient" dans la maille. L'erreur serait d'oublier de multiplier par \(Z\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La maille élémentaire contient un nombre entier \(Z\) de motifs (unités formulaires).
- Le nombre d'atomes d'un élément dans la maille est \(Z\) fois son indice dans la formule.
- Ceci permet de connaître la composition exacte de la "brique" de base du cristal.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans le diamant, la maille cubique à faces centrées contient des atomes de carbone aux 8 sommets, aux 6 centres des faces, mais aussi 4 atomes supplémentaires à l'intérieur de la maille. Le calcul (8×1/8 + 6×1/2 + 4×1) donne \(Z=8\) atomes de carbone par maille.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Le sel de table (NaCl) cristallise dans une structure où la maille contient \(Z=4\) motifs NaCl. Combien y a-t-il d'ions \(\text{Na}^+\) dans une maille ?
Question 4 : Calculer la masse volumique (densité) théorique
Principe (le concept chimique)
La masse volumique (ou densité) d'un matériau est sa masse par unité de volume. Au niveau atomique, on peut la calculer de manière très précise en considérant la maille élémentaire. Il suffit de calculer la masse totale de tous les atomes contenus dans une seule maille et de la diviser par le volume de cette même maille. C'est un lien direct entre le monde microscopique (atomes, maille) et une propriété macroscopique mesurable (la densité).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La masse de la maille peut être calculée de deux manières équivalentes : soit en sommant les masses des atomes individuels (calculées à partir de la masse molaire et du nombre d'Avogadro), soit en calculant la masse de \(Z\) motifs. La deuxième méthode est plus directe : la masse de \(Z\) motifs est \(Z\) fois la masse molaire du composé, le tout divisé par le nombre d'Avogadro pour passer de la masse d'une mole à la masse de \(Z\) motifs.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La cohérence des unités est absolument critique dans ce calcul. La masse molaire est en \(\text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\), le volume est souvent donné en \(\text{Å}^3\) ou \(\text{nm}^3\) et doit être converti en \(\text{cm}^3\) pour obtenir une densité en \(\text{g} \cdot \text{cm}^{-3}\). Le nombre d'Avogadro (\(\text{mol}^{-1}\)) est la clé qui permet de faire le pont entre ces unités. Prenez le temps de poser l'équation avec les unités pour vérifier que tout s'annule correctement.
Normes (la référence réglementaire)
La densité calculée à partir des données de diffraction des rayons X est appelée "densité cristallographique". C'est la valeur la plus précise possible pour un cristal parfait. Elle sert de référence pour les ingénieurs des matériaux, qui peuvent la comparer à la densité mesurée d'un échantillon réel pour évaluer sa pureté ou sa porosité.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule de la masse volumique théorique \(\rho\) est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le calcul suppose un cristal parfait, sans défauts, impuretés ou vides, ce qui pourrait diminuer la densité mesurée expérimentalement.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Nombre de motifs par maille, \(Z = 4\)
- Masse molaire de \(\text{Al}_2\text{SiO}_5\), \(M = 162.05 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\)
- Volume de la maille, \(V = 1.62 \times 10^{-22} \, \text{cm}^3\)
- Nombre d'Avogadro, \(N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Calculez d'abord le numérateur (\(Z \times M\)) puis le dénominateur (\(V \times N_A\)) séparément avant de faire la division finale. Cela réduit le risque d'erreur en entrant une longue série de chiffres et d'exposants dans la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Équation de la Densité
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule de la densité.
Schéma (Après les calculs)
Densité Théorique
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La densité théorique calculée est de 3.18 \(\text{g} \cdot \text{cm}^{-3}\). Cette valeur est en excellent accord avec les densités mesurées expérimentalement pour des échantillons d'andalousite de haute pureté (généralement entre 3.13 et 3.20 \(\text{g} \cdot \text{cm}^{-3}\)). Cela valide le modèle de la maille cristalline et les données utilisées.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La gestion des puissances de 10 est le principal risque d'erreur. Assurez-vous de bien manipuler les exposants, en particulier lors de la conversion des unités de volume si nécessaire (par exemple, \(1 \text{ nm} = 10^{-7} \text{ cm}\), donc \(1 \text{ nm}^3 = (10^{-7})^3 = 10^{-21} \text{ cm}^3\)).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La densité relie le contenu de la maille (\(Z \times M\)) à sa taille (\(V\)).
- Le nombre d'Avogadro (\(N_A\)) est essentiel pour passer de la mole à l'échelle atomique.
- La cohérence des unités est primordiale pour un calcul correct.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La densité est une propriété clé pour la séparation des minéraux. Dans l'exploitation minière, on utilise des techniques de séparation par gravité (comme les spirales ou les tables à secousses) qui exploitent les différences de densité entre le minéral d'intérêt et la gangue (la roche sans valeur qui l'entoure).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Le fer cristallise dans une maille cubique centrée de volume \(V = 2.38 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3\) avec \(Z=2\) atomes par maille. Calculez sa densité en \(\text{g} \cdot \text{cm}^{-3}\).
Outil Interactif : Calculateur de Densité
Modifiez les paramètres de la maille pour voir leur influence sur la densité théorique.
Paramètres de la Maille
Résultat
Le Saviez-Vous ?
Une variété d'andalousite appelée "chiastolite" présente des inclusions de carbone ou d'argile qui forment un motif en croix noire visible en coupe. Pour cette raison, elle a été utilisée pendant des siècles comme amulette ou pierre précieuse, parfois appelée "pierre de croix".
Foire Aux Questions (FAQ)
Comment détermine-t-on expérimentalement le volume de la maille ?
Le volume de la maille est déterminé par une technique appelée diffraction des rayons X (DRX) sur un monocristal. En analysant les angles sous lesquels les rayons X sont diffractés par les plans d'atomes du cristal (loi de Bragg), on peut calculer avec une très grande précision les dimensions de la maille élémentaire (longueurs des côtés a, b, c et angles α, β, γ) et donc son volume.
Est-ce que la densité d'un matériau change avec la température ?
Oui. En général, les solides se dilatent lorsqu'ils sont chauffés. Cela signifie que le volume de la maille élémentaire augmente avec la température. Comme la masse de la maille reste constante, la densité (masse/volume) diminue lorsque la température augmente. Cet effet, bien que faible pour les solides, est crucial en ingénierie de haute précision.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la masse molaire d'un composé double, mais que son volume de maille et Z restent constants, sa densité...
2. Le quartz a pour formule \(\text{SiO}_2\). Quel est son pourcentage massique en silicium ?
- Maille Élémentaire
- Le plus petit volume parallélépipédique d'un cristal qui, par simple translation le long de ses arêtes, permet de reconstituer l'ensemble de la structure cristalline.
- Masse Molaire
- Masse d'une mole (\(6.022 \times 10^{23}\) particules) d'une substance. Elle est exprimée en grammes par mole (\(\text{g} \cdot \text{mol}^{-1}\)).
- Densité Théorique
- Masse volumique d'un matériau calculée à partir de ses données cristallographiques (contenu et volume de la maille), en supposant un cristal parfait.
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