Exercices et corrigés

Etude de Chimie

Calcul de la masse molaire moyenne d’un polymère

Calcul de la Masse Molaire Moyenne d’un Polymère en Chimie des Matériaux

Calcul de la Masse Molaire Moyenne d’un Polymère

Comprendre la Masse Molaire Moyenne des Polymères

Les polymères sont de grosses molécules (macromolécules) constituées de la répétition de petites unités structurales appelées monomères. Contrairement aux petites molécules qui ont une masse molaire unique et bien définie, les échantillons de polymères synthétiques sont généralement constitués d'un mélange de chaînes de longueurs (et donc de masses molaires) différentes. Ce phénomène est appelé polymolécularité ou polydispersité. Par conséquent, on ne parle pas d'UNE masse molaire pour un polymère, mais de masses molaires moyennes. Les deux moyennes les plus courantes sont la masse molaire moyenne en nombre (\(M_n\)) et la masse molaire moyenne en poids (ou en masse, \(M_w\)). Ces moyennes sont cruciales car elles influencent directement les propriétés physiques et mécaniques du matériau polymère.

Données de l'étude

Un échantillon de polymère est analysé et on trouve qu'il est composé de trois fractions distinctes de chaînes de différentes longueurs.

Caractéristiques des fractions du polymère :

  • Fraction 1 : Masse (\(m_1\)) = \(20 \, \text{g}\), Masse molaire (\(M_1\)) = \(10000 \, \text{g/mol}\)
  • Fraction 2 : Masse (\(m_2\)) = \(60 \, \text{g}\), Masse molaire (\(M_2\)) = \(20000 \, \text{g/mol}\)
  • Fraction 3 : Masse (\(m_3\)) = \(50 \, \text{g}\), Masse molaire (\(M_3\)) = \(50000 \, \text{g/mol}\)
Représentation Schématique d'un Échantillon de Polymère Polydispersé
M₁ M₂ M₃

Différentes longueurs de chaînes dans un échantillon de polymère.

Questions à traiter

  1. Calculer le nombre de moles (\(n_i\)) pour chaque fraction de polymère.
  2. Calculer la masse molaire moyenne en nombre (\(M_n\)) de l'échantillon de polymère.
  3. Calculer la masse molaire moyenne en poids (\(M_w\)) de l'échantillon de polymère.
  4. Calculer l'indice de polymolécularité (ou indice de polydispersité, PDI) de cet échantillon. Commenter la valeur obtenue.

Correction : Calcul de la Masse Molaire Moyenne d'un Polymère

Question 1 : Nombre de Moles pour Chaque Fraction

Principe :

Le nombre de moles (\(n\)) d'une substance est calculé en divisant sa masse (\(m\)) par sa masse molaire (\(M\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[n_i = \frac{m_i}{M_i}\]
Données spécifiques :
  • Fraction 1 : \(m_1 = 20 \, \text{g}\), \(M_1 = 10000 \, \text{g/mol}\)
  • Fraction 2 : \(m_2 = 60 \, \text{g}\), \(M_2 = 20000 \, \text{g/mol}\)
  • Fraction 3 : \(m_3 = 50 \, \text{g}\), \(M_3 = 50000 \, \text{g/mol}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} n_1 &= \frac{20 \, \text{g}}{10000 \, \text{g/mol}} = 0.0020 \, \text{mol} \\ n_2 &= \frac{60 \, \text{g}}{20000 \, \text{g/mol}} = 0.0030 \, \text{mol} \\ n_3 &= \frac{50 \, \text{g}}{50000 \, \text{g/mol}} = 0.0010 \, \text{mol} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
\(n_1 = 0.0020 \, \text{mol}\)
\(n_2 = 0.0030 \, \text{mol}\)
\(n_3 = 0.0010 \, \text{mol}\)

Question 2 : Masse Molaire Moyenne en Nombre (\(M_n\))

Principe :

La masse molaire moyenne en nombre (\(M_n\)) est la masse totale de toutes les chaînes de polymère divisée par le nombre total de chaînes (ou de moles de chaînes). Elle est sensible aux fractions de faible masse molaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_n = \frac{\sum N_i M_i}{\sum N_i} = \frac{\sum m_i}{\sum n_i} = \frac{m_{\text{total}}}{n_{\text{total}}}\]

Où \(N_i\) est le nombre de chaînes de masse molaire \(M_i\), ou \(n_i\) est le nombre de moles de chaînes de masse molaire \(M_i\).

Données calculées :
  • \(n_1 = 0.0020 \, \text{mol}\), \(M_1 = 10000 \, \text{g/mol}\) (\(m_1 = 20 \, \text{g}\))
  • \(n_2 = 0.0030 \, \text{mol}\), \(M_2 = 20000 \, \text{g/mol}\) (\(m_2 = 60 \, \text{g}\))
  • \(n_3 = 0.0010 \, \text{mol}\), \(M_3 = 50000 \, \text{g/mol}\) (\(m_3 = 50 \, \text{g}\))
  • Masse totale (\(m_{\text{total}}\)) : \(20 \, \text{g} + 60 \, \text{g} + 50 \, \text{g} = 130 \, \text{g}\)
  • Nombre total de moles (\(n_{\text{total}}\)) : \(0.0020 \, \text{mol} + 0.0030 \, \text{mol} + 0.0010 \, \text{mol} = 0.0060 \, \text{mol}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_n &= \frac{130 \, \text{g}}{0.0060 \, \text{mol}} \\ &\approx 21666.67 \, \text{g/mol} \end{aligned} \]

Alternativement : \(M_n = \frac{(0.0020 \times 10000) + (0.0030 \times 20000) + (0.0010 \times 50000)}{0.0020 + 0.0030 + 0.0010} = \frac{20 + 60 + 50}{0.0060} = \frac{130}{0.0060}\)

Résultat Question 2 : La masse molaire moyenne en nombre est \(M_n \approx 21667 \, \text{g/mol}\).

Quiz Intermédiaire 1 : \(M_n\) est plus sensible à la présence de chaînes de :

Question 3 : Masse Molaire Moyenne en Poids (\(M_w\))

Principe :

La masse molaire moyenne en poids (\(M_w\)) donne plus d'importance aux chaînes de masse molaire plus élevée car elle est pondérée par la fraction massique de chaque type de chaîne.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_w = \frac{\sum N_i M_i^2}{\sum N_i M_i} = \frac{\sum m_i M_i}{\sum m_i}\]

Où \(m_i\) est la masse de la fraction \(i\) ayant une masse molaire \(M_i\).

Données :
  • Fraction 1 : \(m_1 = 20 \, \text{g}\), \(M_1 = 10000 \, \text{g/mol}\)
  • Fraction 2 : \(m_2 = 60 \, \text{g}\), \(M_2 = 20000 \, \text{g/mol}\)
  • Fraction 3 : \(m_3 = 50 \, \text{g}\), \(M_3 = 50000 \, \text{g/mol}\)
  • Masse totale (\(m_{\text{total}}\)) : \(130 \, \text{g}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_w &= \frac{(20 \, \text{g} \times 10000 \, \text{g/mol}) + (60 \, \text{g} \times 20000 \, \text{g/mol}) + (50 \, \text{g} \times 50000 \, \text{g/mol})}{130 \, \text{g}} \\ &= \frac{200000 + 1200000 + 2500000}{130} \, \text{g/mol} \\ &= \frac{3900000}{130} \, \text{g/mol} \\ &= 30000 \, \text{g/mol} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La masse molaire moyenne en poids est \(M_w = 30000 \, \text{g/mol}\).

Question 4 : Indice de Polymolécularité (PDI)

Principe :

L'indice de polymolécularité (PDI), également appelé indice de polydispersité, est une mesure de la largeur de la distribution des masses molaires dans un échantillon de polymère. Il est défini comme le rapport de la masse molaire moyenne en poids (\(M_w\)) sur la masse molaire moyenne en nombre (\(M_n\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{PDI} = \frac{M_w}{M_n}\]
Données calculées :
  • \(M_w = 30000 \, \text{g/mol}\)
  • \(M_n \approx 21666.67 \, \text{g/mol}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{PDI} &= \frac{30000 \, \text{g/mol}}{21666.67 \, \text{g/mol}} \\ &\approx 1.3846 \end{aligned} \]

Arrondi à trois chiffres significatifs : PDI \(\approx 1.38\).

Commentaire :

Un PDI de 1 indique un polymère monodispersé (toutes les chaînes ont la même longueur), ce qui est rare pour les polymères synthétiques. Plus le PDI est élevé, plus la distribution des masses molaires est large. Une valeur de 1.38 indique une polydispersité modérée, typique de nombreux polymères obtenus par des mécanismes de polymérisation courants. Cela signifie qu'il y a une certaine variété de longueurs de chaînes dans l'échantillon.

Résultat Question 4 : L'indice de polymolécularité (PDI) est d'environ \(1.38\). Cela indique une distribution des masses molaires modérément large.

Quiz Intermédiaire 2 : Un PDI de 2.5 indique :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La masse molaire moyenne en nombre (\(M_n\)) est calculée comme :

2. Laquelle de ces affirmations est généralement vraie pour un polymère polydispersé ?

3. Un indice de polymolécularité (PDI) proche de 1 indique :

Glossaire

Polymère
Macromolécule composée de la répétition d'unités structurales plus petites, appelées monomères, liées chimiquement entre elles.
Monomère
Petite molécule qui peut se lier chimiquement à d'autres molécules identiques ou similaires pour former un polymère.
Masse Molaire (\(M\))
Masse d'une mole d'une substance, exprimée en g/mol.
Polydispersité (ou Polymolécularité)
Caractéristique d'un échantillon de polymère qui contient des chaînes de masses molaires (et donc de longueurs) différentes.
Masse Molaire Moyenne en Nombre (\(M_n\))
Moyenne des masses molaires des chaînes de polymère, pondérée par le nombre de chaînes de chaque masse molaire. \(M_n = \sum (N_i M_i) / \sum N_i\).
Masse Molaire Moyenne en Poids (\(M_w\))
Moyenne des masses molaires des chaînes de polymère, pondérée par la fraction massique de chaque type de chaîne. \(M_w = \sum (w_i M_i) = \sum (N_i M_i^2) / \sum (N_i M_i)\).
Indice de Polymolécularité (PDI)
Rapport \(M_w / M_n\). C'est une mesure de la largeur de la distribution des masses molaires. Pour un polymère monodispersé, PDI = 1.
Calcul de la Masse Molaire Moyenne d'un Polymère - Exercice d'Application en Chimie des Matériaux

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