Etude de Chimie

Calcul de la Compacité Atomique

Calcul de la Compacité Atomique en Chimie Inorganique

Calcul de la Compacité Atomique

Comprendre la Compacité Atomique

La compacité atomique (ou facteur de remplissage atomique, APF en anglais) est un concept fondamental en cristallographie et en science des matériaux. Elle représente la fraction du volume d'une maille cristalline qui est occupée par les atomes, en supposant que les atomes sont des sphères rigides qui se touchent. C'est une mesure de l'efficacité avec laquelle les atomes sont "empilés" dans une structure cristalline donnée. Une compacité élevée indique un arrangement dense des atomes. Ce paramètre influence de nombreuses propriétés des matériaux, telles que leur densité, leur module d'élasticité et leur comportement à la déformation. Cet exercice se concentre sur le calcul de la compacité pour une structure cubique à faces centrées (CFC).

Données de l'étude

On considère un métal qui cristallise dans une structure cubique à faces centrées (CFC).

Caractéristiques Atomiques et Cristallines :

  • Type de structure cristalline : Cubique à Faces Centrées (CFC)
  • On modélise les atomes comme des sphères rigides de rayon \(R\).
Schéma : Maille Élémentaire d'une Structure Cubique à Faces Centrées (CFC)
a 4R Maille Élémentaire CFC

Schéma d'une maille cubique à faces centrées (CFC) montrant les positions des atomes.

Questions à traiter

  1. Déterminer le nombre d'atomes effectif par maille élémentaire (\(N\)) pour une structure CFC.
  2. Exprimer le paramètre de maille (\(a\)) en fonction du rayon atomique (\(R\)) pour une structure CFC. (Indice : considérer la diagonale d'une face du cube).
  3. Calculer le volume total occupé par les atomes dans une maille élémentaire (\(V_{\text{atomes}}\)) en fonction de \(R\).
  4. Calculer le volume de la maille élémentaire cubique (\(V_{\text{maille}}\)) en fonction de \(R\).
  5. Calculer la compacité atomique (APF) pour la structure CFC.
  6. Quelle est la signification de la valeur de compacité obtenue ? Est-ce un empilement dense ?

Correction : Calcul de la Compacité Atomique

Question 1 : Nombre d'atomes effectif par maille (\(N\)) pour une structure CFC

Principe :

Dans une structure CFC, il y a des atomes aux sommets du cube et au centre de chaque face. Chaque atome de sommet est partagé par 8 mailles, et chaque atome de face est partagé par 2 mailles.

Calcul :

Nombre d'atomes aux sommets : \(8 \, \text{sommets} \times \frac{1}{8} \, \text{atome/sommet} = 1 \, \text{atome}\)

Nombre d'atomes aux centres des faces : \(6 \, \text{faces} \times \frac{1}{2} \, \text{atome/face} = 3 \, \text{atomes}\)

\[ \begin{aligned} N &= (8 \times \frac{1}{8}) + (6 \times \frac{1}{2}) \\ &= 1 + 3 \\ &= 4 \, \text{atomes/maille} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le nombre d'atomes effectif par maille CFC est \(N = 4\).

Question 2 : Paramètre de maille (\(a\)) en fonction du rayon atomique (\(R\))

Principe :

Dans une structure CFC, les atomes se touchent le long de la diagonale d'une face du cube. La longueur de cette diagonale est égale à \(4R\). Par le théorème de Pythagore, la diagonale d'une face d'un cube de côté \(a\) est \(a\sqrt{2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[(a\sqrt{2})^2 = a^2 + a^2 \Rightarrow \text{Diagonale de face} = a\sqrt{2}\]
\[a\sqrt{2} = 4R\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} a &= \frac{4R}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{4R\sqrt{2}}{2} \\ &= 2R\sqrt{2} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le paramètre de maille pour une structure CFC est \(a = 2R\sqrt{2}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Dans une structure cubique simple (CS), les atomes se touchent le long de :

Question 3 : Volume total occupé par les atomes dans une maille (\(V_{\text{atomes}}\))

Principe :

Le volume total occupé par les atomes est le nombre d'atomes par maille multiplié par le volume d'un seul atome (modélisé comme une sphère).

Formule(s) utilisée(s) :

Volume d'une sphère : \(V_{\text{sphère}} = \frac{4}{3}\pi R^3\)

\[V_{\text{atomes}} = N \times V_{\text{sphère}} = N \times \frac{4}{3}\pi R^3\]
Données spécifiques :
  • Nombre d'atomes par maille (\(N\)) : \(4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{atomes}} &= 4 \times \frac{4}{3}\pi R^3 \\ &= \frac{16}{3}\pi R^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le volume total occupé par les atomes dans une maille CFC est \(V_{\text{atomes}} = \frac{16}{3}\pi R^3\).

Question 4 : Volume de la maille élémentaire cubique (\(V_{\text{maille}}\))

Principe :

Le volume d'une maille cubique est simplement le cube de son paramètre de maille \(a\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{maille}} = a^3\]
Données spécifiques :
  • \(a = 2R\sqrt{2}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{maille}} &= (2R\sqrt{2})^3 \\ &= (2)^3 \times R^3 \times (\sqrt{2})^3 \\ &= 8 \times R^3 \times 2\sqrt{2} \\ &= 16\sqrt{2} R^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le volume de la maille élémentaire CFC est \(V_{\text{maille}} = 16\sqrt{2} R^3\).

Question 5 : Calcul de la compacité atomique (APF)

Principe :

La compacité atomique est le rapport du volume total occupé par les atomes dans la maille au volume total de la maille.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{APF} = \frac{V_{\text{atomes}}}{V_{\text{maille}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{atomes}} = \frac{16}{3}\pi R^3\)
  • \(V_{\text{maille}} = 16\sqrt{2} R^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{APF} &= \frac{\frac{16}{3}\pi R^3}{16\sqrt{2} R^3} \\ &= \frac{16\pi R^3}{3 \times 16\sqrt{2} R^3} \\ &= \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \\ &\approx \frac{\pi}{3 \times 1.41421356} \\ &\approx \frac{\pi}{4.24264068} \\ &\approx 0.74048 \end{aligned} \]

En pourcentage : \(0.74048 \times 100\% \approx 74.05\%\).

Résultat Question 5 : La compacité atomique pour une structure CFC est \(\text{APF} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74\) (ou \(74\%\)).

Quiz Intermédiaire 2 : La compacité atomique dépend-elle du rayon atomique \(R\) ?

Question 6 : Signification de la valeur de compacité obtenue

Principe :

La valeur de la compacité indique l'efficacité de l'empilement des atomes. Une valeur élevée signifie que peu d'espace est "perdu" dans la structure.

Discussion :

Une compacité atomique de \(0.74\) (ou \(74\%\)) pour la structure cubique à faces centrées (CFC) signifie que \(74\%\) du volume total de la maille élémentaire est occupé par les atomes (modélisés comme des sphères rigides), tandis que les \(26\%\) restants correspondent à de l'espace vide (interstices).

Est-ce un empilement dense ?

Oui, la structure CFC, avec une compacité de \(0.74\), est considérée comme un empilement compact (ou dense). C'est la même compacité que celle de la structure hexagonale compacte (HC). Ces deux structures représentent l'arrangement le plus dense possible pour des sphères de même taille. Il n'est pas possible d'empiler des sphères identiques de manière à occuper plus de \(74\%\) de l'espace total.

En comparaison :

  • Structure Cubique Simple (CS) : APF \(\approx 0.52\) (52%)
  • Structure Cubique Centrée (CC) : APF \(\approx 0.68\) (68%)

La haute compacité des structures CFC et HC explique pourquoi de nombreux métaux adoptent ces arrangements, car ils tendent à minimiser l'énergie du système en maximisant les interactions de liaison et en remplissant l'espace de manière efficace.

Résultat Question 6 : Une compacité de 0.74 indique que 74% du volume de la maille est occupé par les atomes. C'est la valeur maximale possible pour un empilement de sphères identiques, ce qui qualifie la structure CFC (et HC) d'empilement compact ou dense.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La compacité atomique représente :

2. Combien d'atomes y a-t-il par maille élémentaire dans une structure cubique centrée (CC) ?

3. La relation entre le paramètre de maille \(a\) et le rayon atomique \(R\) pour une structure cubique centrée (CC) est :

Glossaire

Compacité Atomique (Atomic Packing Factor - APF)
Fraction du volume d'une maille cristalline occupée par les atomes constitutifs, en les modélisant comme des sphères rigides. C'est une mesure de l'efficacité de l'empilement atomique.
Maille Élémentaire (Unit Cell)
Plus petit motif répétitif d'une structure cristalline qui, par translation dans les trois dimensions, permet de reconstituer l'ensemble du cristal.
Structure Cristalline
Arrangement ordonné et périodique des atomes, ions ou molécules dans un matériau cristallin.
Cubique à Faces Centrées (CFC ou FCC)
Structure cristalline cubique possédant un atome à chaque sommet du cube et un atome au centre de chacune de ses six faces.
Cubique Simple (CS)
Structure cristalline cubique possédant un atome à chaque sommet du cube uniquement.
Cubique Centrée (CC ou BCC)
Structure cristalline cubique possédant un atome à chaque sommet du cube et un atome au centre du cube.
Paramètre de Maille (\(a\))
Longueur de l'arête de la maille élémentaire cubique.
Rayon Atomique (\(R\))
Rayon d'un atome, souvent modélisé comme une sphère rigide dans le calcul de la compacité.
Empilement Compact
Arrangement d'atomes (ou de sphères) qui maximise la densité d'occupation de l'espace. Les structures CFC et HC sont des exemples d'empilements compacts avec une compacité de 0.74.
Calcul de la Compacité Atomique - Exercice d'Application

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