Calcul de la densité d'un alliage métallique

Contexte : La densitéRapport de la masse d'un objet ou d'une substance à son volume. C'est une mesure de la compacité de la matière. des alliages métalliquesMélange homogène, à l'état solide, de deux ou plusieurs éléments chimiques dont le constituant principal est un métal..

La densité (ou masse volumique) est une propriété physique fondamentale des matériaux. Elle est particulièrement importante pour les alliages, car elle dépend de la composition et influence de nombreuses applications (aéronautique, construction, etc.). Cet exercice se concentre sur le calcul de la densité d'un alliage de bronze, un alliage cuivre-étain (Cu-Sn) connu depuis l'Antiquité pour sa résistance et sa facilité de mise en forme. Nous utiliserons les fractions massiquesRapport de la masse d'un constituant à la masse totale du mélange. et les densités des composants purs pour estimer la densité de l'alliage.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de comprendre comment les propriétés d'un mélange (ici, la densité d'un alliage) découlent des propriétés de ses constituants et de leur proportion. Vous appliquerez la définition de la densité et manipulerez les concepts de masse, volume et fraction massique.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer la définition de la densité (\(\rho = m/V\)).
Calculer les masses et volumes des composants dans un alliage à partir des fractions massiques.
Estimer la densité d'un alliage binaire en utilisant l'hypothèse d'additivité des volumesHypothèse simplificatrice selon laquelle le volume total d'un mélange est égal à la somme des volumes de ses constituants purs avant mélange..
Comprendre les limites de l'hypothèse d'additivité des volumes.

Données de l'étude

Nous étudions un bronze constitué de 88% de cuivre (Cu) et 12% d'étain (Sn) en masse.

Propriétés des composants purs

Élément	Symbole Chimique	Densité (\(\rho\)) à température ambiante
Cuivre	Cu	8.96 \(\text{g/cm}^3\)
Étain	Sn	7.31 \(\text{g/cm}^3\)

Composition Massique du Bronze

Questions à traiter

Calculer la masse de cuivre (\(m_{\text{Cu}}\)) et la masse d'étain (\(m_{\text{Sn}}\)) contenues dans un échantillon de 100 g de cet alliage de bronze.
En utilisant les densités des métaux purs, calculer le volume occupé par le cuivre (\(V_{\text{Cu}}\)) et le volume occupé par l'étain (\(V_{\text{Sn}}\)) dans cet échantillon de 100 g.
En supposant l'additivité des volumes (c'est-à-dire que le volume total de l'alliage est la somme des volumes des composants purs), calculer le volume total (\(V_{\text{total}}\)) de l'échantillon de 100 g.
Calculer la densité (\(\rho_{\text{alliage}}\)) de cet alliage de bronze en utilisant les résultats précédents.
Discuter brièvement de la validité de l'hypothèse d'additivité des volumes pour les alliages métalliques.

Les bases sur la Densité et les Mélanges

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser quelques concepts clés de chimie et physique des matériaux.

1. Densité (Masse Volumique)
La densité (\(\rho\)) d'une substance est définie comme sa masse (\(m\)) par unité de volume (\(V\)). L'unité courante est le \(\text{g/cm}^3\) ou le \(\text{kg/m}^3\). \[ \rho = \frac{m}{V} \] Inversement, on peut calculer le volume à partir de la masse et de la densité : \(V = m/\rho\).

2. Fraction Massique
Dans un mélange, la fraction massique (\(w_i\)) d'un composant \(i\) est le rapport entre la masse de ce composant (\(m_i\)) et la masse totale du mélange (\(m_{\text{total}}\)). C'est une quantité sans dimension, souvent exprimée en pourcentage (%). \[ w_i = \frac{m_i}{m_{\text{total}}} \] La somme des fractions massiques de tous les composants est égale à 1 (ou 100%). \(\sum w_i = 1\).

3. Densité d'un Mélange (Hypothèse d'Additivité des Volumes)
Pour estimer la densité d'un mélange (\(\rho_{\text{mélange}}\)), on peut supposer que le volume total est la somme des volumes des composants purs. Sous cette hypothèse, la densité du mélange peut être calculée à partir des fractions massiques (\(w_i\)) et des densités (\(\rho_i\)) des composants purs : \[ \frac{1}{\rho_{\text{mélange}}} = \sum_{i} \frac{w_i}{\rho_i} \] Cette formule découle de \(V_{\text{total}} = \sum V_i = \sum (m_i/\rho_i)\) et \(m_{\text{total}} = \sum m_i\). Comme \(w_i = m_i/m_{\text{total}}\), on a \(m_i = w_i m_{\text{total}}\). Donc \(V_{\text{total}} = \sum (w_i m_{\text{total}}/\rho_i) = m_{\text{total}} \sum (w_i/\rho_i)\). Puisque \(\rho_{\text{mélange}} = m_{\text{total}} / V_{\text{total}}\), on obtient \(\rho_{\text{mélange}} = m_{\text{total}} / (m_{\text{total}} \sum (w_i/\rho_i))\), ce qui se simplifie en la formule donnée.

Correction : Calcul de la Densité d'un Alliage Métallique de Bronze

Question 1 : Calculer la masse de Cu et Sn dans 100 g d'alliage.

Principe

Il s'agit d'appliquer directement la définition de la fraction massique pour trouver la masse de chaque composant dans une masse totale donnée d'alliage.

Mini-Cours

Rappel : La fraction massique \(w_i\) d'un composant \(i\) est \(w_i = m_i / m_{\text{total}}\). Donc, la masse d'un composant est \(m_i = w_i \times m_{\text{total}}\). Les pourcentages donnés dans l'énoncé sont directement les fractions massiques (0.88 pour Cu, 0.12 pour Sn).

Remarque Pédagogique

Assurez-vous de bien utiliser les fractions (ex: 0.88) et non les pourcentages (ex: 88) dans les calculs directs de masse.

Normes

[Aucune norme spécifique ne s'applique directement à ce calcul de base, mais on pourrait mentionner les conventions de notation si nécessaire.]

Formule(s)

Formule de la masse d'un composant

m_i = w_i \times m_{\text{total}}

Hypothèses

[Pas d'hypothèses spécifiques nécessaires pour ce calcul simple, si ce n'est que l'alliage est considéré comme homogène au niveau macroscopique.]

Donnée(s)

Les données pertinentes pour cette question sont les fractions massiques et la masse totale de l'échantillon.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fraction massique Cu	\(w_{\text{Cu}}\)	0.88	-
Fraction massique Sn	\(w_{\text{Sn}}\)	0.12	-
Masse totale alliage	\(m_{\text{total}}\)	100	g

Astuces

Vérifiez toujours que la somme des masses des composants est égale à la masse totale de l'échantillon (ici, \(m_{\text{Cu}} + m_{\text{Sn}}\) doit être égal à 100 g). C'est un bon moyen de détecter une erreur de calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la répartition massique à calculer dans un bloc de 100g.

Répartition massique (100g total)

Calcul(s)

Appliquons la formule pour chaque composant.

Calcul de la masse de Cuivre (\(m_{\text{Cu}}\))

\begin{aligned} m_{\text{Cu}} &= w_{\text{Cu}} \times m_{\text{total}} \\ &= 0.88 \times 100 \text{ g} \\ &= 88 \text{ g} \end{aligned}

Calcul de la masse d'Étain (\(m_{\text{Sn}}\))

\begin{aligned} m_{\text{Sn}} &= w_{\text{Sn}} \times m_{\text{total}} \\ &= 0.12 \times 100 \text{ g} \\ &= 12 \text{ g} \end{aligned}

Vérification de la masse totale

m_{\text{Cu}} + m_{\text{Sn}} = 88 \text{ g} + 12 \text{ g} = 100 \text{ g} = m_{\text{total}}

Schéma (Après les calculs)

Résultat de la répartition massique visualisé.

Répartition massique calculée (100g total)

Réflexions

Les calculs sont directs et la vérification confirme que la répartition des masses est correcte. Dans 100 g de cet alliage, il y a 88 g de cuivre et 12 g d'étain.

Points de vigilance

Attention à ne pas utiliser directement le pourcentage (88) au lieu de la fraction (0.88) dans la formule \(m_i = w_i \times m_{\text{total}}\).

Points à retenir

La masse d'un composant dans un mélange s'obtient en multipliant sa fraction massique par la masse totale du mélange.

Le saviez-vous ?

La composition massique est la manière la plus courante de définir la composition des alliages métallurgiques dans l'industrie.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

Dans 100 g de l'alliage, il y a 88 g de cuivre et 12 g d'étain.

A vous de jouer

Quelle serait la masse de cuivre dans 250 g du même alliage ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Question 1 :

Concept Clé : Fraction massique.
Formule Essentielle : \(m_i = w_i \times m_{\text{total}}\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser la fraction (0.xx) et non le pourcentage (xx%).

Question 2 : Calculer le volume de Cu et Sn dans 100 g d'alliage.

Principe

Utiliser la définition de la densité (\(\rho = m/V\)) pour calculer le volume de chaque composant à partir de sa masse (calculée à la question 1) et de sa densité propre (donnée dans l'énoncé).

Mini-Cours

Rappel : Si \(\rho = m/V\), alors le volume est \(V = m/\rho\). On applique cette formule à la masse de cuivre et à la masse d'étain trouvées précédemment, en utilisant les densités respectives de Cu et Sn.

Remarque Pédagogique

Faites attention à la cohérence des unités. Les masses sont en grammes (g) et les densités en grammes par centimètre cube (\(\text{g/cm}^3\)). Le volume résultant sera donc en centimètres cubes (\(\text{cm}^3\)).

Normes

[Les valeurs de densité utilisées proviennent de tables standards de propriétés des matériaux, souvent compilées selon des normes internationales (ASTM, ISO...).]

Formule(s)

Formule du volume à partir de la masse et de la densité

V_i = \frac{m_i}{\rho_i}

Hypothèses

On utilise les densités des métaux purs à température ambiante, telles que fournies dans l'énoncé. On suppose que ces valeurs sont suffisamment précises pour notre calcul.

Donnée(s)

Masses (calculées à la Q1) et densités (énoncé) nécessaires.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse de Cuivre	\(m_{\text{Cu}}\)	88	g
Densité du Cuivre	\(\rho_{\text{Cu}}\)	8.96	g/cm³
Masse d'Étain	\(m_{\text{Sn}}\)	12	g
Densité de l'Étain	\(\rho_{\text{Sn}}\)	7.31	g/cm³

Astuces

Lors des calculs intermédiaires, conservez quelques chiffres après la virgule pour éviter les erreurs d'arrondi dans le résultat final. Une calculatrice est recommandée.

Schéma (Avant les calculs)

Transformation conceptuelle Masse -> Volume via Densité.

Calcul du Volume (V = m / ρ)

Calcul(s)

Appliquons la formule \(V = m/\rho\) pour chaque métal.

Calcul du Volume de Cuivre (\(V_{\text{Cu}}\))

\begin{aligned} V_{\text{Cu}} &= \frac{m_{\text{Cu}}}{\rho_{\text{Cu}}} \\ &= \frac{88 \text{ g}}{8.96 \text{ g/cm³}} \\ &\approx 9.8214... \text{ cm³} \end{aligned}

On arrondit à 3 chiffres après la virgule pour la suite : \(V_{\text{Cu}} \approx 9.821 \text{ cm³}\)

Calcul du Volume d'Étain (\(V_{\text{Sn}}\))

\begin{aligned} V_{\text{Sn}} &= \frac{m_{\text{Sn}}}{\rho_{\text{Sn}}} \\ &= \frac{12 \text{ g}}{7.31 \text{ g/cm³}} \\ &\approx 1.6415... \text{ cm³} \end{aligned}

On arrondit à 3 chiffres après la virgule pour la suite : \(V_{\text{Sn}} \approx 1.642 \text{ cm³}\)

Schéma (Après les calculs)

Représentation visuelle des volumes relatifs calculés.

Volumes relatifs calculés (Échelle Approximative)

Réflexions

Bien que le cuivre représente 88% de la masse, il n'occupe pas 88% du volume, car sa densité est différente de celle de l'étain. Le cuivre, plus dense, occupe proportionnellement moins de volume que l'étain pour une masse donnée (ici, \(9.821 / (9.821 + 1.642) \approx 85.7\%\) du volume).

Points de vigilance

Vérifiez bien les divisions et assurez-vous que les unités s'annulent correctement pour obtenir un volume en \(\text{cm}^3\). Une erreur fréquente est d'inverser masse et densité.

Points à retenir

Le volume d'une substance se calcule en divisant sa masse par sa densité (\(V=m/\rho\)). Les fractions massiques ne sont pas égales aux fractions volumiques si les densités sont différentes.

Le saviez-vous ?

La densité relativement élevée du cuivre (8.96 g/cm³) est une caractéristique importante. Par comparaison, l'aluminium a une densité d'environ 2.7 g/cm³, ce qui explique son utilisation dans l'aéronautique pour alléger les structures.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

Le volume occupé par le cuivre est d'environ 9.82 cm³ et celui occupé par l'étain est d'environ 1.64 cm³.

A vous de jouer

Quel serait le volume de 50 g de cuivre pur ? (Arrondir à 2 décimales)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Question 2 :

Concept Clé : Relation masse-volume-densité.
Formule Essentielle : \(V_i = m_i / \rho_i\).
Point de Vigilance Majeur : Cohérence des unités (g et \(\text{g/cm}^3\) donnent \(\text{cm}^3\)).

Question 3 : Calculer le volume total de 100 g d'alliage (additivité des volumes).

Principe

Appliquer l'hypothèse d'additivité des volumes, qui stipule que le volume total du mélange est simplement la somme des volumes individuels des composants purs avant mélange.

Mini-Cours

L'hypothèse d'additivité des volumes est une approximation. Elle suppose qu'il n'y a pas de changement de volume lors du mélange (pas de contraction ou d'expansion due aux interactions atomiques différentes dans l'alliage par rapport aux métaux purs). Mathématiquement, cela s'écrit : \(V_{\text{total}} = \sum V_i\).

Remarque Pédagogique

Il est important de se rappeler que c'est une hypothèse simplificatrice. En réalité, le volume total d'un alliage peut être légèrement différent de la somme des volumes initiaux (voir Q5).

Normes

[Pas de norme spécifique, c'est une hypothèse de calcul courante mais non réglementée.]

Formule(s)

Formule de l'additivité des volumes

V_{\text{total}} = V_{\text{Cu}} + V_{\text{Sn}}

Hypothèses

L'hypothèse principale ici est l'additivité des volumes.

Additivité des volumes : \(V_{\text{total}} = \sum V_i\).

Donnée(s)

Les volumes calculés à la question 2.

Paramètre	Symbole	Valeur (calculée, approx.)	Unité
Volume de Cuivre	\(V_{\text{Cu}}\)	9.8214	cm³
Volume d'Étain	\(V_{\text{Sn}}\)	1.6415	cm³

Astuces

Pour obtenir un résultat plus précis, utilisez les valeurs des volumes \(V_{\text{Cu}}\) et \(V_{\text{Sn}}\) avec plus de décimales issues de la Q2 avant de faire la somme finale et d'arrondir.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'addition des volumes.

Addition des volumes (hypothèse)

Calcul(s)

Volumes intermédiaires (plus précis)

V_{\text{Cu}} \approx 9.8214... \text{ cm³}

V_{\text{Sn}} \approx 1.6415... \text{ cm³}

Calcul du volume total

\begin{aligned} V_{\text{total}} &= V_{\text{Cu}} + V_{\text{Sn}} \\ &\approx 9.8214 \text{ cm³} + 1.6415 \text{ cm³} \\ &\approx 11.4629... \text{ cm³} \end{aligned}

On arrondit le résultat final, par exemple à 3 chiffres après la virgule : \(V_{\text{total}} \approx 11.463 \text{ cm³}\)

Schéma (Après les calculs)

Représentation du volume total obtenu par addition.

Volume total calculé (par additivité)

Réflexions

Sous l'hypothèse d'additivité, 100 g de cet alliage occuperaient un volume d'environ 11.46 cm³.

Points de vigilance

Attention aux erreurs d'addition simple. La propagation des erreurs d'arrondi peut affecter légèrement le résultat si on n'utilise pas assez de décimales dans les étapes intermédiaires.

Points à retenir

L'hypothèse d'additivité des volumes simplifie le calcul du volume total d'un mélange : \(V_{\text{total}} = \sum V_i\). C'est une étape clé pour estimer la densité du mélange.

Le saviez-vous ?

Cette méthode d'estimation par additivité est aussi utilisée pour d'autres propriétés que le volume, comme la capacité thermique massique, bien que sa validité doive toujours être évaluée au cas par cas.

FAQ

Questions fréquentes sur cette hypothèse.

Résultat Final

Le volume total de l'échantillon de 100 g est estimé à environ 11.46 cm³ en supposant l'additivité des volumes.

A vous de jouer

Si \(V_{\text{Cu}}\) était de 10.0 cm³ et \(V_{\text{Sn}}\) de 2.0 cm³, quel serait \(V_{\text{total}}\) sous cette hypothèse ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Question 3 :

Concept Clé : Additivité des volumes (hypothèse).
Formule Essentielle : \(V_{\text{total}} = \sum V_i\).
Point de Vigilance Majeur : C'est une approximation ; utiliser des valeurs précises pour \(V_i\).

Question 4 : Calculer la densité de l'alliage de bronze.

Principe

Appliquer la définition de la densité (\(\rho = m/V\)) en utilisant la masse totale de l'échantillon (100 g) et le volume total calculé à la question 3.

Mini-Cours

La densité de l'alliage (\(\rho_{\text{alliage}}\)) est simplement la masse totale de l'échantillon divisée par le volume total qu'il occupe. On utilise ici le volume total estimé sous l'hypothèse d'additivité. Une formule alternative, dérivée de cette hypothèse, permet de calculer directement la densité de l'alliage à partir des fractions massiques et des densités des composants : \(1/\rho_{\text{alliage}} = \sum (w_i / \rho_i)\).

Remarque Pédagogique

La densité calculée de l'alliage devrait logiquement se situer entre les densités des composants purs (entre 7.31 g/cm³ et 8.96 g/cm³). Si ce n'est pas le cas, il y a probablement une erreur. Le résultat sera une "moyenne pondérée" particulière des densités individuelles.

Normes

[Pas de norme spécifique pour la méthode de calcul, mais les densités résultantes pour des alliages normalisés (ex: bronzes UNS Cxxxx) sont spécifiées dans des normes (ASTM, EN...).]

Formule(s)

Formule de la densité de l'alliage (méthode 1)

\rho_{\text{alliage}} = \frac{m_{\text{total}}}{V_{\text{total}}}

Formule de la densité de l'alliage (méthode 2)

\frac{1}{\rho_{\text{alliage}}} = \sum_{i} \frac{w_i}{\rho_i}

Hypothèses

Le calcul repose intrinsèquement sur l'hypothèse d'additivité des volumes, car \(V_{\text{total}}\) a été calculé sous cette hypothèse.

Donnée(s)

Données nécessaires pour les deux méthodes de calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur (calculée/donnée)	Unité
Masse totale alliage	\(m_{\text{total}}\)	100	g
Volume total (estimé Q3)	\(V_{\text{total}}\)	11.4629...	cm³
Fraction massique Cu	\(w_{\text{Cu}}\)	0.88	-
Densité du Cuivre	\(\rho_{\text{Cu}}\)	8.96	g/cm³
Fraction massique Sn	\(w_{\text{Sn}}\)	0.12	-
Densité de l'Étain	\(\rho_{\text{Sn}}\)	7.31	g/cm³

Astuces

Utiliser la formule \(1/\rho_{\text{alliage}} = \sum (w_i / \rho_i)\) est souvent plus direct si l'on connaît les fractions massiques et les densités pures, car cela évite le calcul intermédiaire des volumes \(V_i\). Vérifier que le résultat est bien compris entre \(\rho_{\text{min}}\) et \(\rho_{\text{max}}\).

Schéma (Avant les calculs)

Concept : Trouver la densité (ρ) du bloc d'alliage.

Calcul de la Densité de l'Alliage (ρ = m/V)

Calcul(s)

Calcul via \( \rho = m/V \)

\begin{aligned} \rho_{\text{alliage}} &= \frac{m_{\text{total}}}{V_{\text{total}}} \\ &\approx \frac{100 \text{ g}}{11.4629... \text{ cm³}} \\ &\approx 8.7236... \text{ g/cm³} \end{aligned}

On arrondit le résultat final, par exemple à 2 chiffres après la virgule : \(\rho_{\text{alliage}} \approx 8.72 \text{ g/cm³}\)

Calcul via \( 1/\rho = \sum (w_i / \rho_i) \)

\begin{aligned} \frac{1}{\rho_{\text{alliage}}} &= \frac{w_{\text{Cu}}}{\rho_{\text{Cu}}} + \frac{w_{\text{Sn}}}{\rho_{\text{Sn}}} \\ &= \frac{0.88}{8.96 \text{ g/cm³}} + \frac{0.12}{7.31 \text{ g/cm³}} \\ &\approx 0.098214 \text{ cm³/g} + 0.016416 \text{ cm³/g} \\ &\approx 0.114630 \text{ cm³/g} \end{aligned}

Inversion pour trouver la densité

\begin{aligned} \rho_{\text{alliage}} &= \frac{1}{0.114630 \text{ cm³/g}} \\ &\approx 8.7236... \text{ g/cm³} \\ &\Rightarrow \rho_{\text{alliage}} \approx 8.72 \text{ g/cm³} \end{aligned}

Les deux méthodes donnent bien le même résultat.

Schéma (Après les calculs)

Position de la densité calculée sur une échelle comparative.

Position de la Densité Calculée

Réflexions

La densité calculée (environ 8.72 g/cm³) est bien comprise entre celle de l'étain (7.31 g/cm³) et celle du cuivre (8.96 g/cm³). Comme l'alliage est majoritairement composé de cuivre (qui est plus dense), la densité de l'alliage est logiquement plus proche de celle du cuivre que de celle de l'étain.

Points de vigilance

Assurez-vous que l'unité finale est correcte (\(\text{g/cm}^3\)). Une erreur fréquente est d'inverser le numérateur et le dénominateur lors du calcul \(\rho = m/V\) ou lors de l'inversion finale dans la méthode alternative \(1/\rho = ...\). Vérifier que le résultat est dans la bonne fourchette [\(\rho_{\text{min}}\), \(\rho_{\text{max}}\)].

Points à retenir

La densité d'un alliage (sous l'hypothèse d'additivité) peut être calculée par \(\rho_{\text{alliage}} = m_{\text{total}} / \sum V_i\) ou par \(1/\rho_{\text{alliage}} = \sum (w_i / \rho_i)\). Le résultat est une forme de moyenne harmonique pondérée par les fractions massiques.

Le saviez-vous ?

La densité n'est pas une moyenne simple des densités pondérée par les fractions massiques (\(\rho \neq \sum w_i \rho_i\)). C'est l'inverse de la densité (le volume spécifique) qui est une moyenne pondérée par les fractions massiques (\(1/\rho = \sum w_i (1/\rho_i)\)).

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

La densité estimée de l'alliage de bronze est d'environ 8.72 g/cm³.

A vous de jouer

Quelle serait la densité d'un alliage 50% Cu - 50% Sn en masse (même hypothèse) ? (Arrondir à 2 décimales)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Question 4 :

Concept Clé : Densité d'un mélange (estimée).
Formule Essentielle : \(\rho_{\text{alliage}} = m_{\text{total}} / V_{\text{total}}\) ou \(1/\rho_{\text{alliage}} = \sum (w_i / \rho_i)\).
Point de Vigilance Majeur : Le résultat doit être entre les densités des composants ; ne pas faire une moyenne simple.

Question 5 : Discuter de la validité de l'hypothèse d'additivité des volumes.

Principe

Analyser pourquoi l'additivité des volumes est une approximation et dans quelles conditions elle pourrait ne pas être précise pour les alliages métalliques.

Mini-Cours

L'additivité des volumes suppose que les atomes des différents éléments s'arrangent dans l'alliage sans modifier l'espace moyen occupé par chaque type d'atome par rapport à son état pur. En réalité, ce n'est pas toujours le cas :

Différences de taille atomique : Si les atomes ont des tailles très différentes, les plus petits peuvent se loger dans les interstices laissés par les plus grands (solution solide interstitielle), entraînant une contraction de volume (\(V_{\text{total}} < \sum V_i\)).
Interactions chimiques/électroniques : Des interactions attractives ou répulsives spécifiques entre les différents types d'atomes dans l'alliage peuvent modifier les distances interatomiques moyennes, menant à une contraction ou une expansion du volume.
Changements de structure cristalline : La structure cristalline de l'alliage peut être différente de celles des composants purs, influençant l'empilement atomique et donc le volume.

L'écart à l'additivité est souvent faible pour les solutions solides substitutionnelles où les atomes ont des tailles et des propriétés chimiques similaires (comme Cu-Ni), mais peut être plus marqué dans d'autres cas (comme certains alliages Cu-Sn ou Cu-Zn).

Remarque Pédagogique

Bien que ce soit une approximation, l'additivité des volumes donne souvent une estimation raisonnable de la densité pour de nombreux alliages, surtout pour des calculs d'ordre de grandeur ou préliminaires.

Astuces

Pour évaluer la validité, pensez à l'échelle atomique : les atomes s'empilent-ils de manière idéale comme des billes non interactives, ou y a-t-il des raisons (taille, liaisons) pour que l'empilement soit plus ou moins compact dans l'alliage ?

Schéma

Visualisation d'une contraction possible au niveau atomique.

Contraction Volumique (Exemple Atomique)

Réflexions

L'hypothèse d'additivité des volumes n'est pas strictement exacte pour les alliages métalliques. Les interactions entre atomes différents et les différences de taille atomique peuvent entraîner une légère contraction ou expansion du volume lors de l'alliage. Pour le bronze Cu-Sn, il existe généralement une légère contraction de volume par rapport à l'additivité idéale. Cela signifie que la densité réelle de l'alliage est souvent légèrement supérieure à celle calculée avec cette hypothèse.

Points de vigilance

Ne pas considérer la règle de l'additivité des volumes (et la formule de densité qui en découle) comme une loi physique exacte, mais comme un modèle simplifié utile pour une première estimation.

Points à retenir

L'additivité des volumes est une approximation. La densité réelle d'un alliage peut différer légèrement de la valeur calculée sous cette hypothèse en raison des interactions atomiques et des effets de taille.

Le saviez-vous ?

L'écart à l'additivité des volumes est lié à ce qu'on appelle le "volume molaire d'excès" en thermodynamique des mélanges. Un volume d'excès négatif correspond à une contraction lors du mélange.

FAQ

Questions fréquentes sur cette hypothèse.

Résultat Final

L'hypothèse d'additivité des volumes est une approximation utile mais non exacte ; la densité réelle du bronze peut être légèrement supérieure à la valeur calculée de 8.72 g/cm³.

Mini Fiche Mémo

Synthèse Question 5 :

Concept Clé : Limites de l'additivité des volumes.
Raison : Interactions atomiques, différences de taille, structure cristalline.
Conséquence : Densité réelle ≠ densité calculée (souvent légèrement >).

Outil Interactif : Simulateur de Densité d'Alliage Binaire

Explorez comment la densité d'un alliage Cu-Sn varie en fonction de sa composition massique, en utilisant l'hypothèse d'additivité des volumes. Les densités de Cu (8.96 g/cm³) et Sn (7.31 g/cm³) sont fixes.

Paramètres d'Entrée

Pourcentage massique de Cuivre (% Cu) 88 %

Pourcentage massique d'Étain (% Sn) 12 %

Résultats Clés (basés sur l'additivité des volumes)

Densité Calculée de l'Alliage - g/cm³

Volume spécifique (1/Densité) - cm³/g

Glossaire

Additivité des volumes: Hypothèse simplificatrice selon laquelle le volume total d'un mélange est égal à la somme des volumes de ses constituants purs avant mélange (\(V_{\text{total}} = \sum V_i\)).
Alliage métallique: Mélange homogène, à l'état solide, de deux ou plusieurs éléments chimiques dont le constituant principal est un métal (ex: bronze, laiton, acier).
Bronze: Famille d'alliages à base de cuivre (Cu), dont le principal élément d'addition est généralement l'étain (Sn).
Densité (ou Masse volumique): Rapport de la masse (\(m\)) d'un objet ou d'une substance à son volume (\(V\)). Symbole : \(\rho\). Unité SI : kg/m³ ; Unité courante : g/cm³.
Fraction massique: Rapport de la masse d'un constituant (\(m_i\)) à la masse totale (\(m_{\text{total}}\)) du mélange. Symbole : \(w_i\). \(w_i = m_i / m_{\text{total}}\). Souvent exprimée en pourcentage (%).

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Propriétés des composants purs

Composition Massique du Bronze

Questions à traiter

Les bases sur la Densité et les Mélanges

Correction : Calcul de la Densité d'un Alliage Métallique de Bronze

Question 1 : Calculer la masse de Cu et Sn dans 100 g d'alliage.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Répartition massique (100g total)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Répartition massique calculée (100g total)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer le volume de Cu et Sn dans 100 g d'alliage.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul du Volume (V = m / ρ)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Volumes relatifs calculés (Échelle Approximative)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer le volume total de 100 g d'alliage (additivité des volumes).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Addition des volumes (hypothèse)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Volume total calculé (par additivité)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer la densité de l'alliage de bronze.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)