Calcul de l'énergie libérée lors de la fission

Contexte : La fission de l'Uranium-235Processus par lequel un noyau lourd d'Uranium-235 se scinde en deux noyaux plus légers, libérant une grande quantité d'énergie..

La fission nucléaire est une réaction au cœur du fonctionnement des centrales nucléaires. En bombardant un noyau lourd et instable, comme celui de l'Uranium-235, avec un neutron, on peut le faire éclater en plusieurs noyaux plus petits. Cette réaction s'accompagne d'une libération d'énergie considérable, issue de la conversion d'une petite partie de la masse des noyaux, conformément à la célèbre équation d'Einstein, E=mc². Cet exercice a pour but de vous guider dans le calcul de cette énergie pour une réaction de fission spécifique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de manipuler les concepts de défaut de masseDifférence entre la masse totale des nucléons séparés et la masse réelle du noyau. Cette différence de masse est convertie en énergie de liaison. et d'équivalence masse-énergie pour quantifier l'énergie produite par une réaction nucléaire, une compétence fondamentale en chimie nucléaire et en physique.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe de la fission nucléaire.
Calculer le défaut de masse d'une réaction nucléaire.
Appliquer la relation d'Einstein pour convertir le défaut de masse en énergie.
Exprimer l'énergie libérée en Joules (J) et en Mégaélectronvolts (MeV).

Données de l'étude

On étudie l'une des réactions de fission possibles de l'Uranium-235 lorsqu'il capture un neutron. L'équation de la réaction est la suivante :

^{235}_{92}\text{U} + ^1_0\text{n} \rightarrow ^{141}_{56}\text{Ba} + ^{92}_{36}\text{Kr} + 3(^1_0\text{n})

Schéma de la réaction de fission de l'Uranium-235

Particule / Noyau	Masse (en u)
Uranium-235 (\(^{235}_{92}\text{U}\))	235,043930
Baryum-141 (\(^{141}_{56}\text{Ba}\))	140,914411
Krypton-92 (\(^{92}_{36}\text{Kr}\))	91,926156
Neutron (\(^1_0\text{n}\))	1,008665

Constante	Symbole	Valeur
Unité de masse atomique	u	\(1,66054 \times 10^{-27} \text{ kg}\)
Célérité de la lumière dans le vide	c	\(2,99792 \times 10^8 \text{ m/s}\)
Conversion Électronvolt-Joule	eV	\(1,60218 \times 10^{-19} \text{ J}\)

Questions à traiter

Calculer la masse totale des réactifs (Uranium-235 + 1 neutron).
Calculer la masse totale des produits (Baryum-141 + Krypton-92 + 3 neutrons).
Déterminer le défaut de masse (\(\Delta m\)) de la réaction, en unité de masse atomique (u) puis en kilogrammes (kg).
Calculer l'énergie (\(E_{\text{libérée}}\)) libérée par la fission d'un noyau d'Uranium-235, en Joules (J).
Exprimer cette énergie en Mégaélectronvolts (MeV).

Les bases sur l'Énergie Nucléaire

L'énergie libérée lors d'une réaction nucléaire provient de la conversion d'une partie de la masse des particules. Ce phénomène est décrit par la relation d'équivalence masse-énergie d'Albert Einstein.

1. Défaut de Masse (\(\Delta m\))
Dans une réaction nucléaire, la masse ne se conserve pas. Le défaut de masse est la différence entre la masse totale des réactifs et la masse totale des produits. \[ \Delta m = (m_{\text{réactifs}}) - (m_{\text{produits}}) \] Si \(\Delta m > 0\), la réaction libère de l'énergie (exothermique). Si \(\Delta m < 0\), la réaction consomme de l'énergie (endothermique).

2. Équivalence Masse-Énergie (E=mc²)
L'énergie (\(E\)) libérée ou absorbée est directement proportionnelle au défaut de masse (\(\Delta m\)), selon la formule d'Einstein : \[ E = \Delta m \cdot c^2 \] Où \(c\) est la célérité de la lumière dans le vide. Pour que la formule soit homogène, \(\Delta m\) doit être en kg, \(c\) en m/s, et l'énergie \(E\) sera alors en Joules.

Correction : Calcul de l’énergie libérée lors de la fission nucléaire

Question 1 : Calculer la masse totale des réactifs

Principe

Le principe de conservation de la matière (avant la conversion en énergie) nous impose de faire un bilan précis de tout ce qui entre dans la réaction. Il faut donc identifier chaque particule du côté gauche de l'équation et additionner leurs masses.

Mini-Cours

En chimie nucléaire, les "réactifs" sont les noyaux et particules qui existent avant la transformation. L'équation bilan, comme \(A + B \rightarrow C + D\), nous montre que A et B sont les réactifs. Le calcul de leur masse totale est la première étape de tout bilan énergétique.

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de toujours commencer par lister clairement les réactifs et leurs masses. Une bonne organisation au début vous évitera des erreurs de calcul plus tard. C'est comme préparer tous ses ingrédients avant de commencer une recette de cuisine.

Normes

Ce calcul ne dépend pas d'une norme d'ingénierie (comme l'Eurocode), mais des lois fondamentales de la physique nucléaire et du principe de conservation de la masse-énergie.

Formule(s)

Formule de la masse des réactifs

m_{\text{réactifs}} = \sum m_{\text{i}} \quad (\text{pour toutes les particules i initiales})

Hypothèses

On considère que les masses fournies dans le tableau sont exactes et correspondent aux masses des noyaux et particules au repos.

Donnée(s)

Particule	Masse (u)
\(^{235}_{92}\text{U}\)	235,043930
\(^1_0\text{n}\)	1,008665

Astuces

Utilisez une calculatrice avec une bonne précision et n'arrondissez pas les chiffres intermédiaires. La différence de masse sera très faible, donc chaque décimale compte !

Schéma (Avant les calculs)

État Initial : Réactifs

Calcul(s)

Addition des masses des réactifs

\begin{aligned} m_{\text{réactifs}} &= m(^{235}_{92}\text{U}) + m(^1_0\text{n}) \\ &= 235,043930 \text{ u} + 1,008665 \text{ u} \\ &= 236,052595 \text{ u} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Masse des Réactifs

Réflexions

Cette valeur de 236,052595 u représente la masse totale du système juste avant que la fission ne se produise. C'est notre point de référence pour le bilan de masse.

Points de vigilance

Assurez-vous de ne pas faire d'erreur en recopiant les valeurs. Une simple inversion de chiffres peut fausser tout le calcul énergétique final.

Points à retenir

Pour trouver la masse des réactifs, il faut identifier toutes les particules à gauche de la flèche de réaction et sommer leurs masses individuelles.

Le saviez-vous ?

L'Uranium a été découvert en 1789 par le chimiste allemand Martin Heinrich Klaproth, qui l'a nommé d'après la planète Uranus, découverte huit ans plus tôt.

FAQ

Résultat Final

La masse totale des réactifs est de 236,052595 u.

A vous de jouer

Si la réaction impliquait du Plutonium-239 (masse = 239,052163 u) capturant un neutron, quelle serait la masse totale des réactifs ?

Question 2 : Calculer la masse totale des produits

Principe

Symétriquement à la première question, il s'agit maintenant de faire le bilan de tout ce qui existe après la réaction. On identifie chaque particule à droite de l'équation et on somme leurs masses, en tenant compte de leur nombre.

Mini-Cours

Les "produits" d'une réaction sont les noyaux et particules qui résultent de la transformation. Il est crucial de tenir compte des coefficients stœchiométriques (le chiffre devant chaque particule, ici '3' pour les neutrons) car ils indiquent la quantité de chaque produit formé.

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus commune dans cette étape est d'oublier de multiplier la masse d'une particule par le nombre de fois qu'elle apparaît. Soulignez toujours les coefficients dans l'équation avant de commencer le calcul.

Normes

Ce calcul est régi par les lois de conservation de la physique nucléaire (conservation du nombre de charge et du nombre de masse), qui dictent la nature des produits formés.

Formule(s)

Formule de la masse des produits

m_{\text{produits}} = \sum (n_j \times m_j) \quad (\text{pour chaque produit } j \text{ de masse } m_j \text{ apparaissant } n_j \text{ fois})

Hypothèses

Nous supposons que la réaction se déroule exactement comme décrit par l'équation bilan, sans autres produits secondaires.

Donnée(s)

Particule / Noyau	Masse (u)
\(^{141}_{56}\text{Ba}\)	140,914411
\(^{92}_{36}\text{Kr}\)	91,926156
\(^1_0\text{n}\)	1,008665

Astuces

Effectuez la multiplication (3 x masse du neutron) avant de l'ajouter aux autres masses pour éviter les erreurs de priorité des opérations sur votre calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)

État Final : Produits

Calcul(s)

Addition des masses des produits

\begin{aligned} m_{\text{produits}} &= m(^{141}_{56}\text{Ba}) + m(^{92}_{36}\text{Kr}) + 3 \times m(^1_0\text{n}) \\ &= 140,914411 \text{ u} + 91,926156 \text{ u} + 3 \times 1,008665 \text{ u} \\ &= 232,840567 \text{ u} + 3,025995 \text{ u} \\ &= 235,866562 \text{ u} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Masse des Produits

Réflexions

La masse totale des produits est de 235,866562 u. En la comparant qualitativement à la masse des réactifs (236,052595 u), on constate que la masse a diminué, ce qui est le signe d'une libération d'énergie.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente ici est d'oublier de multiplier la masse du neutron par le coefficient stœchiométrique (ici, 3). Il est crucial de bien lire l'équation bilan de la réaction.

Points à retenir

Pour calculer la masse des produits, il faut sommer les masses de toutes les particules à droite de la flèche, en n'oubliant pas de multiplier chaque masse par son coefficient stœchiométrique.

Le saviez-vous ?

La fission de l'uranium peut produire plus de 200 isotopes différents de 35 éléments. La paire Baryum/Krypton n'est qu'une des nombreuses possibilités, bien qu'elle soit l'une des plus probables.

FAQ

Résultat Final

La masse totale des produits est de 235,866562 u.

A vous de jouer

Si une autre fission produit du Xénon-140 (139,92164 u), du Strontium-94 (93,91536 u) et 2 neutrons, quelle serait la masse totale des produits ?

Question 3 : Déterminer le défaut de masse (\(\Delta m\))

Principe

Le défaut de masse est le concept central. Il représente la "masse manquante" après la réaction. C'est cette masse qui n'a pas été conservée et qui s'est transformée en énergie. On la calcule en soustrayant la masse finale de la masse initiale.

Mini-Cours

La non-conservation de la masse dans les réactions nucléaires est une conséquence directe de l'équivalence masse-énergie. La masse est une forme d'énergie. Une partie de l'énergie de liaison qui tenait le gros noyau d'uranium uni est libérée, et cette libération d'énergie se traduit par une diminution de la masse totale du système.

Remarque Pédagogique

Le signe du défaut de masse est important. Pour une réaction qui libère de l'énergie comme la fission, \(\Delta m\) (calculé comme \(m_{\text{initial}} - m_{\text{final}}\)) doit être positif. Si vous trouvez un résultat négatif, vous avez probablement inversé la soustraction.

Normes

Le calcul du défaut de masse est une application directe des principes de la physique relativiste d'Einstein.

Formule(s)

Formule du défaut de masse

\Delta m = m_{\text{réactifs}} - m_{\text{produits}}

Hypothèses

Nous continuons de travailler avec les valeurs de masse fournies, considérées comme exactes.

Donnée(s)

Grandeur	Valeur
\(m_{\text{réactifs}}\)	236,052595 u
\(m_{\text{produits}}\)	235,866562 u
Conversion u vers kg	\(1 \text{ u} = 1,66054 \times 10^{-27} \text{ kg}\)

Astuces

Gardez le défaut de masse en 'u' avec toutes ses décimales pour le calcul final en MeV. Ne convertissez en kg qu'au moment de calculer l'énergie en Joules pour minimiser les erreurs d'arrondi.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan de Masse

Calcul(s)

Calcul du défaut de masse en u

\begin{aligned} \Delta m &= m_{\text{réactifs}} - m_{\text{produits}} \\ &= 236,052595 \text{ u} - 235,866562 \text{ u} \\ &= 0,186033 \text{ u} \end{aligned}

Conversion du défaut de masse en kg

\begin{aligned} \Delta m_{\text{kg}} &= 0,186033 \text{ u} \times 1,66054 \times 10^{-27} \text{ kg/u} \\ &= 3,0891 \times 10^{-28} \text{ kg} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du Défaut de Masse

Réflexions

Une masse de \(3 \times 10^{-28}\) kg peut paraître infime, mais elle concerne un seul noyau. Multipliée par le nombre d'Avogadro et le carré de la vitesse de la lumière, cette petite masse est à l'origine d'une énergie colossale à l'échelle macroscopique.

Points de vigilance

Attention à l'ordre de la soustraction. C'est toujours (masse avant) - (masse après). Une inversion donnerait un signe négatif, indiquant à tort une réaction qui consomme de l'énergie.

Points à retenir

Le défaut de masse \(\Delta m = m_{\text{réactifs}} - m_{\text{produits}}\) est la clé pour calculer l'énergie d'une réaction nucléaire. Un \(\Delta m\) positif signifie une libération d'énergie.

Le saviez-vous ?

Le concept de "défaut de masse" a été proposé pour la première fois par Francis Aston en 1927, bien avant la découverte de la fission nucléaire, après ses travaux sur la mesure précise de la masse des isotopes avec son spectromètre de masse.

FAQ

Résultat Final

Le défaut de masse est de 0,186033 u, soit \(3,0891 \times 10^{-28}\) kg.

A vous de jouer

Pour la réaction de la question 2 (\(m_{\text{produits}} = 235.85433\) u), quel serait le défaut de masse en u ? (\(m_{\text{réactifs}} = 236.052595\) u)

Question 4 : Calculer l'énergie libérée en Joules (J)

Principe

C'est l'application directe de la célèbre formule d'Einstein. L'énergie libérée est égale à la masse "perdue" (le défaut de masse) multipliée par un facteur de conversion énorme : le carré de la vitesse de la lumière.

Mini-Cours

\(E=mc^2\) signifie que masse et énergie sont deux facettes de la même chose. Le facteur \(c^2\) est si grand (\( \approx 9 \times 10^{16}\)) qu'une quantité infime de masse peut se transformer en une quantité prodigieuse d'énergie. C'est le secret de la puissance nucléaire.

Remarque Pédagogique

Pour utiliser \(E=mc^2\) et obtenir un résultat en Joules (l'unité d'énergie du Système International), il est impératif que toutes vos unités soient dans le Système International : la masse en kilogrammes (kg) et la vitesse en mètres par seconde (m/s).

Normes

Cette formule est un pilier de la physique moderne, publiée par Albert Einstein en 1905 dans le cadre de sa théorie de la relativité restreinte.

Formule(s)

Formule d'équivalence masse-énergie

E_{\text{libérée}} = \Delta m_{\text{kg}} \cdot c^2

Hypothèses

On suppose que l'intégralité du défaut de masse est convertie en énergie libérée par le système.

Donnée(s)

Grandeur	Symbole	Valeur
Défaut de masse	\(\Delta m_{\text{kg}}\)	\(3,0891 \times 10^{-28} \text{ kg}\)
Célérité de la lumière	\(c\)	\(2,99792 \times 10^8 \text{ m/s}\)

Astuces

Lorsque vous calculez \(c^2\) sur votre machine, utilisez la fonction "carré" (x²) et faites attention aux parenthèses si vous entrez la notation scientifique manuellement, pour être sûr que l'exposant est aussi mis au carré.

Schéma (Avant les calculs)

Conversion Masse vers Énergie

Calcul(s)

Calcul de l'énergie en Joules

\begin{aligned} E_{\text{libérée}} &= \Delta m_{\text{kg}} \cdot c^2 \\ &= (3,0891 \times 10^{-28} \text{ kg}) \times (2,99792 \times 10^8 \text{ m/s})^2 \\ &= (3,0891 \times 10^{-28} \text{ kg}) \times (8,98752 \times 10^{16} \text{ m}^2/\text{s}^2) \\ &= 2,7765 \times 10^{-11} \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat de la Conversion Masse-Énergie

Réflexions

Le résultat, \(2,78 \times 10^{-11}\) J, semble extrêmement petit. Cependant, il faut se rappeler que c'est l'énergie pour UN SEUL noyau. Dans un gramme d'uranium, il y a des milliards de milliards de noyaux, ce qui explique la puissance des réactions nucléaires.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier de convertir le défaut de masse en kg. Si vous utilisez la valeur en 'u' directement dans la formule, votre résultat sera incorrect de 27 ordres de grandeur !

Points à retenir

Pour calculer l'énergie en Joules, il faut impérativement utiliser le défaut de masse en kg et la vitesse de la lumière en m/s dans la formule \(E = \Delta m c^2\).

Le saviez-vous ?

L'équation \(E=mc^2\) n'apparaît pas explicitement dans l'article d'Einstein de 1905. Il y exprime l'idée sous la forme "Si un corps perd une énergie L sous forme de rayonnement, sa masse diminue de L/V²" (où V était sa notation pour c).

FAQ

Résultat Final

L'énergie libérée par la fission d'un noyau d'Uranium-235 est de \(2,7765 \times 10^{-11}\) J.

A vous de jouer

Avec un défaut de masse de \(0.2\) u (\(3.321 \times 10^{-28}\) kg), quelle serait l'énergie libérée en Joules (format scientifique, ex: 1.23e-11) ?

Question 5 : Exprimer cette énergie en Mégaélectronvolts (MeV)

Principe

Le Joule est une unité macroscopique. Pour décrire les phénomènes à l'échelle de l'atome, les physiciens utilisent une unité plus adaptée, l'électronvolt (eV). Cette dernière étape est une conversion pour pouvoir comparer notre résultat aux valeurs de référence de la physique nucléaire.

Mini-Cours

Un électronvolt (eV) est l'énergie cinétique acquise par un électron accéléré par une différence de potentiel de 1 Volt. C'est une très petite quantité d'énergie. Comme l'énergie de fission est bien plus grande, on utilise le Mégaélectronvolt (MeV), qui vaut un million d'électronvolts.

Remarque Pédagogique

Retenez l'ordre de grandeur : les énergies de liaison des électrons dans un atome sont de l'ordre de quelques eV. Les énergies des réactions nucléaires sont de l'ordre de plusieurs MeV. Il y a un facteur d'un million entre les deux, ce qui explique la puissance du nucléaire par rapport au chimique.

Normes

L'électronvolt est une unité acceptée internationalement pour l'usage en physique atomique, nucléaire et des particules.

Formule(s)

Formule de conversion J vers MeV

E_{\text{(MeV)}} = \frac{E_{\text{(J)}}}{1,60218 \times 10^{-19} \text{ J/eV}} \times \frac{1}{10^6 \text{ eV/MeV}}

Hypothèses

On utilise la valeur de conversion standard entre le Joule et l'électronvolt.

Donnée(s)

Grandeur	Symbole	Valeur
Énergie en Joules	\(E_{\text{libérée}}\)	\(2,7765 \times 10^{-11} \text{ J}\)
Conversion eV vers J	e	\(1 \text{ eV} = 1,60218 \times 10^{-19} \text{ J}\)

Astuces

Une astuce très utile pour aller plus vite et vérifier son calcul : 1 u de masse convertie en énergie équivaut à 931,5 MeV. On peut donc directement calculer :
\(E = \Delta m_u \times 931,5 \text{ MeV/u} = 0,186033 \text{ u} \times 931,5 \text{ MeV/u} \approx 173,27 \text{ MeV}\).

Schéma (Avant les calculs)

Changement d'Unité d'Énergie

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de Joules en électronvolts (eV)

\begin{aligned} E_{\text{eV}} &= \frac{2,7765 \times 10^{-11} \text{ J}}{1,60218 \times 10^{-19} \text{ J/eV}} \\ &= 1,7330 \times 10^8 \text{ eV} \end{aligned}

Étape 2 : Conversion d'électronvolts en Mégaélectronvolts (MeV)

\begin{aligned} E_{\text{MeV}} &= \frac{1,7330 \times 10^8 \text{ eV}}{10^6 \text{ eV/MeV}} \\ &= 173,30 \text{ MeV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Énergie Libérée en Unités Nucléaires

Réflexions

Une valeur d'environ 173 MeV est une valeur typique pour l'énergie cinétique des fragments de fission. L'énergie totale libérée par une fission d'U-235 est en réalité proche de 200 MeV si l'on inclut l'énergie des rayonnements et des désintégrations ultérieures des produits.

Points de vigilance

Faites attention aux préfixes : ne confondez pas eV, keV (kilo) et MeV (Méga). Une erreur d'un facteur 1000 ou 1 000 000 est vite arrivée.

Points à retenir

Pour convertir des Joules en MeV, on divise par la charge de l'électron (\(1,602 \times 10^{-19}\)) puis par un million (\(10^6\)).

Le saviez-vous ?

L'énergie libérée par la fission d'un seul gramme d'Uranium-235 est équivalente à la combustion de près de 3 tonnes de charbon de haute qualité.

FAQ

Résultat Final

L'énergie libérée est de 173,30 MeV.

A vous de jouer

En utilisant l'astuce (1 u = 931,5 MeV), quelle énergie en MeV correspond à un défaut de masse de 0,21 u ?

Outil Interactif : Simulateur d'Énergie de Fission

Utilisez ce simulateur pour voir comment l'énergie libérée change en fonction du défaut de masse de la réaction. Entrez une valeur de défaut de masse en unité de masse atomique (u) pour calculer instantanément l'énergie correspondante.

Paramètres d'Entrée

Défaut de masse (\(\Delta m\)) (u) 0.186 u

Résultats Clés

Énergie (Joules) -

Énergie (MeV) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que le défaut de masse ?

La différence entre la masse des réactifs et la masse des produits.
La masse totale des neutrons émis.
La masse d'un noyau avant la fission.

2. Quelle est la célèbre équation qui lie la masse et l'énergie ?

E = mc
E = m/c²
E = mc²

3. Si le défaut de masse d'une réaction est positif, la réaction :

Consomme de l'énergie.
Libère de l'énergie.
N'a aucun échange d'énergie.

Fission Nucléaire: Réaction nucléaire au cours de laquelle un noyau atomique lourd est scindé en plusieurs noyaux plus légers, ce qui libère une grande quantité d'énergie.
Défaut de Masse (\(\Delta m\)): Différence entre la masse totale des constituants d'un noyau atomique (protons et neutrons) pris séparément et la masse de ce même noyau. Cette masse "perdue" est convertie en énergie de liaison.
Unité de masse atomique (u): Unité de mesure standard pour les masses des atomes et des particules subatomiques. Elle est définie comme le douzième de la masse d'un atome de carbone 12.
Mégaélectronvolt (MeV): Unité d'énergie utilisée en physique nucléaire, équivalant à un million d'électronvolts (\(10^6\) eV).